При розв'язанні та дослідженні системи лінійних рівнянь Еажную роль грають наведені ступінчасті матриці.
ВИЗНАЧЕННЯ. Ступінчаста матриця називається наведеною, якщо матриця, складена з усіх її основних стовпців, є одиничною матрицею.
Наведена ступінчаста матриця немає нульових рядків, і всі провідні елементи її рядків рівні одиниці.
ТЕОРЕМА 3.4. Будь-яка ненульова матриця рядково еквівалентна наведеній ступінчастій матриці.
Доведення. Нехай - ненульова матриця рангу. За теоремами 3.2 і 3.3, вона рядково еквівалентна ступінчастої матриці, наприклад матриці, що складається з ненульових рядків. Розділимо кожен рядок матриці на її провідний елемент.
В результаті отримаємо ступінчасту матрицю, у якої всі провідні елементи рядків рівні одиниці. Далі, за допомогою ланцюжка рядкових елементарних перетворень матриці звертаємо в нуль всі ненульові елементи, розташовані над провідними елементами. В результаті отримаємо матрицю D, основні стовпці якої утворюють поодиноку матрицю. Отже D є шукана наведена ступінчаста матриця, рядково еквівалентна вихідної матриці А.
ТЕОРЕМА 3.5. Будь-яка квадратна -матриця з лінійно незалежними рядками рядково еквівалентна одиничній -матриці Е.
Доведення. Нехай А -матриця з лінійно незалежними рядками. За допомогою ланцюжка неособливих елементарних рядкових перетворень її можна привести до деякої ступінчастої матриці Нехай - провідні елементи матриці С. Тоді
З нерівностей (2) випливає, що Тому матриця має вигляд
тобто є верхньотрикутною матрицею з ненульовими елементами головної діагоналі. Помножимо перший рядок матриці на другий - на і т. д. У результаті отримаємо рядково еквівалентну матрицю
Провідними елементами є у першому рядку - , у другому рядку - 
, у четвертому рядку 
. Зауважимо, що провідний елемент у рядку не повинен бути єдиним (див. другий рядок).
Теорема. Будь-яка матриця шляхом кінцевого числа елементарних перетворень рядків може бути зведена до виду.
Доведення.
Нехай матриця має вигляд
.
Скористаємося визначенням наведеної матриці.
Якщо перший рядок нульовий, переходимо до другого тощо, поки не знайдемо ненульовий рядок. У ненульовому рядку (нехай це буде рядок) вибираємо ненульовий елемент (нехай це буде елемент).
Зробимо над матрицею такі елементарні перетворення:
...
...
.
Очевидно, після цього всі елементи стовпця, крім елемента, стануть нульовими. Потім вибираємо наступний ненульовий рядок, у ньому ненульовий елемент і робимо аналогічні перетворення з рядками матриці. За кінцеве число кроків переберемо всі ненульові рядки, після чого отримуємо матрицю, яка за визначенням буде наведена.
Приклад 14. Нехай 
. Зведемо матрицю до наведеного вигляду.
Рішення.
Візьмемо як ведучий елемент (провідні елементи виділятимемо круглими дужками) і виконаємо вказані перетворення:
На наступному кроці як ведучий візьмемо елемент , виконаємо зазначені перетворення й у результаті отримаємо.
Матриця, види матриць, події над матрицями.
Види матриць:
1. Прямокутні: mі n- довільні позитивні цілі числа
2. Квадратні: m=n
3. Матриця рядок: m=1. Наприклад, (1 3 5 7) - у багатьох практичних завданнях така матриця називається вектором
4. Матриця стовпець: n=1. Наприклад
5. Діагональна матриця: m=nі a ij = 0, якщо i≠j. Наприклад
6. Одинична матриця: m=nі
7. Нульова матриця: a ij =0, i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
8. Трикутна матриця: всі елементи нижче за головну діагональ дорівнюють 0.
9. Симетрична матриця:m=nі a ij = a ji(тобто на симетричних щодо головної діагоналі місцях стоять рівні елементи), а отже A"=A
Наприклад,
10. Кососиметрична матриця: m=nі a ij =-a ji(Тобто на симетричних щодо головної діагоналі місцях стоять протилежні елементи). Отже, на головній діагоналі стоять нулі (бо при i=jмаємо a ii =-a ii)
Дії над матрицями:
1. Додавання
2. Відніманняматриць - поелементна операція
3. твірматриці на число – поелементна операція
4. множення A*Bматриць за правилом рядок на стовпець(число стовпців матриці А має дорівнювати числу рядків матриці B)
A mk * B kn = C mnпричому кожен елемент з ijматриці C mnдорівнює сумі творів елементів i-го рядка матриці А відповідні елементи j-го стовпця матриці B , тобто.
Покажемо операцію множення матриць на прикладі
5. Транспонування матриці А. Транспоновану матрицю позначають A T або A
наприклад 
Рядки та стовпці помінялися місцями
Властивості операцій над матрицями:
(A+B)+C=A+(B+C)
λ(A+B)=λA+λB
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
λ(AB)=(λA)B=A(λB)
A(BC)=(AB)C
(λA)"=λ(A)"
(A+B)"=A"+B"
(AB)"=B"A"
2. Визначники другого та третього порядку (основні поняття, св-ва, обчислення)
Властивість 1.Визначник не змінюється під час транспонування, тобто.
Доведення.
Зауваження. Наступні властивості визначників формулюватимуться лише для рядків. При цьому з властивості 1 випливає, що тими ж властивостями будуть володіти стовпці.
Властивість 2. При множенні елементів рядка визначника деяке число весь визначник множиться цього число, тобто.
.
Доведення.
Властивість 3.Визначник, що має нульовий рядок, дорівнює 0.
Доказ цієї властивості випливає із властивості 2 при k = 0.
Властивість 4.Визначник, що має два рівні рядки, дорівнює 0.
Доведення.
Властивість 5. Визначник, два рядки якого пропорційні, дорівнює 0.
Доказ випливає з властивостей 2 та 4.
Властивість 6. При перестановці двох рядків визначника він збільшується на –1.
Доведення.
Властивість 7.
Доказ цієї властивості можна провести самостійно, порівнявши значення лівої та правої частин рівності, знайдені за допомогою визначення 1.5.
Властивість 8.Величина визначника не зміниться, якщо до елементів одного рядка додати відповідні елементи іншого рядка, помножені на те саме число.
Мінор. Алгебраїчне доповнення. Теорема Лапласа.
Метод приведення до трикутного виглядуполягає в такому перетворенні даного визначника, коли всі елементи його, що лежать з одного боку однієї з його діагоналей, стають рівними нулю.
Приклад 8.Обчислити визначник
Приведення до трикутного вигляду.
Рішення.Віднімемо перший рядок визначника з інших його рядків. Тоді отримаємо
.
Цей визначник дорівнює добутку елементів головної діагоналі. Таким чином, маємо
Зауваження.Все розглянуте вище можна узагальнити визначників n-го порядку.
Приведення матриці до ступінчастого вигляду. Елементарні перетворення рядків та стовпців.
Елементарними перетвореннями матриціназиваються такі її перетворення:
I. Перестановка двох стовпців (рядків) матриці.
ІІ. Примноження всіх елементів одного стовпця (рядки) матриці на те саме число, відмінне від нуля.
ІІІ. Додаток до елементів одного стовпця (рядки) відповідних елементів іншого стовпця (рядка), помножених на те саме число.
Матриця отримана з вихідної матриці кінцевим числом елементарних перетворень, називається еквівалентної . Це позначається.
Елементарні перетворення застосовуються для спрощення матриць, що буде використовуватися надалі для вирішення різних завдань.
Щоб привести матрицю до ступінчастого вигляду (рис. 1.4), необхідно виконати такі дії.
1. У першому стовпці вибрати елемент, відмінний від нуля ( провідний елемент ). Рядок з провідним елементом ( провідний рядок ), якщо вона не перша, переставити на місце першого рядка (перетворення I типу). Якщо в першому стовпці немає ведучого (всі елементи дорівнюють нулю), то виключаємо цей стовпець, і продовжуємо пошук провідного елемента в частині матриці, що залишилася. Перетворення закінчуються, якщо виключені всі стовпці або в частині матриці, що залишилася, всі елементи нульові.
2. Розділити всі елементи провідного рядка на провідний елемент (перетворення типу II). Якщо провідний рядок останній, то на цьому перетворення слід закінчити.
3. До кожного рядка, розташованого нижче ведучої, додати провідний рядок, помножений відповідно на таке число, щоб елементи, що стоять під ведучим, дорівнювали нулю (перетворення III типу).
4. Виключивши з розгляду рядок і стовпець, на перетині яких стоїть провідний елемент, перейти до пункту 1, в якому всі описані дії застосовуються до частини матриці, що залишилася.
приклад 1.29.Привести до східчастого вигляду матриці
Визначення. Ступінчастоїбудемо називати матрицю, яка має наступні властивості:
1) якщо i-й рядок нульовий, то (I + 1)-й рядок також нульовий,
2) якщо перші ненульові елементи i-й та (I+1)-й рядків розташовані в стовпцях з номерами k та R, відповідно, то k< R.
Умова 2) вимагає обов'язкового збільшення нулів зліва при переході від i-го рядка до (I+1)-го рядка. Наприклад, матриці
А 1 = , А 2 = 
, А 3 = 
є ступінчастими, а матриці
У 1 = 
, В 2 = 
, В 3 = 
ступінчастими не є.
Теорема 5.1.Будь-яку матрицю можна призвести до ступінчастого за допомогою елементарних перетворень рядків матриці.
Проілюструємо цю теорему з прикладу.
А = 
Матриця, що вийшла ─ ступінчаста.
Визначення. Рангом матриціназиватимемо число ненульових рядків у ступінчастому вигляді цієї матриці.
Наприклад, ранг матриці А попередньому прикладі дорівнює 3.
Лекція 6
Визначники, властивості. Зворотна матриця та її обчислення.
Визначники другого порядку.
Розглянемо квадратну матрицю другого порядку
А = 
Визначення. Визначником другого порядку,відповідним матриці А,називається число, що обчислюється за формулою
│А│= 
= 
.
Елементи a ij називаються елементами визначника│А│, елементи а 11 , а 22 утворюють головну діагональ, а елементи а 12 а 21 ─ побічну.
приклад. 
= -28 + 6 = -22
Визначники третього порядку.
Розглянемо квадратну матрицю третього порядку
А = 
Визначення. Визначником третього порядку,відповідним матриці А, називається число, що обчислюється за формулою
│А│= 
=
Щоб запам'ятати, які твори у правій частині рівності слід брати зі знаком «плюс», а які ─ зі знаком «мінус», корисно запам'ятати правило, яке називається правилом трикутника.
= 
─
Приклади:
1) 
= - 4 + 0 + 4 – 0 + 2 +6 = 8
2) 
= 1, тобто. │Е 3 │= 1.
Розглянемо ще один метод обчислення визначника третього порядку.
Визначення. Мінором елемента a ij визначника називається визначник, отриманий з даного креслення i-го рядка і j-го стовпця. Алгебраїчним доповненням A ij елемента a ij визначника називається його мінор M ij взятий зі знаком (-1) i + j .
приклад.Обчислимо мінор М 23 і додаток алгебри А 23 елемента а 23 в матриці
А = 
Обчислимо мінор М 23:
М 23 = 
= 
= - 6 + 4 = -2
А 23 = (-1) 2+3 М 23 = 2
Теорема 1.Визначник третього порядку дорівнює сумі творів елементів будь-якого рядка (стовпця) з їхньої алгебраїчні доповнення.
Док-во. За визначенням
= (1)
Виберемо, наприклад, другий рядок і знайдемо додаток алгебри А 21 , А 22 , А 23:
А 21 = (-1) 2+1 
= -(
) = 
А 22 = (-1) 2+2 
= 
А 23 = (-1) 2+3 
= - (
) = 
Перетворимо формулу (1)
│А│= ( 
) + (
) + (
) = А 21 + А 22 + А 23
│А│= А 21 + А 22 + А 23
називається розкладанням визначника│А│ за елементами другого рядка. Аналогічно розкладання можна отримати за елементами інших рядків та будь-якого стовпця.
приклад.
= (за елементами другого стовпця) = 1× (-1) 1+2 
+ 2 × (-1) 2+2 
+
+ (-1)(-1) 3+2 
= - (0 + 15) + 2(-2 +20) + (-6 +0) = -15 +36 – 6 = 15.
6.3. Визначник n-го порядку (n N).
Визначення. Визначником n-го порядку,відповідним матриці n-го порядку
А = 
Називається число, що дорівнює сумі творів елементів будь-якого рядка (стовпця) з їхньої алгебраїчні доповнення, тобто.
│A│= А i1 + A i2 + … + A in = А 1j + A 2j + … + A nj
Неважко помітити, що з n = 2 виходить формула для обчислення визначника другого порядку.
приклад. 
= (за елементами 4-го рядка) = 3×(-1) 4+2 
+
2×(-1) 4+4 
= 3 (-6 + 20 - 2 - 32) +2 (-6 +16 +60 +2) = 3 (-20) +2 × 72 = -60 +144 = 84.
Зауважимо, що якщо у визначнику всі елементи будь-якого рядка (стовпця), крім одного, дорівнюють нулю, то при обчисленні визначника його зручно розкласти по елементах цього рядка (стовпця).
приклад.
│Е n │= 
= 1 × │E n -1 │ = … = │E 3 │= 1
Властивості визначників.
Визначення.Матрицю виду
або 
будемо називати трикутною матрицею.
Властивість 1.Визначник трикутної матриці дорівнює добутку елементів головного діагоналі, тобто.
= 
= 
Властивість 2.Визначник матриці з нульовим рядком або нульовим стовпцем дорівнює нулю.
Властивість 3. .Під час транспонування матриці визначник не змінюється, тобто.
│А│= │А t │.
Властивість 4.Якщо матриця виходить з матриці А множенням кожного елемента деякого рядка на число k, то
│В│= k│А│
Властивість 5.
= 
= 
Властивість 6.Якщо матриця виходить з матриці А перестановкою двох рядків, то │В│= −│А│.
Властивість 7.Визначник матриці з пропорційними рядками дорівнює нулю, зокрема нулю дорівнює визначник матриці з двома однаковими рядками.
Властивість 8.Визначник матриці не змінюється, якщо до елементів одного рядка додати елементи іншого рядка матриці, помножені на деяке число.
Зауваження.Так як за якістю 3 визначник матриці не змінюється при транспонуванні, то всі властивості про рядки матриці правильні і для стовпців.
Властивість 9.Якщо А та В ─ квадратні матриці порядку n, то │АВ│=│А││В│.
Зворотна матриця.
Визначення.Квадратна матриця А порядку n називається зворотній,якщо існує матриця така, що АВ = ВА = Е n . У цьому випадку матриця називається зворотної до матриціА і позначається А-1.
Теорема 2.Справедливі такі твердження:
1) якщо матриця А оборотна, існує точно одна їй зворотна матриця;
2) зворотна матриця має визначник, відмінний від нуля;
3) якщо А і В - зворотні матриці порядку n, то матриця АВ оборотна, причому (АВ) -1 =
В -1 ×А -1 .
Доведення.
1) Нехай В і С матриці, зворотні до матриці А, тобто. АВ = ВА = Е n і АС = СА = Е n. Тоді В = ВЕ n = В(АС) = (ВА)С = Е n С = С.
2) Нехай матриця А оборотна. Тоді існує матриця А-1, їй зворотна, причому
За якістю 9 визначника │АА -1 │=│А││А -1 │. Тоді │А││А -1 │=│Е n │, звідки
│А││А -1 │= 1.
Отже, │А│¹ 0.
3) Справді,
(АВ)(В -1 А -1) = (А(ВВ -1))А -1 = (АЕ n)А -1 = АА -1 = Е n.
(В -1 А -1)(АВ) = (В -1 (А -1 А))В = (В -1 Е n)В = В -1 В = Е n.
Отже, АВ ─ оборотна матриця, причому (АВ) -1 = В -1 А -1 .
Наступна теорема дає критерій існування зворотної матриці та її обчислення.
Теорема 3.Квадратна матриця А оборотна тоді і лише тоді, коли її визначник відмінний від нуля. Якщо │А│¹ 0, то
А -1 = = 
приклад.Знайти матрицю, обернену для матриці А = 
Рішення.│А│= = 6 + 1 = 7.
Оскільки │А│¹ 0, існує зворотна матриця
А -1 = = 
Обчислюємо А11 = 3, А12 = 1, А21 = -1, А22 = 2.
А -1 = 
.
лекція 7.
Системи лінійних рівнянь. Критерій спільності системи лінійних рівнянь. Метод Гауса вирішення систем лінійних рівнянь. Правило Крамера та матричний метод вирішення систем лінійних рівнянь.
Систем лінійних рівнянь.
Сукупність рівнянь виду
(1)
називається системою m лінійних рівнянь із n невідомимих 1, х 2, …, х n. Числа a ij називаються коефіцієнтами системи,а числа b i ─ вільними членами.
Рішенням системи (1)називається сукупність чисел з 1, з 2, ..., з n, при підстановці яких в систему (1) замість х 1, х 2, ..., х n, отримуємо вірні числові рівності.
Вирішити систему─ значить знайти всі її рішення чи довести, що їх немає. Система називається спільної, якщо вона має хоча б одне рішення, та несуміснийякщо рішень немає.
Матриця, складена з коефіцієнтів системи
А = 
Називається матрицею системи (1). Якщо до матриці системи додати стовпець вільних членів, то отримаємо матрицю
В = 
,
яку називають розширеною матрицею системи (1).
Якщо позначимо
Х = , С = , то систему (1) можна записати як матричного рівняння АХ=С.
Щоб привести матрицю до ступінчастого вигляду (рис. 1.4), необхідно виконати такі дії.
1. У першому стовпці вибрати елемент, відмінний від нуля ( провідний елемент ). Рядок з провідним елементом ( провідний рядок ), якщо вона не перша, переставити на місце першого рядка (перетворення I типу). Якщо в першому стовпці немає ведучого (всі елементи дорівнюють нулю), то виключаємо цей стовпець, і продовжуємо пошук провідного елемента в частині матриці, що залишилася. Перетворення закінчуються, якщо виключені всі стовпці або в частині матриці, що залишилася, всі елементи нульові.
2. Розділити всі елементи провідного рядка на провідний елемент (перетворення типу II). Якщо провідний рядок останній, то на цьому перетворення слід закінчити.
3. До кожного рядка, розташованого нижче ведучої, додати провідний рядок, помножений відповідно на таке число, щоб елементи, що стоять під ведучим, дорівнювали нулю (перетворення III типу).
4. Виключивши з розгляду рядок і стовпець, на перетині яких стоїть провідний елемент, перейти до пункту 1, в якому всі описані дії застосовуються до частини матриці, що залишилася.
7. Теорема про розклад визначника за елементами рядка.
Теорема про розкладання визначника за елементами рядка чи стовпця дозволяє звести обчислення визначника - го порядку () до обчислення визначників порядку .
Якщо визначник має рівні нулю елементи, то зручніше розкладати визначник по елементах того рядка або стовпця, який містить найбільше число нулів.
Використовуючи властивості визначників, можна перетворити визначник - го порядку так, щоб усі елементи деякого рядка або стовпця, крім одного, стали рівними нулю. Таким чином, обчислення визначника - го порядку, якщо він відмінний від нуля, зведеться до обчислення одного визначника - го порядку.
Завдання 3.1.Обчислити визначник
Рішення.Додавши до другого рядка перший, до третього – перший, помножений на 2, до четвертого – перший, помножений на -5, отримаємо
Розкладаючи визначник за елементами першого стовпця, маємо
В отриманому визначнику 3-го порядку звернемо нанівець усі елементи першого стовпця, крім першого. Для цього до другого рядка додамо перший, помножений на (-1), до третього, помноженого на 5, додамо перший, помножений на 8. Так як множили третій рядок на 5, то (для того, щоб визначник не змінився) помножимо його на . Маємо
Отриманий визначник розкладемо за елементами першого стовпця:
8. Теорема Лапласа (1). Теорема про чужі доповнення(2)
1) Визначник дорівнює сумі творів елементів будь-якого рядка на їх алгебраїчні доповнення.
2) Сума творів елементів будь-якого рядка визначника на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого його рядка дорівнює нулю (теорема про множення на чужі алгебраїчні доповнення).
9. Арифметичні векторні простори.
Будь-яка точка на площині при вибраній системі координат визначається парою (α, β) своїх координат; числа α і β можна розуміти також як координати радіусу-вектора з кінцем у цій точці. Аналогічно, у просторі трійка (α, β, γ) визначає точку або вектор із координатами α, β, γ. Саме на цьому ґрунтується добре відома читачеві геометрична інтерпретація систем лінійних рівнянь із двома чи трьома невідомими. Так, у разі системи двох лінійних рівнянь із двома невідомими
а 1 х + b 1 у = с 1
а 2 х + b 2 у = з 2
кожне з рівнянь тлумачиться як пряма на площині (див. рис. 26), а рішення (α, β) - як точка перетину цих прямих або вектор з координатами аїр (рисунок відповідає випадку, коли система має єдине рішення).
Мал. 26
Аналогічно можна зробити з системою лінійних рівнянь з трьома невідомими, інтерпретуючи кожне рівняння як рівняння площини у просторі.
У математиці та різних її додатках (зокрема, в теорії кодування) доводиться мати справу із системами лінійних рівнянь, що містять більше трьох невідомих. Системою лінійних рівнянь з n невідомими x 1 , х 2 , ..., х n називається сукупність рівнянь виду
а 11 х 1 + а 12 х 2 + ... + а 1n х n = b 1
а 21 х 1 + а 22 х 2 + ... + а 2n х n = b 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)
а m1 х 1 + а m2 х 2 + ... + а mn х n = b m,
де a ij та b i - довільні дійсні числа. Число рівнянь у системі може бути будь-яким і ніяк не пов'язане з кількістю невідомих. Коефіцієнти при невідомих ij мають подвійну нумерацію: перший індекс i вказує номер рівняння, другий індекс j - номер невідомого, при якому стоїть даний коефіцієнт. Будь-яке рішення системи сприймається як набір (дійсних) значень невідомих (α 1 , α 2 , ..., α n), що обертають кожне рівняння у правильну рівність.
Хоча безпосереднє геометричне тлумачення системи (1) при n > 3 вже неможливо, проте цілком можливо і у багатьох відношеннях зручно поширити на випадок довільного n геометричну мову простору двох або трьох вимірів. Цій меті і є подальші визначення.
Будь-який упорядкований набір з n дійсних чисел (α 1 , α 2 , ..., α n) називається n-вимірним арифметичним вектором, а самі числа α 1 , α 2 , ..., α n - координатами цього вектора.
Для позначення векторів використовується, як правило, жирний шрифт і для вектора з координатами α 1 , α 2 , ..., α n зберігається звичайна форма запису:
а = (α 1, α 2, ..., α n).
За аналогією зі звичайною площиною множину всіх n-вимірних векторів, що задовольняють лінійному рівнянню з n невідомими, називають гіперплощиною в n-вимірному просторі. При такому визначенні безліч всіх рішень системи (1) є не що інше, як перетин декількох гіперплощин.
Додавання та множення n-мірних векторів визначаються за тими самими правилами, що і для звичайних векторів. А саме, якщо
а = (α 1 , α 2 , ..., α n), b = (β 1 , β 2 , ..., β n) (2)
Два n-мірних вектори, то їх сумою називається вектор
α + β = (α 1 + β 1 , α 2 + β 2 ..., α n + β n). (3)
Добутком вектора на число λ називається вектор
λа = (λα 1 , λα 2 , ..., λα n). (4)
Безліч всіх n-вимірних арифметичних векторів з операціями складання векторів і множення вектора на число називається арифметичним n-вимірним векторним простором L n .
Використовуючи введені операції, можна розглядати довільні лінійні комбінації кількох векторів, тобто вирази виду
λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k ,
де i - дійсні числа. Наприклад, лінійна комбінація векторів (2) з коефіцієнтами λ і μ - це вектор
λа + μb = (λα 1 + μβ 1 , λα 2 + μβ 2 , ..., λα n + μβ n).
У тривимірному просторі векторів особливу роль грає трійка векторів i, j, k (координатні орти), якими розкладається будь-який вектор а:
a = xi + yj + zk,
де х, у, z – дійсні числа (координати вектора а).
У n-вимірному випадку таку ж роль відіграє наступна система векторів:
e 1 = (1, 0, 0, ..., 0),
e 2 = (0, 1, 0, ..., 0),
e 3 = (0, 0, 1, ..., 0),
. . . . . . . . . . . . (5)
e n = (0, 0, 0, ..., 1).
Будь-який вектор є, очевидно, лінійна комбінація векторів е 1 , e 2 , ..., e n:
а = а 1 е 1 + а 2 е 2 + ... + а n е n (6)
причому коефіцієнти 1, 2, ..., n збігаються з координатами вектора а.
Позначаючи через 0 вектор, всі координати якого дорівнюють нулю (коротко, нульовий вектор), введемо таке важливе визначення:
Система векторів а 1 , а 2 , ..., а k називається лінійно залежною, якщо існує рівна нульовому вектору лінійна комбінація
λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k = 0,
в якій хоча б один з коефіцієнтів h 1 , 2 , ..., λ k відмінний від нуля. Інакше система називається лінійно незалежною.
Так, вектори
а 1 = (1, 0, 1, 1), а 2 = (1, 2, 1, 1), а 3 = (2, 2, 2, 2)
лінійно залежні, оскільки
a 1 + a 2 – а 3 = 0.
Лінійна залежність, як видно з визначення, рівносильна (при k ≥ 2) тому, що хоча б один із векторів системи є лінійною комбінацією інших.
Якщо система і двох векторів a 1 , а 2 , то лінійна залежність системи означає, що з векторів пропорційний іншому, скажімо, а 1 = λа 2 ; у тривимірному випадку це рівнозначно колінеарності векторів а 1 і 2 . Так само лінійна залежність системи I із трьох векторів у звичайному просторі означає компланарність цих векторів. Поняття лінійної залежності є таким чином природним узагальненням понять колінеарності та компланарності.
Неважко переконатися, що вектори е 1 , е 2 , ..., е n із системи (5) лінійно незалежні. Отже, в n-вимірному просторі існують системи з n лінійно незалежних векторів. Можна показати, що будь-яка система з більшої кількості векторів лінійно залежить.
Будь-яка система a 1 , а 2 ..., а n з n лінійно незалежних векторів n-вимірного простору L n називається його базисом.
Будь-який вектор простору L n розкладається, і притому єдиним чином, за векторами довільного базису a 1 , а 2 , ..., а n:
а = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n.
Цей факт легко встановлюється виходячи з визначення базису.
Продовжуючи аналогію з тривимірним простором, можна і в n-вимірному випадку визначити скалярний твір а · b векторів, вважаючи
a · b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n .
За такого визначення зберігаються всі основні властивості скалярного твору тривимірних векторів. Вектори а і b називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю:
α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0.
Теоретично лінійних кодів використовується ще одне важливе поняття - поняття підпростору. Підмножина V простору L n називається підпростором цього простору, якщо
1) для будь-яких векторів а, b, що належать V, їхня сума а + b також належить V;
2) для будь-якого вектора а, що належить V, і для будь-якого дійсного числа λ вектор λа також належить V.
Наприклад, безліч всіх лінійних комбінацій векторів e 1 , е 2 із системи (5) буде підпростором простору L n .
У лінійній алгебрі доводиться, що у будь-якому підпросторі V існує така лінійно незалежна система векторів a 1 , a 2 , ..., a k , що кожен вектор підпростору є лінійною комбінацією цих векторів:
a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k.
Зазначена система векторів називається базисом підпростору V.
З визначення простору та підпростору безпосередньо випливає, що простір L n є комутативна група щодо операції складання векторів, а будь-яке його підпростір V є підгрупою цієї групи. У цьому сенсі можна, наприклад, розглядати суміжні класи простору L n підпростором V.
На закінчення підкреслимо, що якби теорії n-мірного арифметичного простору замість дійсних чисел (тобто елементів поля дійсних чисел) розглядати елементи довільного поля F, всі визначення і факти, наведені вище, зберегли б силу.
У теорії кодування важливу роль відіграє випадок, коли поле F поле відрахувань Z p , яке, як знаємо, звичайно. У цьому випадку відповідний n-вимірний простір також звичайно і містить, як неважко бачити, р n елементів.
Поняття простору, як і поняття групи та кільця, допускає також і аксіоматичне визначення. За подробицями ми відсилаємо Живителя до будь-якого курсу лінійної алгебри.
10. Лінійна комбінація. Лінійно залежні та незалежні системи векторів.