Care este determinantul. Determinant al unei matrice și proprietățile acesteia. Ce este un determinant matricial: calcularea unui determinant folosind o definiție

Puteți asocia unele numărcalculată după o anumită regulă și numită determinant.

Nevoia de a introduce conceptul determinant - numerecaracterizatoare pătrat matrice de ordine n , este strâns legat de soluția sistemelor de ecuații algebrice liniare.

Determinant matricial A vom nota: | A| sau D.

Determinantul unei matrice de prim ordinA = (a 11) se numește element a unsprezece. De exemplu, pentru A \u003d (-4) avem | A| = -4.

Determinantul matricei de ordinul doinumit numărdeterminată de formulă

|A| = .

De exemplu, | A| = .

În cuvinte, această regulă poate fi scrisă după cum urmează: cu propriul semn trebuie să luați produsul elementelor conectate diagonala principală, și produsele elementelor legate de vârfurile triunghiurilor pentru care bază paralelă cu diagonala principală... Cu semnul opus, luăm produse similare, numai cu privire la diagonala laterală.

De exemplu,

Determinarea determinantului unei matrice nNu vom da ordinul, ci vom arăta doar metoda de găsire a acestuia.

Mai departe, în loc de cuvinte determinant al unei matrice n-ordinea a să spunem că determinant n-ordinea a... Să introducem noi concepte.

Dat fiind o matrice pătrată nordinul al treilea.

MinorM ij element a matrici ij Anumit determinant (n-1) ordinul al treilea obținut din matrice A stricându-se eu-alea linie și jcoloana a.

Complementul algebric А ij al elementului а ij al matricei А se numește minorul său, luat cu semnul (-1) i + j:

A ij \u003d (-1) i + j M ij,

acestea. un complement algebric fie coincide cu minorul său când suma numerelor rândurilor și coloanelor este un număr par, fie diferă de acesta în semn când suma numerelor rândurilor și coloanelor este un număr impar.

De exemplu, pentru elemente a 11 și a 12 matrice A \u003d minori

M 11 = A 11 = ,

M 12 = ,

a A 12 = (-1) 1+2 M 12 = -8.

Teorema (despre extinderea determinantului) . Determinantul unei matrice pătrate este egal cu suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) prin complementele lor algebrice, adică

|A| = a i1 A i1 + a i2 A i2 + ... + A în A în,
pentru oricine eu = 1, 2, …, n

|A| = a 1j A 1j + a 2j A 2j + ... + A nj A nj,

pentru oricine j = 1, 2, …, n

Prima formulă se numește eu-alea linie, iar al doilea este descompunerea determinantului în elemente jcoloana a.

Este ușor de înțeles că folosind aceste formule, orice factor determinant n-ordinea a patra poate fi redusă la suma determinanților, a căror ordine va fi cu 1 mai puțin etc. până când ajungem la determinanți de ordinul 3 sau 2, al căror calcul nu mai este dificil.

Pentru a găsi un determinant, se pot aplica următoarele proprietăți de bază:

1. Dacă orice rând (sau coloană) al determinantului constă din zerouri, atunci determinantul în sine este egal cu zero.

2. La schimbarea oricăror două rânduri (sau două coloane), determinantul este înmulțit cu -1.

3. Determinantul cu două rânduri (sau coloane) identice sau proporționale este egal cu zero.

4. Factorul comun al elementelor oricărui rând (sau coloană) poate fi scos din semnul determinant.

5. Valoarea determinantului nu se va modifica dacă toate rândurile și coloanele sunt schimbate.

6. Valoarea determinantului nu se va schimba dacă la unul dintre rânduri (sau la una dintre coloane) se adaugă un alt rând (coloană) înmulțit cu orice număr.

7. Suma produselor elementelor oricărui rând (sau coloană) al unei matrice de către complementele algebrice ale elementelor unui alt rând (coloană) din această matrice este egală cu zero.

8. Determinantul produsului a două matrice pătrate este egal cu produsul determinanților lor.

Introducerea conceptului de determinant al unei matrice ne permite să definim încă o acțiune cu matrici - găsirea matricei inverse.

Pentru fiecare număr diferit de zero, există un număr invers astfel încât produsul acestor numere să dea unul. Există, de asemenea, un astfel de concept pentru matricile pătrate.

Matrice A -1 se numește versocătre pătrat matrice Adacă înmulțind această matrice cu cea dată atât în \u200b\u200bdreapta, cât și în stânga, se dă matrice de identitate, adică

A× A -1 = A -1 × A= E.

Din definiție rezultă că doar o matrice pătrată are invers; în acest caz, matricea inversă va fi pătrată de același ordin. Cu toate acestea, nu fiecare matrice pătrată are propriul său invers.

Determinant matricial (determinant al unei matrice) este un tabel pătrat de numere sau simboluri matematice ( Δd).

Definiție. Determinantul matricei n × n este numărul:

unde ( α 1, α 2, ..., α n) - permutarea numerelor din 1 inainte de n, N (α 1, α 2, ..., α n) - numărul de inversiuni în permutare, însumarea are loc peste toate permutările posibile ale ordinii n.

Determinant matricial A este denumit în general de t (A), | A |sau ? (A).

Parametrii folosiți pentru a găsi soluția tuturor tipurilor de matrici algebrice.

La găsiți determinantul unei matrice este necesar să se cunoască proprietățile de bază ale matricilor și succesiunea acțiunilor atunci când se rezolvă matricea.

1. Pentru matrici de ordine n \u003d 2 determinantul se găsește folosind formula: Δ= un 11 *un 22 -un 12 *a 21
2. Pentru matrici de ordine n \u003d 3 determinantul se găsește prin complementele algebrice sau folosind metoda Sarrus.
3. O matrice cu dimensiunea\u003e 3 este descompusă în complemente algebrice, pentru care se găsesc factorii lor determinanți (minori). De exemplu, determinantul unei matrice de ordinul 4 este calculat prin extinderea în rânduri sau coloane.

Pentru găsirea determinantului matriceicare conține funcțiile din matrice, se utilizează metode standard. De exemplu, găsiți determinantul unei matrice de ordinul trei:

Să folosim expansiunea pe prima linie:

Δ \u003d sin (x) × + 1 × \u003d 2sin (x) cos (x) - 2cos (x) \u003d sin (2x) - 2cos (x)

Calculați determinantul matricei.

Calculați determinantul unei matrice puteți utiliza mai multe metode, care vor fi listate mai jos.

Cel mai popular mod de a calcula determinantul unei matrice este metoda de potrivire a complementelor algebrice. Există o versiune mai simplă a acestei metode - calcularea determinantului folosind regula Sarrus. Aceste metode sunt excelente atunci când se calculează determinantul unei matrice mici simple și, dacă trebuie să calculați o matrice de dimensiuni mari, atunci metode pentru calcularea determinantului unei matrice:

• calculul determinantului prin metoda de scădere a ordinii,
• calculul determinantului prin metoda Gauss (prin reducerea matricei la formă triunghiulară),
• calculul determinantului prin metoda descompunerii.

Excel folosește funcția \u003d MOPRED (interval de celule) pentru a calcula determinantul.

Concept determinant n-ordinea a

Folosind acest articol despre determinanți, veți învăța cu siguranță cum să rezolvați probleme precum următoarele:

Rezolvați ecuația:

și multe altele pe care profesorii le place să le inventeze.

Determinantul unei matrice, sau pur și simplu determinant, joacă un rol important în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. În general, determinanții au fost inventați în acest scop. Întrucât „determinantul unei matrici” este de asemenea adesea spus, menționăm și matrici aici. Matrice este un tabel dreptunghiular format din numere care nu pot fi schimbate. O matrice pătrată este un tabel în care numărul de rânduri și numărul de coloane sunt aceleași. Doar o matrice pătrată poate avea un determinant.

Este ușor de înțeles logica scrierii determinanților după cum urmează. Să luăm un sistem de două ecuații cu două necunoscute care vă sunt familiare de la școală:

În determinant, coeficienții pentru necunoscute se scriu secvențial: în prima linie - din prima ecuație, în a doua linie - din a doua ecuație:

De exemplu, având în vedere sistemul de ecuații

atunci următorul determinant se formează din coeficienții cu necunoscute:

Deci, să ni se dea un tabel pătrat format din numere situate în n linii (rânduri orizontale) și în n coloane (rânduri verticale). Folosind aceste numere, conform unor reguli pe care le vom studia mai jos, găsesc un număr, care se numește determinant nordinul al treilea și sunt notate după cum urmează:

(1)

Numerele sunt apelate elemente determinant (1) (primul index indică numărul rândului, al doilea indică numărul coloanei la intersecția căruia se află elementul; eu = 1, 2, ..., n; j \u003d 1, 2, ..., n). Ordinea unui calificativ este numărul rândurilor și coloanelor sale.

O linie imaginară care leagă elemente ale determinantului, pentru care ambii indici sunt aceiași, adică elementele

numit diagonala principală, cealaltă diagonală este colateral.

Calculul determinanților ordinelor a doua și a treia

Să arătăm cum se calculează determinanții primelor trei ordine.

Determinantul de ordinul întâi este elementul în sine, adică

Determinantul de ordinul doi este un număr obținut după cum urmează:

, (2)

Produsul elementelor de pe diagonalele principale și laterale, respectiv.

Egalitatea (2) arată că produsul elementelor diagonalei principale este luat cu propriul semn, iar produsul elementelor diagonalei secundare cu semnul opus .

Exemplul 1. Calculați determinanții de ordinul doi:

Decizie. Prin formula (2) găsim:

Determinantul de ordinul trei este un număr obținut astfel:

(3)

Este dificil de reținut această formulă. Cu toate acestea, există o regulă simplă numită regula triunghiurilor , ceea ce face mai ușoară reproducerea expresiei (3). Notând elementele determinantului prin puncte, le conectăm prin segmente de linie pe cele dintre ele care dau produsele elementelor determinantului (Fig. 1).

Formula (3) arată că produsele elementelor diagonalei principale, precum și elementele situate la vârfurile a două triunghiuri, ale căror baze sunt paralele cu acesta, sunt luate cu semnele lor; cu opuse - produse de elemente ale diagonalei laterale, precum și elemente situate la vârfurile a două triunghiuri care sunt paralele cu acesta .

În Fig. 1, diagonala principală și bazele corespunzătoare ale triunghiurilor și diagonala secundară și bazele corespunzătoare ale triunghiurilor sunt evidențiate în roșu.

La calcularea factorilor determinanți, este foarte important, ca și în liceu, să ne amintim că un număr cu semn minus înmulțit cu un număr cu semn minus rezultă într-un număr cu semnul plus, iar un număr cu semnul plus înmulțit cu un număr cu semnul minus ca rezultat dă un număr cu semn minus.

Exemplul 2. Calculați determinantul de ordinul trei:

Decizie. Folosind regula triunghiului, obținem

Calculul factorilor determinanți n-ordinea a

Descompunerea unui determinant pe rând sau coloană

Pentru a calcula determinantul nÎn ordinea a treia, este necesar să cunoașteți și să utilizați următoarea teoremă.

Teorema lui Laplace. Determinantul este egal cu suma produselor elementelor unui rând prin complementele lor algebrice, adică

Definiție... Dacă în determinant n-alea ordine pentru a alege în mod arbitrar p linii și p coloane ( p < n), apoi elementele de la intersecția acestor rânduri și coloane formează matricea de ordine.

Determinantul acestei matrici se numește minor determinant original. De exemplu, luați în considerare un factor determinant:

Construiți o matrice din rânduri și coloane cu numere pare:

Determinant

numit minor determinant. A primit un minor de ordinul doi. Este clar că diferiți minori de ordinul I, II și III pot fi construiți din.

Dacă luăm un element și tăiem rândul și coloana din determinant, la intersecția căruia se află, obținem un minor, numit minor al elementului, pe care îl notăm cu:

.

Dacă minorul este înmulțit cu, unde 3 + 2 este suma numerelor rândurilor și coloanelor, la intersecția cărora există un element, atunci produsul rezultat se numește complement algebric element și se notează

În general, minorul unui element va fi notat, iar complementul algebric,

(4)

De exemplu, să calculăm complementele algebrice ale elementelor și determinantul de ordinul trei:

Prin formula (4) obținem

La descompunerea unui determinant, se folosește adesea următoarea proprietate a determinantului n-a comanda:

dacă la elementele oricărui rând sau coloană adăugăm produsul elementelor corespunzătoare ale altui rând sau coloană cu un factor constant, atunci valoarea determinantului nu se va modifica.

Exemplul 4.

Mai întâi, scădeți din prima și a treia linie elementele celei de-a patra linii, apoi vom avea

În a patra coloană a determinantului obținut, există trei elemente - zerouri. Prin urmare, este mai avantajos să extindeți acest determinant prin elementele celei de-a patra coloane, deoarece primele trei produse vor fi zerouri. prin urmare

Puteți verifica soluția cu calculator determinant online .

Și următorul exemplu arată cum calculul determinantului oricărui ordin (în acest caz, al patrulea) poate fi redus la calculul determinantului celui de-al doilea ordin.

Exemplul 5. Calculați determinantul:

Scădem elementele primului rând din al treilea rând și adăugăm elementele primului rând la elementele celui de-al patrulea rând, apoi vom avea

În prima coloană, toate elementele, cu excepția primei, sunt zerouri. Adică, determinantul poate fi deja extins în prima coloană. Dar chiar nu vrem să calculăm determinantul de ordinul trei. Prin urmare, vom face mai multe transformări: adăugăm elementele celei de-a doua linii înmulțite cu 2 elementelor celei de-a treia linii și scădeți elementele celei de-a doua linii din elementele celei de-a patra linii. Ca rezultat, determinantul, care este un complement algebric, poate fi el însuși extins în prima coloană și va trebui doar să calculăm determinantul de ordinul doi și să nu ne confundăm în semne:

Reducerea determinantului la formă triunghiulară

Un factor determinant în care toate elementele situate pe o parte a uneia dintre diagonale sunt egale cu zero se numește triunghiular. Cazul diagonalei laterale este redus la cazul diagonalei principale prin inversarea ordinii rândurilor sau coloanelor. Acest determinant este egal cu produsul elementelor diagonalei principale.

Aceeași proprietate a determinantului este utilizată pentru a se reduce la o formă triunghiulară n- ordinul al treilea, pe care l-am aplicat în paragraful anterior: dacă adăugăm produsul elementelor corespunzătoare ale unui alt rând sau coloană cu un factor constant elementelor oricărui rând sau coloană, atunci valoarea determinantului nu se va modifica.

Puteți verifica soluția cu calculator determinant online .

Proprietăți determinante n-ordinea a

În cele două paragrafe anterioare, am folosit deja una dintre proprietățile determinantului nordinul al treilea. În unele cazuri, pentru a simplifica calculul determinantului, puteți utiliza alte proprietăți importante ale determinantului. De exemplu, un determinant poate fi redus la suma a doi determinanți, dintre care unul sau ambii pot fi descompuși în mod convenabil într-un rând sau coloană. Există o mulțime de cazuri de astfel de simplificare, iar problema utilizării uneia sau altei proprietăți a determinantului ar trebui decisă individual.

În cursul rezolvării problemelor din matematica superioară, este foarte adesea necesar calculați determinantul unei matrice... Determinantul unei matrice apare în algebră liniară, geometrie analitică, analiză matematică și alte ramuri ale matematicii superioare. Astfel, pur și simplu nu se poate lipsi de abilitatea de a rezolva determinanți. De asemenea, pentru auto-testare, puteți descărca gratuit un calculator de determinanți, singur nu vă va învăța cum să rezolvați determinanții, dar este foarte convenabil, deoarece este întotdeauna benefic să cunoașteți în avans răspunsul corect!

Nu voi da o definiție matematică strictă a determinantului și, în general, voi încerca să reduc la minimum terminologia matematică, majoritatea cititorilor nu vor obține mai ușor din aceasta. Scopul acestui articol este de a vă învăța cum să rezolvați determinanții de ordinul doi, trei și patru. Tot materialul este prezentat într-o formă simplă și accesibilă, și chiar și un ceainic complet (gol) în matematică superioară, după un studiu atent al materialului, va fi capabil să rezolve corect determinanții.

În practică, cel mai adesea puteți găsi un determinant de ordinul doi, de exemplu: și un determinant de ordinul al treilea, de exemplu: .

Determinant de ordinul patru de asemenea, nu antichități și vom ajunge la el la sfârșitul lecției.

Sper că toată lumea înțelege următoarele: Numerele din interiorul determinantului trăiesc de la sine și nu se pune problema unei scăderi! Nu puteți schimba numerele!

(În special, puteți efectua permutări pereche de rânduri sau coloane ale unui determinant cu o schimbare a semnului său, dar de multe ori acest lucru nu este necesar - consultați următoarea lecție Proprietăți ale unui determinant și reducerea ordinii acestuia)

Astfel, dacă este dat un determinant, atunci nu atingeți nimic din interior!

Denumiri: Dacă i se dă o matrice , atunci se notează determinantul său. De asemenea, foarte des, determinantul este notat printr-o literă latină sau greacă.

1) Ce înseamnă a rezolva (găsi, dezvălui) un determinant? Pentru a calcula determinantul este să GĂSEȘTI UN NUMĂR. Semnele de întrebare din exemplele de mai sus sunt numere perfect obișnuite.

2) Acum rămâne să ne dăm seama CUM găsiți acest număr? Pentru a face acest lucru, trebuie să aplicați anumite reguli, formule și algoritmi, care vor fi discutate acum.

Să începem cu calificativul „doi” la „doi”:

ACEST TREBUIE REȚINUT, cel puțin pe durata studiului matematicii superioare la universitate.

Să vedem un exemplu imediat:

Terminat. Cel mai important lucru nu este să ratezi în semne.

Determinant al matricei trei-la-trei pot fi deschise în 8 moduri, 2 dintre ele sunt simple și 6 sunt normale.

Să începem cu două moduri ușoare

Similar calificativului „doi câte doi”, calificativul „trei câte trei” poate fi extins folosind formula:

Formula este lungă și este ușor să greșești prin neatenție. Cum să evitați greșelile enervante? Pentru aceasta, a fost inventată o a doua metodă de calcul a determinantului, care de fapt coincide cu prima. Se numește metoda Sarrus sau metoda „dungi paralele”.
Linia de jos este că, în dreapta determinantului, sunt atribuite prima și a doua coloană, iar liniile sunt trasate cu atenție cu un creion:

Multiplicatorii de pe diagonalele „roșii” sunt incluși în formulă cu semnul „plus”.
Factorii de pe diagonalele „albastre” introduc formula cu un semn minus:

Exemplu:

Comparați cele două soluții. Este ușor de văzut că acesta este UNUL ȘI ACEEAȘI, doar în al doilea caz multiplicatorii formulei sunt ușor rearanjați și, cel mai important, probabilitatea de a greși este mult mai mică.

Acum, ia în considerare șase moduri normale de a calcula determinantul

De ce normal? Deoarece în majoritatea covârșitoare a cazurilor, calificatorii trebuie să fie dezvăluiți în acest fel.

După cum puteți vedea, calificativul trei cu trei are trei coloane și trei rânduri.
Determinantul poate fi rezolvat prin extinderea acestuia de orice rând sau de orice coloană.
Astfel, se obțin 6 metode și, în toate cazurile același tip algoritm.

Determinantul matricei este egal cu suma produselor elementelor rândului (coloanei) prin complementele algebrice corespunzătoare. Infricosator? Totul este mult mai simplu, vom folosi o abordare neștiințifică, dar de înțeles, accesibilă chiar și unei persoane departe de matematică.

În exemplul următor, vom extinde determinantul pe prima linie.
Pentru aceasta avem nevoie de o matrice de semne:. Este ușor de văzut că semnele sunt eșalonate.

Atenţie! Matricea semnelor este propria mea invenție. Acest concept nu este științific, nu trebuie să fie folosit la finalizarea sarcinilor, ci doar vă ajută să înțelegeți algoritmul pentru calcularea determinantului.

Vă voi oferi mai întâi o soluție completă. Din nou luăm determinantul nostru experimental și efectuăm calculele:

Și întrebarea principală: CUM se obține acest lucru de la calificativul „trei câte trei”:
?

Deci, determinantul „trei la trei” se reduce la rezolvarea a trei determinanți mici, sau așa cum se mai numește, MINOROV... Recomand amintirea termenului, mai ales că este memorabil: minor este mic.

Deoarece se alege metoda descompunerii determinantului pe prima linie, este evident că totul se învârte în jurul ei:

Articolele sunt vizualizate de obicei de la stânga la dreapta (sau de sus în jos dacă a fost selectată o coloană)

Să mergem, mai întâi ne ocupăm de primul element al liniei, adică cu unitatea:

1) Din matricea semnelor scriem semnul corespunzător:

2) Apoi scriem elementul în sine:

3) Ștergeți Gândit rândul și coloana care conține primul element:

Restul de patru numere formează determinantul „două câte două”, care se numește MINOROM a acestui element (unitate).

Să trecem la al doilea element al liniei.

4) Din matricea semnelor scriem semnul corespunzător:

5) Apoi scriem al doilea element:

6) ÎNCURAȚI GÂNDIT rândul și coloana în care se află al doilea element:

Ei bine, al treilea element al primei linii. Fără originalitate:

7) Din matricea semnelor scriem semnul corespunzător:

8) Scriem al treilea element:

9) ÎNCURCAȚI Gândit rândul și coloana care conține al treilea element:

Scriem cele patru numere rămase într-un mic determinant.

Restul acțiunilor nu sunt dificile, deoarece știm deja să numărăm determinanții „doi câte doi”. NU LIMBAȚI ÎN SEMNE!

În mod similar, determinantul poate fi extins pe orice rând sau orice coloană. Bineînțeles, în toate cele șase cazuri, răspunsul este același.

Determinantul patru la patru poate fi calculat utilizând același algoritm.
În acest caz, matricea noastră de semne va crește:

În exemplul următor, am extins calificativul pe a patra coloană:

Și cum s-a întâmplat, încearcă să-ți dai seama singur. Mai multe informații vor veni mai târziu. Dacă cineva dorește să rezolve determinantul până la capăt, răspunsul corect este: 18. Pentru practică, este mai bine să deschideți determinantul prin altă coloană sau alt rând.

A practica, a dezvălui, a face calcule este foarte bun și util. Dar cât timp veți petrece pe marele determinant? Nu ar putea fi cumva mai rapid și mai fiabil? Vă sugerez să vă familiarizați cu metodele eficiente pentru calcularea determinanților în a doua lecție - Proprietățile unui determinant. Scăderea ordinii determinantului.

AI GRIJA!

Fie o matrice pătrată A de dimensiunea n x n.
Definiție. Determinantul este suma algebrică a tuturor produselor posibile de elemente, luate câte unul din fiecare coloană și fiecare rând al matricei A. Dacă în fiecare astfel de produs (termenul determinantului) factorii sunt dispuși în ordinea coloanelor (adică indicii secundari ai elementelor a ij din produs sunt în ordine crescătoare), atunci cu semnul (+), sunt luate acele produse pentru care permutarea primilor indici este uniformă și cu un semn (-) - acelea pentru care este ciudat.
.
Iată numărul de inversiuni în permutarea indicilor i 1, i 2, ..., i n.

Metode de găsire a factorilor determinanți

1. Determinantul matricei prin descompunere în rânduri și coloane în termeni de minori.
2. Determinant prin reducere la formă triunghiulară (metoda Gauss)

Proprietatea factorilor determinanți

1. Când o matrice este transpusă, determinantul său nu se schimbă.
2. Dacă schimbați două rânduri sau două coloane ale determinantului, atunci determinantul va schimba semnul, dar nu se va modifica în valoare absolută.
3. Fie C \u003d AB unde A și B sunt matrice pătrate. Atunci detC \u003d detA ∙ detB.
4. Determinantul cu două rânduri identice sau cu două coloane identice este egal cu 0. Dacă toate elementele unui anumit rând sau coloană sunt egale cu zero, atunci determinantul în sine este egal cu zero.
5. Determinantul cu două rânduri sau coloane proporționale este 0.
6. Determinantul unei matrice triunghiulare este egal cu produsul elementelor diagonale. Determinantul unei matrice diagonale este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală.
7. Dacă toate elementele unui rând (coloană) sunt înmulțite cu același număr, atunci determinantul este înmulțit cu acest număr.
8. Dacă fiecare element al unui anumit rând (coloană) al determinantului este reprezentat ca o sumă de doi termeni, atunci determinantul este egal cu suma a doi determinanți în care toate rândurile (coloanele), cu excepția acestuia, sunt aceleași, iar în acest rând (coloană) primul determinant conține primul și în al doilea - al doilea termen.
9. Teorema lui Jacobi: Dacă adăugăm elementelor unei anumite coloane a determinantului elementele corespunzătoare ale altei coloane, înmulțite cu un factor arbitrar λ, atunci valoarea determinantului nu se modifică.

• transpune matricea;
• adăugați la orice linie o altă linie înmulțită cu orice număr.

Exercitiul 1... Calculați determinantul extinzându-l pe rând sau coloană.
Soluție: xls
Exemplul 1: xls

Tema 2... Calculați determinantul în două moduri: a) după regula „triunghiurilor”; b) descompunerea prin linie.

Decizie.
a) Termenii incluși în semnul minus sunt construiți în același mod în raport cu diagonala laterală.

Tema 3... Indicați la ce este egal determinantul unei matrice pătrate A de ordinul patru dacă rangul său r (A) \u003d 1.
Răspuns: det (A) \u003d 0.