Pustite operátora linky Ažije v euklidovskom priestore E n a premieňa tento priestor na seba.
Zadané vymenovanie: operátor A* operátora budeme kontaktovať na meno A pre ľubovoľné dva vektory x, y z E n je určená žiarlivosťou skalárnych výtvorov v tvare:
(Sekera, y) = (x, A*y)
Viac vymenovanie: lineárny operátor sa nazýva samoprijímajúci, pretože je podobný svojmu prijatému operátorovi, potom je rovnosť spravodlivá:
(Sekera, y) = (x, Ay)
alebo zokrema ( Ax,x) = (x, Ax).
Samostatný operátor môže pôsobiť ako sila. Hádajme, čo robia:
Autoritou čísla samoprijímaného operátora je reč (bez dôkazu);
Vektory samogenerovaného operátora sú ortogonálne. Aby som bol spravodlivý x 1і x 2 sú mocninné vektory a 1 a 2 sú ich mocninné čísla, potom: Sekera 1 = 1 X; Sekera 2 = 2 X; (Os 1, x 2) = (x 1, sekera 2), alebo 1 ( x 1, x 2) = 2 (x 1, x 2). Črepiny 1 a 2 masakry, potom zvidsi ( x 1, x 2) = 0, čo bolo potrebné dosiahnuť.
Euklidovský priestor má ortonormálny základ z mocninových vektorov samogenerovaného operátora A. To znamená, že maticu samodefinovaného operátora možno teraz zredukovať na diagonálny pohľad na ľubovoľnom ortonormálnom základe, poskladanom z mocninových vektorov samodefinovaného operátora.
Ešte jeden vymenovanie: nazývaný operátor sebestačnosti, ktorý existuje v euklidovskom priestore symetrické operátor Pozrime sa na maticu symetrického operátora. Uveďme nasledovné: Aby bol operátor symetrický, je potrebné, aby matica ortonormálnej bázy bola symetrická.
Poďme A- Symetrický operátor, potom:
(Sekera, y) = (x, Ay)
Yakshcho A je matica operátora A, a Xі r– deak vektory, potom píšeme:
súradnice Xі r pre skutočný ortonormálny základ
Todi: ( x, y) = X T Y = Y T X i maєmo ( Sekera, y) = (AX) T Y = X T A T Y
(x, Ay) = X T (AY) = X T AY,
tobto. X T A T Y = X T AY. Pri dostatku matíc X,Y je táto rovnosť možná len pre AT = A, čo znamená, že matica A je symetrická.
Poďme sa pozrieť na počínanie linkových operátorov
Operátor dizajn Potrebujete poznať maticu lineárneho operátora, čo je projekcia triviálneho priestoru na súradnicový celok e 1 na základni e 1 , e 2 , e 3 . Matica lineárneho operátora je matica, v ktorej môžu byť obrazy základných vektorov e 1 = (1,0,0), e 2 = (0,1,0), e 3 = (0,0,1). Tento obrázok samozrejme znamená: Ae 1 = (1,0,0)
Ae 2 = (0,0,0)
Ae 3 = (0,0,0)
No na základni e 1
,
e 2
,
e 3
Matica hľadaného lineárneho operátora: 
Poznáme jadro tohto operátora. Jadro je identické s určeným jadrom – neexistujú žiadne vektory X, pre akúkoľvek AX = 0. Or
To znamená, že jadro operátora sa stáva neosobným vektorom, ktorý leží v rovine e 1 , e 2 . Veľkosť jadra je rovnaká ako n - rangA = 2.
Tento operátor je bohato nápaditý – ide, samozrejme, o neosobné vektory, kolineárne. e 1 . Veľkosť priestoru obrázka je podobná hodnosti operátora riadku a predchádzajúcej úrovni 1 čo má menší rozmer k priestoru prototypov. Teda operátora A- Virogénia. Matrix A tiež virogén.
Ďalší zadok: nájdite maticu lineárneho operátora, ktorý pracuje v priestore V 3 (základ i, j, k) lineárna transformácia - symetria k začiatku súradníc.
Maemo: Ai = -i
To znamená matricu shukana 
Poďme sa pozrieť na lineárne znovuvytvorenie - symetria k rovine r = X.
Aj = i(1,0,0)
Ak = k (0,0,1)
Operátorová matica bude:
Ďalším príkladom je už známa matica, ktorá pri otáčaní súradnicových osí spája súradnice vektora. Nazvime operátora, ktorý zahŕňa rotáciu súradnicových osí - operátor rotácie. Je dovolené, aby na rohu bola odbočka :
Ai' = cos i+ hriech j
Aj' = -sin i+cos j
Operátor rotácie matice:
Ai ‘ Aj ‘
Tu sú vzorce na transformáciu súradníc bodu pri zmene základne - nahradenie súradníc v rovine pri zmene základne:
E 
Tento vzorec je možné vidieť dvoma spôsobmi. Predtým sme sa na tieto vzorce pozerali tak, že bodka stojí na mieste a súradnicový systém sa otáča. Aj takto je možné vidieť, že súradnicový systém sa nezmení a bod sa presunie z polohy M * do polohy M. Súradnice bodu M a M * sú určené v rovnakom súradnicovom systéme.
IN 
To všetko nám umožňuje dosiahnuť ďalšiu úlohu, ktorej musia čeliť programátori, ktorí sa zaoberajú grafikou na EOM. Na obrazovke EOM je potrebné otočiť určitú plochú postavu (napríklad trikubitulum) do bodu O so súradnicami (a, b) k určitému rohu . Rotácia súradníc je opísaná vzorcami:
Paralelný prenos zabezpečí vzťah:
Ak chcete vyriešiť takýto problém, musíte použiť postupnú techniku: zadajte rovnaké súradnice bodu v rovine XOY: (x, y, 1). Táto matica, ktorá funguje paralelne s prenosom, môže byť zapísaná:
Účinné:
A matica sa otáča:
Záhadu, ktorú možno vidieť, možno vyriešiť v troch krokoch:
1. riadok: rovnobežne s prenosom na vektor A(-a, -b) na prispôsobenie stredu otáčania so súradnicami:
2. potok: rohová zákruta :
3. riadok: rovnobežný s prenosom na vektor A(a, b) pre otočenie do stredu otáčania v polohe kolesa:
Shukanova lineárna transformácia v maticovom zobrazení:
(**)
1. Operátory dizajnu a idepotentiy prsteňa
Nech vektorový priestor V je priamym súčtom podpriestorov W a L: . Podľa významu priameho súčtu je vektor vV jednoznačne reprezentovateľný ako v=w+l, wW. ll.
Hodnota 1. Keďže v=w+l, tak obraz, ktorý vytvára kožný vektor vV a jeho zložku (projekciu) wW, nazývame projektor z priestoru V do priestoru W. Nazýva sa tiež projekčný operátor alebo projekčný operátor.
Je zrejmé, že ak wW, potom (w)=w. Hviezda kričí, že taká zázračná sila je možná 2 = R.
Hodnota 2. Prvok e kruhu K sa nazýva idempotentný (teda podobný prvku), keďže e 2 = e.
Kruh celých čísel má iba dva idepotenciáre: 1 a 0. Druhý napravo v kruhu je matica. Napríklad matice sú demopotentné. Matice operátorov dizajnu sú tiež demopotentné. Nasledujúce operátory sa nazývajú idempotentné operátory.
Pozrime sa teraz na priamy súčet n pod priestorom V:
Potom, podobne ako pri priamom súčte dvoch podpriestorov, môžeme extrahovať n návrhových operátorov, …, . Smrady moci ==0 pri ij.
Hodnota 3. Idempotencie e i a e j (ij) sa nazývajú ortogonálne, keďže e i e j = e j e i =0. Tiež som ortogonálne idepotenciáre.
Z toho, že IV=V, a pravidiel pre sčítanie lineárnych operátorov to vyplýva
Toto rozloženie sa nazýva rozloženie jedného v súčte idempotentov.
Hodnota 4. Idempotent e sa nazýva minimálny, pretože nie je možné pozerať sa na súčet idempotentov pod 0.
2. Kánonicky rozvrhnuté prejavy
Viceance 5. Kanonická expanzia javu T(g) sa nazýva jeho expanzia tvaru T(g)=n 1 T 1 (g)+ n 2 T 2 (g)+…+ nt T t (g), v ktorom ekvivalent neredukovanie prejavu T i (g) ) sa kombinujú naraz a ni je mnohonásobnosť výskytu nezredukovaného javu T i (g) v expanzii T(g).
Veta 1. Kanonické rozšírenie údajov je indikované dodatočným projekčným operátorom vo formulári
I=1, 2, …, t, (31)
de | G | - poradie skupiny G; m i - štádium prejavu T i (g), kde i=1, 2, …, t; i (g), i = 1, 2, …, t - charakteristiky neredukovateľných javov T i (g). Keď m i je určené vzorcom
3. Projekčné operátory spojené s maticami nevodiacich prejavov skupín
Pomocou vzorcov (31) je možné eliminovať javy, ktoré nie sú kanonicky rozvrhnuté. Preto je potrebné rýchlo vypočítať matice neredukovateľných javov, ktoré sú povolené rôznymi operátormi projektovania.
Veta 2. Pusť - maticové prvky nenausmického prejavu T r (g) skupiny G. Operátor formy
Konštrukčný operátor sa nazýva Wignerov operátor. Vo víruse (33) m r - veľkosť javu T r (g).
4. Vyplatenie daní za priamu výšku nenahlásenej žiadosti za asistencie prevádzkovateľa Wigner
Výrazne cez M modul, spojenia s prejavmi T. Nech neredukovateľné prejavy T 1, T 2, ..., T t z kanonickej expanzie prejavov vychádzajú z metódy opísanej skôr (časť 4), ako ukazuje napr. neredukovateľné podmoduly M 1, M 2 , …, M t. Rozkladací modul M pohľad
sa nazýva kanonická expanzia modulu M. Výrazne niMi = Li tak, že
Významné sú neuvedené podmoduly modulov L i
; i=1, 2, …, t. (36)
Tieto moduly je potrebné poznať.
Je prijateľné, aby pravda bola pravdivá. Taktiež pre každý modmodul Mi (s) (s=1, 2, ..., ni) sa nájde ortonormálna báza, v ktorej operátor reprezentácií maticou T i (g) neredukovanej reprezentácie T nakreslený ako výsledok operátora (podľa pravidla § 3) k základu pre vzorec
J = 1, 2, ..., mi. (37)
Je dôležité poznamenať, že m i je rozmer ireducibilného javu T i (i=1, 2, …, t) a prvky bázy s číslom g sú z ireducibilného podmodulu M i. Teraz môžeme umiestniť prvky základne L i pre pevné i v nasledujúcom poradí:
Na pravej strane pohľadu (38) je rozšírená základňa modulov Mi (1), Mi (2), …, . Akonáhle sa i zmení z 1 na t, odstránime základňu celého modulu M, ktorý pozostáva z m 1 n 1 + m 2 n 2 + ... + m t n t prvkov.
Poďme sa teraz pozrieť na operátora
Čo robí modul M (j opravené). Rozšírenie na vetu 2 je operátorom projekcie. Preto tento operátor vymaže bez zmeny všetky základné prvky (s=1, 2, …, ni), rozšíri v j-tom stĺpci výrazu (38) a nastaví všetky ostatné vektory základu na nulu. Prostredníctvom M ij je významný vektorový priestor preklenutý ortogonálnym systémom vektorov, ktorý stojí v j-tom stĺpci riadku (38). Dá sa tiež povedať, že operátor projektuje do priestoru M ij. Operátor je viditeľný, keďže sú viditeľné diagonálne prvky, matica nesmerových prejavov skupín, ako aj operátor T(g).
Teraz môžeme dokončiť našu úlohu.
Vyberieme n i ďalších bázových vektorov M: a aplikujeme ich na operátora návrhu. Vektory sú odstránené a ležia v priestore M ij a є lineárne nezávislé. Pachy nie sú obov'yazkovo ortogonálne a normalizované. Systém vektorov bol ortonormálne obnovený v súlade s pravidlom § 2. Systém vektorov bol obnovený podľa významnosti e ij (s) v súlade s hodnotami prevzatými z predpokladu, že daná hodnota je overená. Ako bolo určené, tu je j pevné a s = 1, 2, ..., n i . Významne e if (s) (f=1, 2, …, j-1, j+1, …, mi), ostatné prvky modulovej základne M i s rozmermi n i mi . Výrazne prostredníctvom útočného operátora:
Tento vzťah ortogonality pre nevodiacu maticu ukazuje, že tento operátor umožňuje odstrániť príklady zo vzorca
I = 1, 2, ..., t. (41)
Všetko vyššie uvedené možno vysvetliť pomocou algoritmu.
Aby sme poznali základ modulu M prvkov, ktoré sú transformované za nezredukované prejavy T i, ktoré sa nachádzajú v údajoch T spojených s modulom M, je potrebné:
Pomocou vzorca (32) vypočítajte rozmery podpriestorov M ij, podradených j-zložiek neredukovaného javu T i.
Zistite s pomocou operátora návrhu (39) všetky podpriestory M ij .
Vyberte dostatočnú ortonormálnu bázu pre oblasť pokožky M ij.
Pomocou vikoristického vzorca (41) zistite všetky prvky bázy, ktoré možno transformovať na ďalšie zložky neredukovaného javu T i.
Brothers ket-vector of Dirac sú úžasné, pretože s ich pomocou môžete nahrávať rôzne typy výtvorov.
Pridanie bra-vektora ku ket-vektoru sa nazýva skalárny výtvor alebo vnútorný výtvor. V podstate ide o štandardný maticový model založený na pravidle „riadok navrchu“. Výsledkom je komplexné číslo.
Nový ket-vektor nedáva číslo, ale iný ket-vektor. Je reprezentovaný aj vektorovým kmeňom a okrem mnohých komponentov sú pridané rozmery výstupných vektorov. Takéto teleso sa nazýva tenzorové stvorenie alebo Kroneckerovo stvorenie.
Podobne pre vytvorenie dvoch nástenných vektorov. Zoberme si veľký vektorový riadok.
Zostávajúca možnosť je tá s ket-vektorom vynásobeným bra-vektorom. Potom musíte vynásobiť riadok riadkom. Takýto výtvor sa nazýva aj tenzor alebo vonkajší výtvor. Výsledkom je matica alebo operátor.
Pozrime sa na príklad histórie takýchto operátorov.
Zoberme si trochu uspokojivého operátora Hermite A. Z postulátov je jasné, že demonštruje množstvo, pred ktorým sa treba chrániť. Základ definujú vektory operátora Hermite. Najväčší vektor možno rozdeliť na základ. Odhaliť súčet bázových vektorov s komplexnými komplexnými koeficientmi. Táto skutočnosť je známa ako princíp superpozície. Prepíšme viráz pomocou znaku sumi.
Ak existujú koeficienty v rozklade vektora podľa báz, potom sa zo skalárneho sčítania stane podobný bázový vektor. Napíšme túto amplitúdu pravej ruky ako vektor. Viraz pod znakom súčtu možno použiť na vynásobenie ket-vektora komplexným číslom - amplitúdou intenzity. Na druhej strane to možno vnímať ako pridanie matice odvodenej z vynásobenia ket-vektora bra-vektorom a výstupného ket-vektora. Ket-vektor môže byť prinesený spoza znaku súčtu na luk. Napravo a naľavo od znaku žiarlivosti sa objaví rovnaký vektor psi. To znamená, že celý súčet nefunguje s vektorom a pôvodnou maticou identity.
Tento vzorec je sám o sebe veľmi užitočný pri manipulácii s vírusmi pri vytváraní bra-i ket-vektorov. Dokonca jeden môže byť vložený na akékoľvek miesto, ktoré vytvoríte.
Človek sa čuduje, aké sú matice, ktoré sú zahrnuté v súčte a majú tenzorové vytvorenie základného ket-vektora s ich hermitovskými výsledkami. Opäť, kvôli presnosti, nakreslíme analógiu s pravekými vektormi v triviálnom priestore.
Vyberáme jeden po druhom základné vektory ex ey a ez, ktoré prebiehajú priamo pozdĺž súradnicových osí. Tenzorové teleso vektora ex na jeho páre bude reprezentované približovacou maticou. Zoberme si pomerne veľký vektor v. Čo sa stane, keď sa matica vynásobí vektorom? Táto matica ľahko vynuluje všetky zložky vektora crim x. Výsledkom je vektor, ktorý je narovnaný pozdĺž osi x, potom projekcia výstupného vektora na základný vektor ex. Ukazuje sa, že naša matica nie je nič iné ako operátor projekcie.
Dva projekčné operátory, ktoré sa strácajú na základných vektoroch ey a ez, sú podobné matice a vytvárajú podobnú funkciu – vynulujú všetky zložky vektora okrem jedného.
Aký je výsledok predpokladu operátorov projekcie? Napríklad operátory Px a Py sú zložiteľné. Takáto matica eliminuje z-zložku vektora. Vektor sub-bag leží vždy v rovine x-y. Potom môžeme použiť operátor premietania na plochu x-y.
Teraz je jasné, prečo sa súčet všetkých projekčných operátorov na základné vektory rovná matici identity. V našej aplikácii odstraňujeme projekciu triviálneho vektora na triviálnu rozlohu. Identitná matica je v podstate vektorový projektor sám o sebe.
Výstup operátora projekcie je ekvivalentný výstupu výstupného priestoru. Tento typ trojrozmerného euklidovského priestoru môže mať jednorozmernú čiaru, ktorá je špecifikovaná jedným vektorom, alebo dvojrozmernú oblasť, ktorá je špecifikovaná dvojicou vektorov.
Ak sa vrátime ku kvantovej mechanike s týmito vektormi v Hilbertovom priestore, môžeme povedať, že projekčné operátory definujú podpriestor a premietajú vektor v tomto Hilbertovom podpriestore.
Načrtneme hlavné charakteristiky projekčných operátorov.
- Následné použitie toho istého premietacieho operátora je ekvivalentné jednému projekčnému operátorovi. Je dôležité zapísať ako P 2 = P. V skutočnosti, keďže prvý operátor navrhol vektor v podpriestore, druhý s ním nemôže nič vytvoriť. Vektor už bol v tomto priestore znovu použitý.
- Operátori projekcie sú hermitovské operátory, keďže v kvantovej mechanike predstavujú veličiny, pred ktorými sú chránené.
- Dôležité hodnoty operátorov projekcie akejkoľvek dimenzie sú menšie ako jedna a nula. Vektor môže byť umiestnený v podpriestore alebo nie. Prostredníctvom takejto binarity, ktorú popisuje operátor projekcie, môže byť množstvo formulované z hľadiska výživy, buď ako „tak“ alebo „nie“. Napríklad, ako môže byť spin prvého elektrónu v singlete narovnaný pozdĺž osi z? Tento napájací zdroj je možné priradiť k typu operátora projekcie. Kvantová mechanika umožňuje objaviť istotu typu „tak“ a „nie“.
Hovoríme aj o projekčných operátoroch.
Lineárna operátorová matica
Nekhai je riadkový operátor a medzery sú zakončené aj .
Stanovme si celkom základ: 
v i 
V.
Stanovme si úlohu: pre dostatočný vektor vypočítajte súradnice vektora 
na základni.
Zavedením vektorovej matice-riadok, ktorý pozostáva z obrázkov vektorov v základe, môžeme odstrániť:
Úctivo, zostávajúca žiarlivosť tohto lancera prichádza sama osebe cez linearitu operátora.
Rozložme systém vektorov podľa základu:
,
Časť matice je časťou súradníc vektora v základe.
Zostávajúce matematické:
Otje, Na výpočet množiny vektorových súradníc pre zvolenú bázu iného priestoru stačí vynásobiť množinu vektorových súradníc pre zvolenú bázu prvého priestoru maticou, ktorá pozostáva z množiny súradníc vektorov obrazu základný prvý priestor v základe iného priestoru.
Matica sa nazýva matice lineárneho operátora v danej dvojici báz.
Maticu lineárneho operátora možno označiť rovnakým písmenom ako samotný operátor, alias bez kurzívy. Niekedy použijeme nasledujúci význam: 
, často vynechávanie údajov na základe (aby sa nepoškodila presnosť).
Pre lineárnu transformáciu (ak 
) môžeme hovoriť o joge matice v tomto základe.
Ako zadok sa pozrime na maticu operátora návrhu zadku v časti 1.7 (s ohľadom na transformáciu priestoru geometrických vektorov). Yak základ viberemo zvichayny základ.
Aj matica operátora pre projekciu na rovinu v základe vyzerá takto:
S úctou sme považovali projekčný operátor za odraz , berúc do úvahy zostávajúci priestor všetkých geometrických vektorov, ktoré ležia v blízkosti roviny, potom, ak vezmeme základ ako základ, môžeme tiež získať nasledujúcu maticu:
Ak vezmeme do úvahy dostatočnú veľkosť matice ako lineárneho operátora, ktorý mapuje aritmetický priestor do aritmetického priestoru, a výberom kanonickej bázy z každého z týchto priestorov sa dedukuje, že matica tohto lineárneho operátora do takéhoto páru a základu je samotná matica, čo znamená tento operátor - toto, toto Matica a lineárny operátor sú teda rovnaké (rovnako ako pri výbere kanonickej bázy v aritmetickom vektorovom priestore možno identifikovať vektor a množinu súradníc v tejto báze) . Ale by bola hrubo vyhodená vektor yak taktoі linkový operátor yak taký z ich prejavov v tej či onej báze (ako súčasť matrice). Vektorový aj lineárny operátor sú geometrické, nemenné objekty, myšlienky bez ohľadu na akýkoľvek základ. Takže ak napríklad existuje minimálny geometrický vektor na vyrovnanie sekcií, hodnoty sú úplne invariantné. My, ak niečo kreslíme, máme veľa úsilia dostať sa k základniam, súradnicovým systémom atď., a môžeme s nimi operovať čisto geometricky. Insha bohatý, čo za šikovnosť V tejto operácii, kvôli jednoduchosti výpočtu s vektormi, použijeme prvý aparát algebry, ktorý predstaví súradnicové systémy, bázy a čisto algebraickú techniku výpočtu s vektormi, ktoré sú s nimi spojené. Obrazne povedané, vektor, podobne ako holý geometrický objekt, je pokrytý rôznymi súradnicovými prejavmi v závislosti od výberu základu. Ľudia si síce vedia obliecť veľmi manipulatívne rúška, preto sa podstata toho, ako sa ľudia nemenia, ale je pravda, že žiadna rúška na túto ani inú situáciu nepríde (na koncert na pláž nepôjdete a nový frak) a prejdete cez neho aj nahý. Takže aj keď akýkoľvek základ nie je vhodný pre konečný dizajn, dokonca aj čisto geometrické riešenie sa môže ukázať ako príliš ťažké. V našom kurze je to pre nás dôležité, keďže kvôli takejto úlohe by sa zdalo, že čisto geometrický problém, ako klasifikáciu povrchu iného rádu, doplní zložitá a krásna teória algebry.
Pochopenie dôležitosti geometrického objektu z jeho jedného alebo druhého základu sa stáva základom pre aplikáciu lineárnej algebry. Za geometrický objekt nie je zodpovedný samotný geometrický vektor. Takže, keď dáme aritmetický vektor 
, potom ho možno stotožniť so základom jeho súradníc v kanonickom základe 
, Bo (div. prvý semester):
Potom zavedieme ďalšiu bázu y, ktorá pozostáva z vektorov І (otočte to, to je efektívny základ!) І, vikoristickej matice prechodu, preusporiadame súradnice nášho vektora:
Vybrali sme úplne inú metódu, ktorá však predstavuje rovnaký aritmetický vektor na inom základe.
To, čo bolo povedané o vektoroch, možno rozšíriť na lineárne operátory. Tie, ktorých vektor je jeho súradnicovým prejavom, jeho lineárnym operátorom je jeho matica.
Ozhe (opakujte znova), je potrebné jasne rozlišovať medzi silovými silami invariantných geometrických objektov, ako je vektor a lineárny operátor, a Ich prejavy na jednom alebo druhom základe (Poďme, jasne, hovorme o koncových lineárnych priestoroch).
Poďme sa zaoberať samotnými úlohami transformácie matice lineárneho operátora pri prechode z jedného páru báz na druhý.
Poďme 
-
nový pár báz pre daný druh.
Todi (označenie matice operátora v páre „šrafovaných“ základov) možno odstrániť:
Ale z druhej strany,
,
znaky, cez jednotu rozkladu vektora za bázou
,
Pre lineárnu transformáciu vyzerá vzorec jednoduchšie:
Matice spojené s takýmito vzťahmi sú tzv podobný.
Je ľahké vidieť, že determinanty takýchto matíc sa vyhýbajú.
Poďme si to teraz predstaviť, je to jasné hodnosť operátora linky.
Za daným číslom je zodpovedajúci rozmer obrázku tohto operátora:
Dovoľte nám vyjadriť toto dôležitejšie vyhlásenie:
Tverzhennia 1. 10 Hodnosť lineárneho operátora sa zhoduje s hodnosťou jeho matice bez ohľadu na výber báz.
Dôkaz. V prvom rade, s rešpektom, obraz lineárneho operátora je lineárnym plášťom systému, základom priestoru.
pravda,
Bez ohľadu na číslo to znamená, že je označené lineárnou škrupinou.
Rozmer lineárneho plášťa, ako je zrejmé (časť 1.2), zodpovedá úrovni prenosového systému vektorov.
Svet bol uvedený skôr (časť 1.3), pretože systém vektorov je usporiadaný podľa určitého základu ako
potom v mysliach systému sú matice lineárne nezávislé. Dá sa urobiť silnejšie tvrdenie (tento dôkaz vynecháme): hodnosť systému sa rovná hodnosti matice, Tento výsledok navyše nespočíva vo výbere bázy, pretože vynásobením matice nevygenerovanou prechodovou maticou sa nemení jej poradie.
Oskolki
,
Je zrejmé, že poradie podobných matíc sa ukladá a výsledok závisí od výberu konkrétneho základu.
Afirmácia bola dokončená.
Pre lineárne znovuvytvorenie akýkoľvek koncový lineárny priestor, ktorý môžeme poslať a pochopiť determinantom tohto znovuvytvorenie ako determinant svojej matice na pomerne pevnom základe, potom je matica lineárnej transformácie na rôznych základoch podobná a osciluje, avšak rovnaké determinanty.
Vikoristovo chápanie matice lineárneho operátora prinášame ďalší dôležitý vzťah: pre akúkoľvek lineárnu transformáciu - pokojný lineárny priestor
Vyberáme celkom základ pre priestor. Potom je jadro zložené z týchto a viacerých vektorov, množiny súradníc, ktoré zodpovedajú riešeniam homogénneho systému.
a samotný vektor a až potom, ak je vyriešený celý systém (1).
Inak sa zdá, že v celom systéme existuje izomorfizmus jadra (1). No, rozmery týchto priestorov sa zmenšujú. Okrem veľkosti priestoru je riešenie sústavy (1) prastaré, ako vieme, hodnosť matice. Ale mi shoyno priniesol, scho