Запис десяткових чисел (двійково-десятковий код). Інформатика – система числення. Види систем числення Переведення десяткового числа в двійкове

Двійково-десяткова система числення набула великого поширення в сучасних комп'ютерах через легкість переведення в десяткову систему і назад. Вона використовується там, де основна увага приділяється не простоті технічної побудови машини, а зручності роботи користувача. У цій системі числення всі десяткові цифри кодуються окремо чотирма двійковими цифрами і в такому вигляді записуються послідовно один за одним.

Двійково-десяткова система не економічна з погляду реалізації технічної побудови машини (приблизно на 20% збільшується потрібне обладнання), але дуже зручна під час підготовки завдань та програмування. У двійково-десятковій системі числення основою системи числення є число десять, але кожна з десяти десяткових цифр (0, 1, ..., 9) зображується з допомогою двійкових цифр, тобто кодується двійковими цифрами. Для представлення однієї десяткової цифри використовуються чотири двійкові. Тут є, звичайно, надмірність, оскільки чотири двійкові цифри (або двійкова зошита) можуть зобразити не 10, а 16 чисел, але це вже витрати виробництва для зручності програмування. Існує цілий ряд двійково-кодованих десяткових систем уявлення чисел, що відрізняються тим, що певним поєднанням нулів і одиниць усередині одного зошита поставлені у відповідність ті чи інші значення десяткових цифр 1 .

У найчастіше використовуваної природної двійково-кодованої десяткової системі числення ваги двійкових розрядів усередині зошити природні, тобто 8, 4, 2, 1 (табл. 3.1).

Таблиця 3.1. Таблиця двійкових кодів десяткових та шістнадцяткових цифр

Наприклад, десяткове число 9703 у двійково-десятковій системі виглядає так: 1001011100000011.

18 питання. ос.Логічні засади роботи ЕОМ. Операції алгебри логіки

Алгебра логіки передбачає безліч логічних операцій. Однак три з них заслуговують на особливу увагу, т.к. з їхньою допомогою можна описати всі інші, і, отже, використовувати менше різноманітних пристроїв при конструюванні схем. Такими операціями є кон'юнкція(І), диз'юнкція(АБО) та заперечення(НЕ). Часто кон'юнкцію позначають & , диз'юнкцію - || , а заперечення - рисою над змінною, що означає висловлювання.

При кон'юнкції істина складного вираження виникає у разі істинності всіх простих висловів, у тому числі складається складне. У решті випадків складний вираз буде хибним.

При диз'юнкції істина складного вираження настає при істинності хоча б одного простого виразу, що входить до нього, або двох відразу. Буває, що складний вираз складається більш ніж з двох простих. В цьому випадку достатньо, щоб одне просте було істинним, і тоді все висловлювання буде істинним.

Заперечення - це унарна операція, тому що виконується по відношенню до одного простого виразу або по відношенню до результату складного. В результаті заперечення виходить новий вислів, протилежний вихідному.

19 питання.Основні правила алгебри логіки

Звичайна запис цих законів у формальній логіці:

20 питання.Таблиця істинності

Таблиці істинності

Логічні операції зручно описувати так званими таблицями істинності, В яких відображають результати обчислень складних висловлювань при різних значеннях вихідних простих висловлювань. Прості висловлювання позначаються змінними (наприклад, A та B).

21 Питання.Логічні елементи. Їх назви та позначення на схема

Як використовувати отримані нами знання з галузі математичної логіки для конструювання електронних пристроїв? Нам відомо, що Про і 1 у логіці не просто цифри, а позначення станів якогось предмета нашого світу, умовно званих "брехня" та "істина". Таким предметом, що має два фіксовані стани, може бути електричний струм. Пристрої, що фіксують два стійкі стани, називаються бістабільними(Наприклад, вимикач, реле). Якщо пам'ятаєте, перші обчислювальні машини були релейними. Пізніше було створено нові пристрої керування електрикою - електронні схемискладаються з набору напівпровідникових елементів. Такі електронні схеми, які перетворюють сигнали лише двох фіксованих напруг електричного струму (бістабільні), стали називати логічними елементами.

Логічний елемент комп'ютера- це частина електронної логічної схеми, яка реалізує елементарну логічну функцію.

Логічними елементами комп'ютерів є електронні схеми І, АБО, НЕ, І-НЕ, АБО-НЕта інші (звані також вентилями), а також тригер.

За допомогою цих схем можна реалізувати будь-яку логічну функцію, яка описує роботу пристроїв комп'ютера. Зазвичай у вентилів буває від двох до восьми входів та один або два виходи.

Щоб представити два логічні стани - "1" і "0" у вентилях, відповідні їм вхідні та вихідні сигнали мають один із двох встановлених рівнів напруги. Наприклад, +5 вольт та 0 вольт.

Високий рівень зазвичай відповідає значенню "істина" ("1"), а низький - значенню "брехня" ("0").

Кожен логічний елемент має своє умовне позначення,яке виражає його логічну функцію, але не вказує на те, яка саме електронна схема у ньому реалізована. Це спрощує запис та розуміння складних логічних схем.

Роботу логічних елементів описують з допомогою таблиць істинності.

Таблиця істинностіце табличне подання логічної схеми (операції), в якому перераховані всі можливі поєднання значень істинності вхідних сигналів (операндів) разом зі значенням істинності вихідного сигналу (результату операції) для кожного з цих поєднань.

Поняття змішаної системи числення

Серед систем числення виділяють клас так званих змішаних систем числення.

Визначення 1

Змішаноюназивається така система зчислення, в якій числа, задані в деякій системі числення з основою $P$, зображуються за допомогою цифр іншої системи числення з основою $Q$, де $Q

При цьому в такій системі числення, щоб уникнути різночитання зображення кожної цифри системи з основою $P$ відводиться однакова кількість розрядів системи з основою $Q$, достатня для представлення будь-якої цифри системи з основою $P$.

Прикладом змішаної системи числення є двійково-десяткова система.

Практичне обґрунтування використання двійково-десяткової системи числення

Оскільки людина у своїй практиці широко використовує десяткову систему числення, а для комп'ютера властиво оперування двійковими числами та двійковою арифметикою, було введено в практику компромісний варіант. система двійково-десяткового запису чисел, яка, як правило, використовується там, де є необхідність частого використання процедури десяткового введення-виведення (наприклад, електронний годинник, калькулятори і т.д.). У подібних пристроях не завжди доцільно застосовувати універсальний мікрокод переведення двійкових чисел у десяткові і назад через невеликий обсяг програмної пам'яті.

Зауваження 1

У деяких типах ЕОМ в арифметико-логічних пристроях (АЛП) є спеціальні блоки десяткової арифметики, які виконують операції над числами, поданими у двійково-десятковому коді. Це дозволяє деяких випадках істотно підвищити продуктивність ЕОМ.

Наприклад, в автоматизованій системі обробки даних використовується велика кількість чисел, а обчислень при цьому небагато. У разі операції перекладу чисел з однієї системи на іншу істотно перевищили час виконання операцій із обробці інформації. Мікропроцесори використовують чисті двійкові числа, проте при цьому розуміють і команди перетворення в двійково-десятковий запис. АЛУ AVR-мікроконтролера (як і інших мікропроцесорів) виконує елементарні арифметичні та логічні операції над числами, представленими в двійковому коді, а саме:

зчитує результати перетворення АЦП;

у форматі цілих чисел чи з плаваючою точкою виконує обробку результатів виміру.

Однак остаточний результат при цьому виводиться на індикатор у десятковому форматі, зручному для сприйняття людиною.

Принципи побудови двійково-десяткової системи числення

При побудові двійково-десяткової системи числення зображення кожної десяткової цифри в ній відводиться $4$ двійкових розряду, оскільки максимальна десяткова цифра $9$ кодується як $10012$.

Наприклад: $925_(10) = 1001 0010 0101_(2-10)$.

Малюнок 1.

У цьому записі послідовні четвірки двійкових розрядів зображують цифри $9$, $2$ і $5$ десяткового запису відповідно.

Для запису числа в двійково-десятковій системі числення його необхідно спочатку подати в десятковій системі, а потім кожну, що входить до складу числа, десяткову цифру подати в двійковій системі. При цьому для написання різних десяткових цифр у двійковій системі числення потрібна різна кількість двійкових розрядів. Щоб уникнути застосування будь-яких розділових знаків, при двійковому зображенні десяткової цифри завжди записується 4 двійкових розряду. Група цих чотирьох розрядів називається зошитом.

Хоча в двійково-десятковому записі використовуються тільки цифри $0$ і $1$, вона відрізняється від двійкового зображення даного числа, оскільки десятковий еквівалент двійкового числа в кілька разів більший за десятковий еквівалент двійково-десяткового числа.

Наприклад:

$1001 0010 0101_{(2)} = 2341_{(10)}$,

$1001 0010 0101_{(2)} = 925_{(2-10)}$.

Такий запис часто використовується як проміжний етап при переведенні числа з десяткової системи в двійкову і назад. Так як число $10$ не є точним ступенем числа $2$, то використовуються не всі $16$ зошит (зошити, що зображають числа від $A$ до $F$ відкидаються, оскільки ці числа вважаються забороненими), алгоритми арифметичних операцій над багатозначними числами у разі складніші, ніж у основних системах числення. І, тим не менш, двійково-десяткова система числення використовується навіть на цьому рівні у багатьох мікрокалькуляторах та деяких комп'ютерах.

Щоб відкоригувати результати арифметичних операцій над числами, представленими в двійково-десятковому коді, у мікропроцесорній техніці використовуються команди, які перетворюють результати операцій на двійково-десяткову систему числення. При цьому використовується таке правило: при отриманні в результаті операції (додавання або віднімання) в зошит числа, більшого, ніж $ 9 $, до цього зошита додають число $ 6 $.

Наприклад: $75+18=93$.

$10001101 \ (8D)$

У молодшому зошиті з'явилася заборонена цифра $D$. Додамо до молодшого зошита $6$ і отримаємо:

$10010011 \ (93)$

Як бачимо, незважаючи на те, що додавання здійснювалося в двійковій системі числення результат операції вийшов у двійково-десятковій.

Зауваження 2

Порозрядне врівноважування часто здійснюють на основі двійково-десяткової системи числення. Застосування двійкової та двійково-десяткової системи числення найбільш доцільно, оскільки в цьому випадку кількість тактів урівноваження виявляється найменшою серед інших систем числення. Зауважимо, що застосування двійкового коду дозволяє приблизно на $20% зменшити час обробки компенсуючої напруги в порівнянні з двійково-десятковим.

Переваги використання двійково-десяткової системи числення

Перетворення чисел з десяткової системи на двійково-десяткову систему числення не пов'язане з обчисленнями і його легко реалізувати, використовуючи при цьому найпростіші електронні схеми, оскільки перетворюється невелика кількість (4) двійкових цифр. Зворотне перетворення відбувається в ЕОМ автоматично за допомогою особливої ​​програми перекладу.

Застосування двійково-десяткової системи числення спільно з однією з основних систем числення (двійкової) дозволяє розробляти та створювати високопродуктивні ЕОМ, оскільки використання блоку десяткової арифметики в АЛУ виключає при вирішенні завдань необхідність програмованого перекладу чисел з однієї системи числення до іншої.

Оскільки дві двійково-десяткові цифри становлять $1$ байт, за допомогою якого можна уявити значення чисел від $0$ до $99$, а не від $0$ до $255$, як при використанні $8$-розрядного двійкового числа, то використовуючи $1$ байт для подання кожних двох десяткових цифр, можна формувати двійково-десяткові числа з будь-яким необхідним числом десяткових розрядів.

(Методична розробка)

Завдання: Перетворити числа, виражені в десятковій формі, двійкову форму, потім зробити множення.

Примітка: Правила множення такі самі, як і в десятковій системі числення.

Помножити: 5 × 5 = 25

Перетворимо десяткове число 5 у двійковий код

5: 2 = 2 залишок 1 Отриманий результат

2: 2 = 1 залишок 0 записуємо у зворотному

1: 2 = 0 залишок 1 порядку

Таким чином: 5(10) = 101(2)

Перетворимо десяткове число 25 у двійковий код

25: 2 = 12 залишок 1

12: 2 = 6 залишок 0 Отриманий результат

6: 2 = 3 залишок 0 записуємо у зворотному

3: 2 = 1 залишок 1 порядку

1: 2 = 0 залишок 1

Таким чином: 11001(2) = 25(10)

Проводимо перевірку:

Виробляємо двійкове множення

Правила множення в двійковій системі такі самі, як і в десятковій системі числення.

1) 1×1, буде 1, записуємо 1.

2) 1×0, буде 0, записуємо 0.

3) 1×1, буде 1, записуємо 1.

4) Записуємо три нулі, причому перший нуль під другим знаком (нулем).

5) Множення 1 × 101 таке саме, як і п.п. 1, 2, 3.

Проводимо операцію складання.

6) Зносимо та записуємо 1.

7) 0+0 буде нуль, записуємо 0.

8) 1 + 1 буде 10, записуємо нуль, а одиницю переносимо до старшого розряду.

9) 0 + 0 + 1 буде 1, записуємо 1

10) Зносимо та записуємо 1.

Завдання 1: Виконати множення у двійковій формі

Завдання: Перетворити числа, вираз у десятковій формі, двійкову форму, потім зробити поділ.

Примітка: Правила поділу такі самі, як і в десятковій системі числення.

Якщо результат ділиться без залишку, записуємо – 0, інакше (з рештою) – 1

Розділити: 10:2 = 5

Перетворимо десяткове число 10 у двійковий код:

Отриманий результат

записуємо у зворотному

Таким чином: 1010(2) = 10(10)

Перетворимо десяткове 2 на двійковий код

2:2 = 1 залишок 0

1:2 = 0 залишок 1

Таким чином: 10(2) = 2(10)

Перетворимо десяткове 5 на двійковий код

5:2 = 2 залишок 1

2:2 = 1 залишок 0

1:2 = 0 залишок 1

Таким чином: 101(2) = 5(10)

Проводимо перевірку:

1010 (2) = 0×2 0 + 1×2 1 + 0×2 2 + 1×2 3 = 0 +2+0+8 =10 (10)

10 (2) = 0×2 0 +1×2 1 = 0 +2 = 2 (10)

101 (2) = 1×2 0 +0×2 1 +1×2 2 = 1+ 0+4 = 5 (10)

Виробляємо двійковий поділ:

1010 (2) : 10 (2) = 101 (2)

Правила поділу в двійковій системі такі самі, як і в десятковій.

1) 10 розділити на 10. Беремо по 1, результат записуємо 1.

2) Зносимо 1 (одиницю), не вистачає, займаємо 0 (нуль).

3) Беремо по 1. З 10 (десяти) відняти 10 виходить нуль, що відповідає
насправді.

Завдання 1: Виконати поділ у двійковій формі

1) 10010 (2) : 110 (2) =

11000 (2) : 110 (2) =

2) 110110 (2) : 110 (2) =

Завдання 2: Отриманий результат відновити у десятковій формі.

Завдання: Відняти числа, виражені у двійковій формі, отриманий результат відновити у десяткову форму.

Відняти: 1100 (2) – 110 (2) =

Правила віднімання у двійковій формі.

Віднімання в двійковій формі подібно до віднімання в десятковій системі.

110 0 + 1 = 1

1) 0 плюс 0 дорівнює 0 (Див. правила складання чисел).

2) 1 плюс 1 дорівнює 10. Записуємо нуль, а одиницю переносимо у старший розряд, як і в десятковій системі

3) 1 плюс 1 плюс 1 дорівнює 11 – двійкове число. Записуємо 1, а другу одиницю
переносимо у старший розряд. Отримуємо: 1100 (2) , що відповідає дійсності.

Завдання: Здійснити перевірку отриманого результату.

1100 (2) = 0×2 0 + 0×2 1 +1×2 2 +1×2 3 = 0 + 0 + 4 + 8 = 12 (10)

110 (2) = 0×2 0 +1×2 1 +1×2 2 = 0 + 2 + 4 = 6 (10)

Отже, отримуємо: 6 + 6 = 12, що відповідає дійсності.

Виконати самостійно:

Завдання 1. Виконати віднімання у двійковій формі:

110 6 (10)

10000 відповідає: 16 (10)

Виконання дій відбувається в такий спосіб.

1) 0 плюс 0 дорівнює

2) 1 плюс 1 дорівнює 10 (що 2 (два) у двійковій системі представляється як 10);
Історично склалося, що для додавання чисел використовувалося десять пальців і навпаки:

9 + 1 = 10; 8 + 2 = 10; 1 + 9 = 10; 2 + 8 = 10.

Тому й відбулася десяткова система числення. А в двійковій 2 (два) знаки: 1 і 0

3) 1 плюс 0 плюс 1 дорівнює 10. Записуємо 0 та переносимо 1.

4) 1 плюс 1 дорівнює 10, оскільки це остання дія, записуємо 10, так само зробили це в десятковій системі.

Завдання: Здійснити перевірку отриманого результату:

Ця система має основу S = 10, але кожна цифра зображується чотирирозрядним двійковим числом, яке називається зошитом. Зазвичай дана система числення використовується в ЕОМ під час введення та виведення інформації. Однак у деяких типах ЕОМ АЛУ є спеціальні блоки десяткової арифметики, виконують операції над числами в двійково-десятковому коді. Це дозволяє у ряді випадків суттєво підвищувати продуктивність ЕОМ.

Наприклад, в автоматизованій системі обробки даних чисел багато, а обчислень мало. У цьому випадку операції, пов'язані з переведенням чисел з однієї системи в іншу, істотно перевищили час виконання операцій з обробки інформації.

Переведення чисел із десяткової системи в двійково-десяткову дуже простий і полягає в заміні кожної цифри двійковим зошитом.

приклад.

Записати десяткове число 572.38 (10) у двійково-десятковій системі числення.

Зворотний переклад також простий: необхідно двійково-десяткове число розбити на зошити від точки вліво (для цілої частини) і вправо (для дробової), дописати необхідну кількість незначних нулів, а потім кожен зошит записати у вигляді десяткової цифри.

приклад.

Записати двійково-десяткове число 10010.010101 (2-10) у десятковій системі числення.

Переведення чисел із двійково-десяткової до двійкової системи здійснюється за загальними правилами, описаними вище.

2.3. Вісімкова система числення

У вісімковій системі числення використовуються лише вісім цифр, тобто. ця система числення має основу S = 8. У загальному вигляді вісімкове число виглядає наступним чином:

де
.

Восьмерична система числення не потрібна ЕОМ на відміну двійкової системи. Вона зручна як компактна форма запису чисел і використовується програмістами (наприклад, у текстах програм для більш короткого та зручного запису двійкових кодів команд, адрес та операндів). У восьмеричной системі числення вага кожного розряду кратний восьми або однієї восьмий, тому восьмирозрядне двійкове число дозволяє виразити десяткові величини в межах 0-255, а восьмеричне охоплює діапазон 0-99999999 (для двійкової це становить 27 розрядів).

Оскільки 8=2 3 кожен вісімковий символ можна представити трибітовим двійковим числом. Для переведення числа з двійкової системи числення у восьмеричну необхідно розбити це число вліво (для цілої частини) і вправо (для дробової) від точки (ком) на групи по три розряди (тріади) і подати кожну групу цифрою у восьмеричній системі числення. Останні неповні тріади доповнюються необхідною кількістю незначних нулів.

приклад.

Двійкове число 10101011111101 (2) записати у вісімковій системі числення.

приклад.

Двійкове число 1011.0101 (2) записати у вісімковій системі числення.

Переведення з вісімкової системи числення до двійкової здійснюється шляхом подання кожної цифри восьмеричного числа трирозрядним двійковим числом (тріадою).

2.4. Шістнадцяткова система числення

Ця система числення має основу S = 16. У загальному вигляді шістнадцяткове число виглядає так:

де
.

Шістнадцяткова система числення дозволяє ще коротше записувати багаторозрядні двійкові числа і, ще, скорочувати запис 4-разрядного двійкового числа, тобто. напівбайта, оскільки 16 = 2 4 . Шістнадцяткова система також застосовується в текстах програм для більш короткого та зручного запису двійкових чисел.

Для переведення числа з двійкової системи числення в шістнадцяткову необхідно розбити це число ліворуч і праворуч від точки на зошити і подати кожен зошит цифрою в шістнадцятковій системі числення.

приклад.

Двійкове число 10101011111101 (2) записати в шістнадцятковій системі.

приклад.

Двійкове число 11101.01111 (2) записати в шістнадцятковій системі.

Для переведення числа з шістнадцяткової системи числення в двійкову необхідно, навпаки, кожну цифру цього числа замінити зошитом.

На закінчення слід зазначити, що переведення з однієї системи числення до іншої довільних чисел можна здійснювати за загальними правилами, описаними в розділі “Двійкова система числення”. Однак на практиці переведення чисел з десяткової системи до розглянутих систем числення і назад здійснюються через двійкову систему числення.

Крім того, слід пам'ятати, що шістнадцяткові та вісімкові числа – це лише спосіб представлення великих двійкових чисел, якими фактично оперує процесор. При цьому шістнадцяткова система виявляється кращою, оскільки в сучасних ЕОМ процесори маніпулюють словами довжиною 4, 8, 16, 32 або 64 біта, тобто. довжиною слів, кратної 4. У вісімковій системі числення переважні слова, кратні 3 бітам, наприклад слова довжиною 12 біт (як у PDP-8 фірми DEC).

У двійковій системі числення використовуються лише дві цифри 0 і 1. Іншими словами, двійка є основою двійкової системи числення. (Аналогічно у десяткової системи основа 10.)

Щоб навчитися розуміти числа у двійковій системі числення, спочатку розглянемо, як формуються числа у звичній для нас десятковій системі числення.

У десятковій системі числення ми маємо десять знаків-цифр (від 0 до 9). Коли рахунок сягає 9, то вводиться новий розряд (десятки), а одиниці обнулюються і рахунок починається знову. Після 19 розряд десятків збільшується на 1, а одиниці знову обнуляються. І так далі. Коли десятки сягають 9, потім з'являється третій розряд – сотні.

Двійкова система числення аналогічна десяткової крім того, що у формуванні числа беруть участь лише дві знака-цифри: 0 і 1. Як тільки розряд досягає своєї межі (тобто одиниці), з'являється новий розряд, а старий обнуляється.

Спробуємо рахувати в двійковій системі:
0 – це нуль
1 – це один (і це межа розряду)
10 – це два
11 – це три (і це знову межа)
100 – це чотири
101 – п'ять
110 – шість
111 - сім і т.д.

Переклад чисел із двійкової системи числення до десяткової

Не важко помітити, що у двійковій системі числення довжини чисел зі збільшенням значення зростають швидкими темпами. Як визначити, що означає ось це: 10001001? Незвичний до такої форми запису чисел людський мозок зазвичай може зрозуміти скільки це. Непогано б вміти переводити двійкові числа до десяткових.

У десятковій системі числення будь-яке число можна у формі суми одиниць, десяток, сотень тощо. Наприклад:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 10 3 + 4 * 10 2 + 7 * 10 1 + 6 * 10 0

Подивіться на цей запис уважно. Тут цифри 1, 4, 7 і 6 - це набір цифр, з яких складається число 1476. Всі ці цифри по черзі множаться на десять зведений у той чи інший ступінь. Десять – це основа десяткової системи числення. Ступінь, в яку зводиться десятка – це розряд цифри за мінусом одиниці.

Аналогічно можна розкласти будь-яке двійкове число. Тільки основа тут буде 2:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Тобто. число 10001001 на підставі 2 дорівнює числу 137 на підставі 10. Записати це можна так:

10001001 2 = 137 10

Чому двійкова система числення така поширена?

Справа в тому, що двійкова система числення - це мова обчислювальної техніки. Кожна цифра має бути представлена ​​на фізичному носії. Якщо це десяткова система, доведеться створити такий пристрій, який може бути в десяти станах. Це складно. Простіше виготовити фізичний елемент, який може бути лише у двох станах (наприклад, є струм чи ні струму). Це одна з основних причин, чому двійковій системі числення приділяється стільки уваги.

Переклад десяткового числа в двійкове

Може знадобитися перевести десяткове число в двійкове. Один із способів – це розподіл на два та формування двійкового числа із залишків. Наприклад, потрібно отримати з числа 77 його двійковий запис:

77/2 = 38 (1 залишок)
38/2 = 19 (0 залишок)
19/2 = 9 (1 залишок)
9/2 = 4 (1 залишок)
4/2 = 2 (0 залишок)
2/2 = 1 (0 залишок)
1/2 = 0 (1 залишок)

Збираємо залишки разом, починаючи з кінця: 1001101. Це і є число 77 у двійковому поданні. Перевіримо:

1001101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77