اپراتورهای پروجکشن عملگرهای خطی در فضای اقلیدسی این عملگر بر اساس سیستم طراحی خواهد شد

اپراتور خط را رها کنید آدر فضای اقلیدسی E n زندگی می کند و این فضا را به خود تبدیل می کند.

وارد شد وقت ملاقات: اپراتور آ* ما با نام اپراتور تماس خواهیم گرفت آبرای هر دو بردار x، y z E n حسادت خلقت های اسکالر را به این شکل نشان می دهد:

(تبر، y) = (x، A*y)

بیشتر وقت ملاقات: یک عملگر خطی خود دریافت کننده نامیده می شود زیرا شبیه عملگر دریافتی خود است، پس برابری منصفانه است:

(تبر، y) = (x، آی)

یا زوکرما ( تبر، x) = (x، تبر).

اپراتور خوداتکایی ممکن است به عنوان قدرت عمل کند. بیایید حدس بزنیم که آنها چه می کنند:

مرجع شماره اپراتور خود دریافتی گفتار (بدون اثبات) است.

بردارهای عملگر خود تولید شده متعامد هستند. برای اینکه منصف باشیم x 1і x 2بردارهای توان هستند و  1 و  2 اعداد توان آنها هستند، سپس: تبر 1 =  1 ایکس; تبر 2 =  2 ایکس; (تبر 1، x 2) = (x 1، تبر 2) یا  1 ( x 1، x 2) =  2 (x 1، x 2). خرده های 1 و 2 قتل عام، سپس زویدسی ( x 1، x 2) = 0 که برای دستیابی به آن ضروری بود.

فضای اقلیدسی مبنای متعارفی از بردارهای توان عملگر خود تولید دارد. آ. یعنی، ماتریس عملگر خود تعریف شده اکنون می تواند به یک نمای مورب در هر مبنای متعارف کاهش یابد، که از بردارهای توان عملگر خود تعریف شده جمع شده است.

یکی بیشتر وقت ملاقات: عملگر خودکفایی که در فضای اقلیدسی وجود دارد نامیده می شود متقارناپراتور بیایید به ماتریس عملگر متقارن نگاه کنیم. اجازه دهید موارد زیر را بیان کنیم:برای متقارن بودن عملگر، لازم است که ماتریس مبنای متقارن متقارن باشد.

بیا بریم آ- عملگر متقارن، سپس:

(تبر، y) = (x، آی)

یاکشچو آماتریس عملگر A، a است ایکسі y– بردارهای deak، سپس می نویسیم:

مختصات ایکسі yبرای یک مبنای متعارف واقعی

تودی: ( x، y) = X T Y = Y T X i maєmo ( تبر، y) = (AX) T Y = X T A T Y

(x، آی) = X T (AY) = X T AY،

tobto. X T A T Y = X T AY. با ماتریس های کافی X,Y، این برابری فقط برای AT = A امکان پذیر است و این به این معنی است که ماتریس A متقارن است.

بیایید نگاهی به اقدامات اپراتورهای خط بیندازیم

اپراتور طرحشما باید ماتریس عملگر خطی را بدانید که نمایش فضای بی اهمیت بر روی کل مختصات است. ه 1 در ابتدا ه 1 , ه 2 , ه 3 . ماتریس یک عملگر خطی ماتریسی است که در آن ممکن است تصاویری از بردارهای پایه وجود داشته باشد ه 1 = (1,0,0), ه 2 = (0,1,0), ه 3 = (0،0،1). این تصویر به وضوح به این معنی است: Ae 1 = (1,0,0)

Ae 2 = (0,0,0)

Ae 3 = (0,0,0)

خوب، در پایه ه 1 , ه 2 , ه 3 ماتریس عملگر خطی جستجو شده:

ما هسته این اپراتور را می شناسیم. هسته با هسته تعیین شده یکسان است - هیچ بردار وجود ندارد ایکس، برای هر AX = 0. یا

یعنی هسته عملگر تبدیل به یک بردار غیرشخصی می شود که در صفحه قرار دارد ه 1 , ه 2 . اندازه هسته همان n - rangA = 2 است.

این عملگر بسیار تخیلی است - بدیهی است که بردارهای غیرشخصی و هم خط است. ه 1 . اندازه فضای تصویر مشابه رتبه اپراتور خط و به سطح قبلی است 1 که ابعاد کمتری نسبت به فضای نمونه های اولیه دارد. یعنی اپراتور آ- ویروس زایی ماتریکس و همچنین ویروژن.

باسن دیگه: پیدا کردن ماتریس عملگر خطی که در فضای V 3 عمل می کند (مبنا من, j, ک) تبدیل خطی - تقارن به ابتدای مختصات.

مائمو: Ai = -i

یعنی ماتریس شوکانا

بیایید نگاهی به بازآفرینی خطی بیندازیم - تقارن به صفحه y = ایکس.

Aj = من(1,0,0)

آک = ک (0,0,1)

ماتریس عملگر به صورت زیر خواهد بود:

مثال دیگر ماتریس از قبل شناخته شده است که مختصات بردار را هنگام چرخش محورهای مختصات به هم متصل می کند. بیایید عملگر را که شامل چرخش محورهای مختصات است - عملگر چرخش صدا کنیم. جایز است در گوشه پیچ باشد :

Ai' = cos من+ گناه j

Aj' = -sin من+cos j

عملگر چرخش ماتریس:

Ai ‘ Aj ‘

در اینجا فرمول هایی برای تبدیل مختصات یک نقطه در هنگام تغییر مبنا وجود دارد - جایگزینی مختصات در یک صفحه هنگام تغییر پایه:

E این فرمول به دو صورت قابل مشاهده است. قبلاً به این فرمول ها نگاه می کردیم که نقطه در جای خود قرار می گیرد و سیستم مختصات می چرخد. همچنین می توان به این ترتیب مشاهده کرد که سیستم مختصات بدون تغییر می شود و نقطه از موقعیت M * به موقعیت M حرکت می کند. مختصات نقطه M و M * در یک سیستم مختصات مشخص می شوند.

که در همه اینها به ما اجازه می دهد تا به وظیفه بعدی برسیم که برنامه نویسانی که با گرافیک در EOM سروکار دارند باید با آن روبرو شوند. شما باید روی صفحه EOM، یک شکل مسطح خاص (مثلاً یک سه ضلعی) را با مختصات (a، b) به یک گوشه خاص  به نقطه O بچرخانید. چرخش مختصات با فرمول های زیر توصیف می شود:

انتقال موازی رابطه را تضمین می کند:

برای حل چنین مشکلی، باید از یک تکنیک تکه تکه استفاده کنید: مختصات یک نقطه را در صفحه XOY وارد کنید: (x, y, 1). این ماتریس که به موازات انتقال عمل می کند را می توان نوشت:

تاثير گذار:

و ماتریس چرخانده می شود:

معمایی که می توان دید را می توان در سه مرحله حل کرد:

خط 1: موازی برای انتقال به بردار A(-a, -b) تا مرکز چرخش با مختصات را در خود جای دهد:

نهر دوم: پیچ به گوشه :

خط 3: موازی برای انتقال به بردار A(a, b) برای چرخش به مرکز چرخش در موقعیت چرخ:

تبدیل خطی شوکان در نمای ماتریسی:

(**)

1. اپراتورهای طراحی و قدرت فکری حلقه

فرض کنید فضای برداری V مجموع مستقیم زیرفضاهای W و L باشد: . با توجه به معنای مجموع مستقیم، بردار vV به طور یکتا به صورت v=w+l، wW قابل نمایش است. ll.

ارزش 1.از آنجایی که v=w+l، پس تصویری که بردار پوسته vV و جزء آن (پرجکشن) wW را ایجاد می کند، پروژکتور از فضای V تا فضای W نامیده می شود. به آن عملگر پروجکشن یا عملگر پروجکشن نیز می گویند.

بدیهی است، اگر wW، آنگاه (w)=w. ستاره فریاد می زند که چنین قدرت معجزه آسایی ممکن است 2 = R.

ارزش 2.عنصر e حلقه K را idempotent (یعنی شبیه به یک) می نامند، زیرا e 2 = e.

حلقه اعداد صحیح تنها دارای دو اختیار است: 1 و 0. حلقه دیگر در سمت راست حلقه یک ماتریس است. به عنوان مثال، ماتریس ها دموپوتنت هستند. ماتریس‌های اپراتورهای طراحی نیز غیر توانمند هستند. عملگرهای زیر عملگرهای idempotent نامیده می شوند.

اجازه دهید نگاهی به مجموع مستقیم n در زیر وسعت فضای V بیندازیم:

سپس، به طور مشابه با مجموع مستقیم دو زیرفضا، می توانیم n عملگر طراحی، …، را استخراج کنیم. بوی قدرت ==0 در ij.

ارزش 3.عدم توان e i و e j (ij) متعامد نامیده می شوند، زیرا e i e j = e j e i = 0. همچنین، من صاحب اختیار متعامد هستم.

از این واقعیت که IV=V، و قوانین اضافه کردن عملگرهای خطی، نتیجه می شود که

به این چیدمان، چیدمان یک در مجموع idempotents گفته می شود.

ارزش 4. idempotent e حداقل نامیده می شود، زیرا نمی توان به مجموع idempotent های زیر 0 نگاه کرد.

2. تجلیات به صورت متعارف گذاشته شده است

معاونت 5.بسط متعارف پدیده T(g) را بسط آن به شکل T(g)=n 1 T 1 (g)+ n 2 T 2 (g)+…+ nt T t (g) می گویند که در آن معادل عدم کاهش تجلی Ti (g)) به یکباره ترکیب می شوند و ni کثرت وقوع پدیده کاهش نیافته Ti (g) در بسط T(g) است.

قضیه 1.گسترش متعارف داده ها توسط یک عملگر طرح ریزی اضافی در فرم نشان داده می شود

I=1، 2، …، t، (31)

de | G | - ترتیب گروه G; m i - مرحله تجلی T i (g)، که در آن i=1، 2، …، t. i (g)، i = 1، 2، ...، t - ویژگی های پدیده های تقلیل ناپذیر T i (g). وقتی m i با فرمول تعیین می شود

3. عملگرهای فرافکنی مرتبط با ماتریس های تظاهرات غیر هدایت گر گروه ها

با کمک فرمول (31) می توان پدیده هایی را که به صورت متعارف مطرح نشده اند حذف کرد. بنابراین، لازم است به سرعت ماتریس‌های پدیده‌های تقلیل‌ناپذیر را که توسط اپراتورهای مختلف طراحی مجاز هستند، محاسبه کرد.

قضیه 2.رها کنید - عناصر ماتریس تجلی غیر ناوسمی Tr (g) گروه G. عملگر فرم

عملگر طراحی، عملگر ویگنر نامیده می شود. در ویروس (33) m r - اندازه پدیده T r (g).

4. پرداخت مالیات برای مبلغ مستقیم درخواست گزارش نشده برای کمک اپراتور ویگنر

به طور قابل توجهی از طریق ماژول M، اتصالات با مظاهر T. اجازه دهید تظاهرات غیرقابل تقلیل T 1، T 2، ...، T t از بسط متعارف تظاهرات بر اساس روشی باشد که قبلا توضیح داده شد (بخش 4)، همانطور که توسط نشان داده شده است. زیرماژول های تقلیل ناپذیر M 1، M 2، …، M t. باز شدن نمای M ماژول

بسط متعارف ماژول M نامیده می شود. به طور قابل توجهی niMi = Li به طوری که

زیرماژول های داده نشده از ماژول های L i قابل توجه هستند

; i=1، 2، …، t. (36)

این ماژول ها باید شناخته شوند.

قابل قبول است که حقیقت حقیقت داشته باشد. همچنین، برای هر مدول Mi (s) (s=1, 2, ..., ni) یک پایه متعارف یافت می شود که در آن عملگر نمایش ها توسط ماتریس T i (g) نمایش کاهش نیافته T به صورت رسم شده است. نتیجه عملگر (با پیروی از قانون § 3) به پایه فرمول

J=1، 2، …، m i. (37)

ذکر این نکته ضروری است که m i بعد پدیده تقلیل ناپذیر T i است (i=1, 2, …, t) و عناصر پایه با عدد g از زیرماژول تقلیل ناپذیر M i هستند. اکنون می توانیم عناصر پایه L i را برای i ثابت به ترتیب بعدی قرار دهیم:

در سمت راست نمای (38) پایه توسعه یافته ماژول های Mi (1)، Mi (2)، …، . به محض تغییر i از 1 به t، پایه کل ماژول M را که از عناصر m 1 n 1 + m 2 n 2 + ... + m t n t تشکیل شده است، حذف می کنیم.

بیایید اکنون اپراتور را بررسی کنیم

ماژول M چه کار می کند (j ثابت). بسط به قضیه 2، عملگر طرح ریزی است. بنابراین، این عملگر بدون تغییر تمام عناصر اصلی (s=1, 2, …, ni) که در ستون j-ام عبارت (38) گسترش یافته است را حذف می کند و تمام بردارهای دیگر پایه را صفر می کند. از طریق M ij فضای برداری که توسط سیستم متعامد بردارها که در ستون j-امین خط قرار دارد، پوشیده شده است (38) قابل توجه است. همچنین می توان گفت که اپراتور در حال طراحی برای فضای M ij است. عملگر قابل مشاهده است، زیرا عناصر مورب، ماتریس تظاهرات غیر جهتی گروه ها، و همچنین عملگر T(g) قابل مشاهده است.

اکنون می توانیم وظیفه خود را کامل کنیم.

ما n i بردار پایه اضافی M: را انتخاب می کنیم و آنها را برای عملگر طراحی اعمال می کنیم. بردارها باید در فضای M ij و є مستقل خطی قرار بگیرند. بوهای متعامد و عادی obov'yazkovo نیست. سیستم بردارها مطابق با قاعده § 2 به طور متعارف بازیابی شده است. سیستم بردارها با اهمیت eij (s) مطابق با مقادیر گرفته شده از این فرض که مقدار داده شده تأیید شده است، بازیابی شده است. همانطور که مشخص شد، در اینجا j ثابت است و s = 1، 2، ...، n i. به طور قابل توجهی اگر (s) (f=1، 2، …، j-1، j+1، …، mi)، دیگر عناصر پایه ماژول M i با ابعاد n i mi. بطور قابل توجهی از طریق اپراتور تهاجمی:

این رابطه متعامد برای ماتریس غیر راهنما نشان می دهد که این عملگر حذف e ig s را از فرمول ممکن می کند.

I = 1، 2، ...، t. (41)

همه موارد فوق را می توان با الگوریتم توضیح داد.

برای دانستن پایه ماژول M از عناصری که در پشت تظاهرات کاهش نیافته T i که در داده T مرتبط با ماژول M قرار دارند تبدیل شده اند، لازم است:

با استفاده از فرمول (32)، ابعاد زیرفضاهای M ij، j-مولفه های فرعی پدیده کاهش نیافته T i را محاسبه کنید.

برای کمک از عملگر طراحی (39) همه زیرفضاهای M ij را بیابید.

یک پایه ارتونورمال کافی برای ناحیه پوست M ij انتخاب کنید.

با استفاده از فرمول Vikorist (41)، تمام عناصر پایه را که می توان به اجزای دیگر پدیده کاهش نیافته T i تبدیل کرد، دریابید.

برادران کت-بردار دیراک شگفت انگیز هستند زیرا با کمک آنها می توانید انواع مختلفی از خلاقیت ها را ضبط کنید.

افزودن بردار بردار به بردار کت، ایجاد اسکالر یا ایجاد درونی نامیده می شود. در اصل، این یک مدل ماتریسی استاندارد بر اساس قانون "ردیف در بالا" است. نتیجه یک عدد مختلط است.

یک کت-بردار جدید نه یک عدد، بلکه یک بردار کت دیگر را می دهد. همچنین با یک ساقه برداری نشان داده می شود و علاوه بر بسیاری از مؤلفه ها، ابعاد بردارهای خروجی نیز اضافه می شود. چنین جامدی را ایجاد تانسور یا ایجاد کرونکر می نامند.

به طور مشابه برای ایجاد دو بردار دیوارکوب. بیایید ردیف بردار بزرگ را برداریم.

گزینه باقیمانده گزینه ای است که بردار ket در بردار bra ضرب شده است. سپس باید سطر را در ردیف ضرب کنید. چنین خلقتی را مخلوق تانسور یا خارجی نیز می گویند. نتیجه یک ماتریس یا عملگر است.

بیایید نگاهی به نمونه ای از تاریخچه چنین اپراتورهایی بیندازیم.

بیایید یک اپراتور هرمیتی A تا حدودی رضایت‌بخش را در نظر بگیریم. برای فرضیه‌ها واضح است که او کمیتی را نشان می‌دهد که باید در برابر آن محافظت شود. بردارهای عملگر Hermite اساس را تعریف می کنند. بزرگترین بردار را می توان به یک پایه تقسیم کرد. برای نشان دادن مجموع بردارهای پایه با ضرایب مختلط. این واقعیت به عنوان اصل برهم نهی شناخته می شود. بیایید viraz را با استفاده از علامت سومی بازنویسی کنیم.

اگر ضرایبی در تجزیه بردار بر اساس ضرایب وجود داشته باشد، جمع اسکالر به بردار پایه مشابه تبدیل می شود. بیایید این دامنه دست راست را به صورت بردار بنویسیم. Viraz در زیر علامت جمع می تواند برای ضرب بردار کت در یک عدد مختلط - دامنه شدت استفاده شود. از سوی دیگر، می توان آن را به عنوان جمع یک ماتریس مشاهده کرد که از ضرب بردار کت در بردار bra و بردار کت خروجی به دست می آید. بردار ket را می توان از پشت علامت جمع به کمان آورد. در سمت راست و چپ علامت حسادت همان بردار psi ظاهر می شود. این بدان معنی است که کل جمع با بردار و ماتریس هویت اصلی کار نمی کند.

این فرمول خود هنگام دستکاری ویروس ها با ایجاد بردارهای bra-i ket-vector بسیار مفید است. حتی یکی را می توان در هر مکانی که ایجاد کردید درج کرد.

تعجب می‌کنیم که ماتریس‌هایی که در مجموع گنجانده شده‌اند و دارای تانسور ایجاد بردار کت پایه با نتایج هرمیتی خود هستند، چیست. دوباره، برای دقت، اجازه دهید قیاسی با بردارهای اولیه در فضای بی اهمیت ترسیم کنیم.

بردارهای پایه ex ey و ez را یکی یکی انتخاب می کنیم که مستقیماً در امتداد محورهای مختصات قرار دارند. جامد تانسور بردار ex روی جفت آن با یک ماتریس رویکرد نشان داده خواهد شد. بیایید یک بردار نسبتاً بزرگ v را در نظر بگیریم. وقتی ماتریس در بردار ضرب شود چه اتفاقی می افتد؟ این ماتریس به راحتی تمام اجزای بردار crim x را صفر می کند. نتیجه یک بردار است که در امتداد محور x راست می شود، سپس بردار خروجی بر روی بردار پایه ex قرار می گیرد. به نظر می رسد که ماتریس ما چیزی بیش از یک عملگر طرح ریزی نیست.

دو عملگر پیش‌بینی که بر اساس بردارهای ey و ez گم می‌شوند، ماتریس‌های مشابهی هستند و یک تابع مشابه را می‌سازند - همه مؤلفه‌های برداری به جز یک بردار را صفر می‌کنند.

نتیجه فرض عملگرهای طرح ریزی چیست؟ برای مثال، عملگرهای Px و Py قابل جمع شدن هستند. چنین ماتریسی مولفه z بردار را حذف می کند. بردار کیسه فرعی همیشه در صفحه x-y قرار دارد. سپس می توانیم از عملگر پروجکشن در ناحیه x-y استفاده کنیم.

اکنون مشخص است که چرا مجموع همه عملگرهای طرح ریزی بر روی بردارهای پایه برابر با ماتریس هویت است. در برنامه ما، طرح یک بردار بی اهمیت را در یک گستره بی اهمیت حذف می کنیم. یک ماتریس هویت اساساً یک پروژکتور برداری بر روی خود است.

خروجی عملگر پروجکشن معادل خروجی فضای خروجی است. این نوع فضای سه بعدی اقلیدسی ممکن است دارای یک خط یک بعدی باشد که با یک بردار مشخص می شود یا یک منطقه دو بعدی که توسط یک جفت بردار مشخص می شود.

با بازگشت به مکانیک کوانتومی با این بردارها در فضای هیلبرت، می توان گفت که عملگرهای طرح ریزی یک زیرفضا را تعریف می کنند و یک بردار را در این زیرفضای هیلبرت طرح می کنند.

اجازه دهید ویژگی های اصلی عملگرهای طرح ریزی را بیان کنیم.

1. استفاده متوالی از یک عملگر پروجکشن معادل یک عملگر پروجکشن است. مهم است که به صورت P 2 = P یادداشت کنید. در حقیقت، از آنجایی که عملگر اول یک بردار در زیرفضا طراحی کرده است، دیگری نمی تواند چیزی با آن ایجاد کند. وکتور قبلاً در این فضا مجدداً استفاده شده است.
2. عملگرهای پروجکشن عملگرهای هرمیتی هستند، زیرا در مکانیک کوانتومی آنها مقادیری را نشان می دهند که در برابر محافظت می شوند.
3. مقادیر مهم عملگرهای طرح ریزی در هر بعد کمتر از یک و صفر است. ممکن است بردار در زیرفضا قرار داشته باشد یا نه. از طریق چنین دوتایی، که توسط عملگر طرح ریزی توصیف می شود، کمیت را می توان از نظر تغذیه فرمول بندی کرد، یا به صورت "چنین" یا "نه". به عنوان مثال، چگونه می توان اسپین اولین الکترون در یک تک تک را در امتداد محور z راست کرد؟ این منبع تغذیه را می توان به نوع اپراتور پروجکشن اختصاص داد. مکانیک کوانتومی به شخص اجازه می‌دهد تا قطعیت انواع «پس» و «نه» را کشف کند.

ما همچنین در مورد عملگرهای پروجکشن صحبت می کنیم.

ماتریس عملگر خطی

نخایی یک اپراتور خط است و فاصله ها هر دو انتهایی و .

بیایید یک مبنای کاملاً تنظیم کنیم: در i V.

بیایید کار را تنظیم کنیم: برای یک بردار کافی، مختصات بردار را محاسبه کنید در ابتدا.

با معرفی یک ردیف ماتریس برداری که از تصاویر بردارها در پایه تشکیل شده است، می توانیم موارد زیر را حذف کنیم:

احتراماً حسادت باقیمانده این لنسر از طریق خطی بودن اپراتور از خود به وجود می آید.

اجازه دهید سیستم بردارها را بر اساس اساس تجزیه کنیم:

,

بخشی از ماتریس بخشی از مختصات بردار در پایه است.

باقی مانده ریاضی:

اوتیه، برای محاسبه مجموعه مختصات بردار برای مبنای انتخاب شده از فضای دیگر، کافی است مجموعه مختصات برداری را برای مبنای انتخابی فضای اول در ماتریسی ضرب کنیم که از مجموعه مختصات بردارهای تصویر تشکیل شده است. اولین فضای اولیه در اساس فضایی دیگر.

ماتریس نامیده می شود ماتریس یک عملگر خطی در یک جفت پایه معین.

ماتریس یک عملگر خطی را می توان با همان حرف خود عملگر نشان داد بدون حروف کج. گاهی اوقات از معنای زیر استفاده می کنیم: ، اغلب داده ها را بر اساس حذف می کنند (تا به دقت آسیبی وارد نشود).

برای تبدیل خطی (اگر ) آیا می توانیم در مورد یوگا صحبت کنیم ماتریس در این اساس.

به عنوان یک لب به لب، اجازه دهید به ماتریس عملگر طراحی لب به لب در بخش 1.7 (با توجه به تبدیل فضای بردارهای هندسی) نگاه کنیم. پایه یاک ویبرمو zvichayny پایه.

همچنین، ماتریس عملگر برای طرح ریزی بر روی صفحه در پایه به صورت زیر است:

با توجه به فضای باقیمانده تمام بردارهای هندسی که در نزدیکی صفحه قرار دارند، عملگر پروجکشن را به عنوان بازتابی در نظر گرفتیم، سپس با در نظر گرفتن مبنا، می‌توانیم ماتریس زیر را نیز بدست آوریم:

با در نظر گرفتن یک ماتریس اندازه کافی به عنوان یک عملگر خطی که یک فضای حسابی را به یک فضای حسابی نگاشت می کند و با انتخاب یک مبنای متعارف از هر یک از این فضاها، این نتیجه حاصل می شود که ماتریس این عملگر خطی در چنین جفتی است و مبنای آن است. خود ماتریس، که به معنای این عملگر است - این، این، بنابراین، ماتریس و عملگر خطی یکسان هستند (درست مانند هنگام انتخاب یک مبنای متعارف در یک فضای برداری حسابی، یک بردار و مجموعه ای از مختصات در این مبنا قابل شناسایی است) . آل می شد بی ادبانه دور انداخته می شد وکتور یاک مانند اینі اپراتور خط یاک چنیناز تظاهرات آنها در یک یا دیگر پایه (به عنوان جزئی از یک ماتریس). هم بردار و هم عملگر خطی هستند اجسام هندسی و ثابت, ایده ها بدون توجه به هر مبنایی. بنابراین اگر، برای مثال، یک بردار هندسی حداقل برای صاف کردن مقاطع وجود داشته باشد، مقادیر کاملاً ثابت هستند، پس. ما اگر چیزی ترسیم کنیم برای رسیدن به پایگاه ها، سیستم های مختصات و ... تلاش زیادی داریم و می توانیم به صورت هندسی محض روی آنها عمل کنیم. انشا غنی، چه برای خوش دستیدر این عملیات به منظور سهولت محاسبه با بردارها، از اولین دستگاه جبر با معرفی سیستم های مختصات، مبانی و تکنیک صرفا جبری محاسبه با بردارهای مرتبط با آنها استفاده می کنیم. به بیان تصویری، یک بردار، مانند یک شیء هندسی برهنه، بسته به انتخاب مبنا، در تظاهرات مختصات مختلفی پوشیده شده است. اگرچه مردم می توانند پارچه های بسیار دستکاری شده ای به تن کنند، به همین دلیل است که ماهیت مردم تغییر نمی کند، اما درست است که هیچ پارچه ای به این وضعیت یا هر موقعیت دیگری نمی رسد (شما برای کنسرت به ساحل نخواهید رفت. دمپایی جدید)، و حتی برهنه از آن عبور خواهید کرد. بنابراین، حتی اگر هیچ مبنایی برای طراحی نهایی مناسب نباشد، حتی یک راه حل کاملاً هندسی ممکن است بسیار دشوار باشد. در دوره ما برای ما مهم است، زیرا برای چنین کاری، به نظر می رسد که یک مسئله هندسی خالص، به عنوان طبقه بندی سطحی با نظم متفاوت، توسط نظریه پیچیده و زیبای جبر تکمیل می شود.

درک اهمیت یک شی هندسی از یک پایه آن، مبنایی برای کاربرد جبر خطی می شود. این خود بردار هندسی مقصر شی هندسی نیست. بنابراین، وقتی بردار حسابی را قرار می دهیم ، سپس می توان آن را بر اساس مختصات آن در مبنای متعارف شناسایی کرد , Bo (بخش اول ترم):

سپس پایه y دیگری را معرفی می کنیم که از بردارهای І تشکیل شده است (برگردانید، این یک مبنای مؤثر است!) І، ماتریس ویکوریست انتقال، مختصات بردار خود را دوباره مرتب می کنیم:

ما یک روش کاملاً متفاوت را در نظر گرفته‌ایم، اما همان بردار حسابی را در مبنای متفاوتی نشان می‌دهد.

آنچه در مورد بردارها گفته شد را می توان به عملگرهای خطی تعمیم داد. کسانی که بردارشان تجلی مختصات آن است، عملگر خطی آن ماتریس آن است.

اوزه (دوباره تکرار کنید) لازم است به وضوح بین نیروهای قدرت اجسام ثابت، هندسی، مانند بردار و عملگر خطی تمایز قائل شد، و تظاهرات آنها بر اساس یک یا دیگری (بیایید برویم، بیایید در مورد فضاهای خطی انتهایی صحبت کنیم).

اجازه دهید به وظایف تبدیل ماتریس عملگر خطی هنگام حرکت از یک جفت پایه به جفت دیگر بپردازیم.

بیا بریم - یک جفت پایه جدید برای گونه

Todi (نشان دهنده ماتریس اپراتور در یک جفت پایه "هچ شده") را می توان حذف کرد:

آل از آن طرف،

,

نشانه ها، از طریق وحدت تجزیه بردار پشت پایه

,

برای تبدیل خطی، فرمول ساده تر به نظر می رسد:

ماتریس های مرتبط با چنین روابطی نامیده می شوند مشابه.

به راحتی می توان فهمید که از عوامل تعیین کننده چنین ماتریس هایی اجتناب می شود.

حالا معرفیش کنیم، معلوم است رتبه اپراتور خط.

پشت عدد داده شده، بعد متناظر تصویر این عملگر است:

اجازه دهید این جمله مهم تر را بیان کنیم:

تورژنیا 1. 10رتبه عملگر خطی با رتبه ماتریس آن، بدون توجه به انتخاب مبنا، مطابقت دارد.

اثبات. اول از همه، احتراماً، تصویر یک اپراتور خطی، پوسته خطی سیستم، اساس فضا است.

درست است، واقعی،

عدد هر چه باشد، به این معنی است که با یک پوسته خطی مشخص شده است.

بعد پوسته خطی، همانطور که مشهود است (بخش 1.2)، با رتبه سیستم انتقال بردارها مطابقت دارد.

جهان پیش از این مطرح شد (بخش 1.3)، زیرا سیستم بردارها بر اساس یک مبنای خاص به عنوان طرح ریزی شده است.

سپس، در ذهن سیستم، ماتریس ها به صورت خطی مستقل هستند. می‌توان ادعای قوی‌تری داشت (این برهان را حذف می‌کنیم): رتبه سیستم برابر با رتبه ماتریس است، علاوه بر این، این نتیجه در انتخاب مبنا نیست، زیرا ضرب یک ماتریس در یک ماتریس گذار تولید نشده رتبه آن را تغییر نمی دهد.

اوسکولکی

,

بدیهی است که رتبه های ماتریس های مشابه ذخیره می شوند و نتیجه به انتخاب یک مبنای خاص بستگی دارد.

تایید تکمیل شده است.

برای خطی بازآفرینیهر فضای خطی انتهایی که بتوانیم بفرستیم و بفهمیم تعیین کننده این بازآفرینیبه عنوان یک تعیین کننده ماتریس آن در یک مبنای نسبتاً ثابت، پس ماتریس تبدیل خطی بر پایه های مختلف مشابه است و نوسان می کند، اما تعیین کننده های یکسان است.

درک Vikorist از ماتریس یک عملگر خطی، ما را به رابطه مهم بعدی می رساند: برای هر تبدیل خطی - یک فضای خطی صلح آمیز

ما کاملاً مبنایی را برای فضا انتخاب می کنیم. سپس هسته از این و چند بردار تشکیل شده است، مجموعه‌ای از مختصات که با حل‌های سیستم همگن مطابقت دارند.

و خود بردار، و تنها در این صورت، اگر کل سیستم حل شود (1).

در غیر این صورت، به نظر می رسد که یک هم ریختی هسته در کل سیستم وجود دارد (1). خب ابعاد این فضاها در حال کاهش است. راه حل سیستم (1) علاوه بر اندازه فضا، همان طور که می دانیم، رتبه ماتریس باستانی است. آل می شوینو آورد، شو