Čo je určujúce. Determinant matice a jej vlastností. Čo je to maticový determinant: výpočet determinantu pomocou definície

Niektoré môžete združiť číslovypočítané podľa určitého pravidla a zavolané určujúci.

Potreba zaviesť tento pojem určujúci - číslacharakterizujúci námestie objednávková matica n , úzko súvisí s riešením sústav lineárnych algebraických rovníc.

Maticový determinant A označíme: | A| alebo D.

Determinant matice prvého ráduA = (a 11) sa nazýva prvok a jedenásť. Napríklad pre A \u003d (-4) máme | A| = -4.

Determinant matice druhého ráduzavolal číslourčené vzorcom

|A| = .

Napríklad | A| = .

Slovom, toto pravidlo možno napísať nasledovne: s vlastným znakom musíte zobrať súčin spojených prvkov hlavná uhlopriečka, a produkty prvkov spojených vrcholmi trojuholníkov, pre ktoré základňa rovnobežná s hlavnou uhlopriečkou... S opačným znamienkom berieme podobné výrobky, iba s ohľadom na bočnú uhlopriečku.

Napríklad

Určenie determinantu matice nNedáme ten príkaz, ale ukážeme iba spôsob jeho nájdenia.

Ďalej namiesto slov determinant matice nth objednávka povedzme určujúci nth objednávka... Poďme predstaviť nové koncepty.

Daná štvorcová matica nth objednávka.

MenšieM ij prvok a ij matice Azavolal určujúci (n-1) ten poriadok získaný z matice A prečiarknutie i-ty riadok a jth stĺpec.

Algebraický doplnok А ij prvku а ij matice А sa nazýva menší, braný znakom (-1) i + j:

A ij \u003d (-1) i + j M ij,

tie. algebraický doplnok sa buď zhoduje s jeho vedľajším, keď je súčet čísel riadkov a stĺpcov párne číslo, alebo sa od neho líši znakom, ak je súčet čísel riadkov a stĺpcov nepárne číslo.

Napríklad pre prvky a 11 a a 12 matíc A \u003d maloletí

M 11 = A 11 = ,

M 12 = ,

a A 12 = (-1) 1+2 M 12 = -8.

Veta (o rozšírení determinantu) . Determinant štvorcovej matice sa rovná súčtu súčinov prvkov ľubovoľného riadku (stĺpca) ich algebraickými doplnkami, t.

|A| = a i1 A i1 + a i2 A i2 + ... + a v A v,
pre hocikoho i = 1, 2, …, n

|A| = a 1j A 1j + a 2j A 2j + ... + a nj A nj,

pre hocikoho j = 1, 2, …, n

Prvý vzorec sa volá i-ty riadok, a druhá je rozklad determinantu na prvky jth stĺpec.

Je ľahké pochopiť, že pomocou týchto vzorcov je akýkoľvek determinant n-tý poriadok je možné znížiť na súčet determinantov, ktorých poradie bude o 1 menej atď. kým nedosiahneme determinanty 3. alebo 2. rádu, ktorých výpočet už nie je ťažký.

Na nájdenie determinantu je možné použiť nasledujúce základné vlastnosti:

1. Ak sa niektorý riadok (alebo stĺpec) determinantu skladá z núl, potom sa samotný determinant rovná nule.

2. Pri zámene ľubovoľných dvoch riadkov (alebo dvoch stĺpcov) sa determinant vynásobí -1.

3. Determinant s dvoma rovnakými alebo proporcionálnymi riadkami (alebo stĺpcami) sa rovná nule.

4. Spoločný faktor prvkov ktoréhokoľvek riadku (alebo stĺpca) je možné vylúčiť z určujúceho znaku.

5. Hodnota determinantu sa nezmení, ak dôjde k zámene všetkých riadkov a stĺpcov.

6. Hodnota determinantu sa nezmení, ak sa do jedného z riadkov (alebo do jedného zo stĺpcov) pridá ďalší riadok (stĺpec) vynásobený ľubovoľným číslom.

7. Súčet súčinov prvkov ľubovoľného riadku (alebo stĺpca) matice algebraickými doplnkami prvkov iného riadku (stĺpca) tejto matice sa rovná nule.

8. Determinant súčinu dvoch štvorcových matíc sa rovná súčinu ich determinantov.

Zavedenie pojmu determinant matice nám umožňuje definovať ešte jednu akciu s maticami - nájdenie inverznej matice.

Pre každé nenulové číslo existuje inverzné číslo, takže súčin týchto čísel dá jedno. Takýto koncept existuje aj pre štvorcové matice.

Matica A Volá sa -1 obrátiťsmerom k námestie matrica Aak túto maticu vynásobíme maticou danou vpravo aj vľavo matica identity, t.j.

A× A -1 = A -1 × A= E.

Z definície vyplýva, že inverzná je iba štvorcová matica; v tomto prípade bude inverzná matica štvorcová v rovnakom poradí. Nie každá štvorcová matica má však svoju vlastnú inverznú hodnotu.

Maticový determinant (determinant matice) je štvorcová tabuľka čísel alebo matematických symbolov ( Δd).

Definícia. Determinant matice n × n je číslo:

kde ( α 1, α 2, ..., α n) - permutácia čísel z 1 predtým n, N (α 1, α 2, ..., α n) - počet inverzií v permutácii, súčet nastane cez všetky možné permutácie rádu n.

Maticový determinant A sa všeobecne označuje ako de t (A), | A |alebo ? (A).

Parametre používané na nájdenie riešenia všetkých typov algebraických matíc.

To nájsť determinant matice pri riešení matice je potrebné poznať základné vlastnosti matíc a postupnosť akcií.

1. Pre matice objednávky n \u003d 2 determinant sa zistí pomocou vzorca: Δ= a 11 *a 22 -12 *a 21
2. Pre matice objednávky n \u003d 3 determinant sa nachádza prostredníctvom algebraických doplnkov alebo pomocou Sarrusovej metódy.
3. Matica s dimenziou\u003e 3 sa rozkladá na algebraické doplnky, pre ktoré sa nachádzajú ich determinanty (maloletí). Napríklad determinant matice rádu 4 sa počíta z rozšírenia v riadkoch alebo stĺpcoch.

Pre nájdenie determinantu maticektorý obsahuje funkcie v matici, používajú sa štandardné metódy. Napríklad nájdite determinant matice tretieho rádu:

Využime rozšírenie v prvom riadku:

Δ \u003d sin (x) × + 1 × \u003d 2sin (x) cos (x) - 2cos (x) \u003d sin (2x) - 2cos (x)

Vypočítajte determinant matice.

Vypočítajte determinant matice môžete použiť niekoľko metód, ktoré budú uvedené nižšie.

Najpopulárnejším spôsobom výpočtu determinantu matice je metóda výberu algebraického doplnku. Existuje jednoduchšia verzia tejto metódy - výpočet determinantu pomocou Sarrusovho pravidla. Tieto metódy sa líšia pri výpočte determinantu jednoduchej malej matice a ak potrebujete vypočítať maticu veľkej dimenzie, potom také metódy výpočtu determinantu matice:

• výpočet determinantu metódou zníženia poradia,
• výpočet determinantu Gaussovou metódou (zmenšením matice na trojuholníkový tvar),
• výpočet determinantu metódou rozkladu.

Excel používa na výpočet determinantu funkciu \u003d MOPRED (rozsah buniek).

Rozhodujúci koncept nth objednávka

V tomto článku o determinantoch sa určite dozviete, ako vyriešiť nasledujúce problémy:

Vyriešte rovnicu:

a mnoho ďalších, ktoré učitelia radi vymýšľajú.

Determinant matice, alebo jednoducho determinant, hrá dôležitú úlohu pri riešení systémov lineárnych rovníc. Spravidla boli na tento účel vynájdené determinanty. Pretože sa často hovorí aj o „determinante matice“, uvádzame tu aj matice. Matica je obdĺžniková tabuľka zložená z čísel, ktoré nie je možné zameniť. Štvorcová matica je tabuľka, v ktorej je počet riadkov a počet stĺpcov rovnaký. Iba štvorcová matica môže mať determinant.

Logiku písania determinantov je ľahké pochopiť nasledovne. Zoberme si systém dvoch rovníc s dvoma neznámymi, ktoré poznáte zo školy:

V determinante sú koeficienty pre neznáme zapísané postupne: v prvom riadku - z prvej rovnice, v druhom riadku - z druhej rovnice:

Napríklad vzhľadom na sústavu rovníc

potom sa z koeficientov s neznámymi vytvorí nasledujúci determinant:

Dajme teda štvorcovú tabuľku pozostávajúcu z čísel umiestnených v n riadky (vodorovné riadky) a v n stĺpce (zvislé riadky). Pomocou týchto čísel podľa niektorých pravidiel, ktoré si ďalej preštudujeme, nájdu číslo, ktoré sa volá určujúci nporadí a označujú sa takto:

(1)

Čísla sa volajú prvkov determinant (1) (prvý index znamená číslo riadku, druhý - číslo stĺpca, na ktorého priesečníku sa prvok nachádza; i = 1, 2, ..., n; j \u003d 1, 2, ..., n). Poradie kvalifikátora je počet jeho riadkov a stĺpcov.

Pomyselná čiara spájajúca prvky determinantu, pre ktorú sú oba indexy rovnaké, t.j. prvky

zavolal hlavná uhlopriečka, druhá uhlopriečka je kolaterál.

Výpočet determinantov druhého a tretieho rádu

Ukážme, ako sa počítajú determinanty prvých troch rádov.

Determinantom prvého rádu je samotný prvok, t.j.

Determinant druhého rádu je číslo získané takto:

, (2)

Súčin prvkov na hlavnej a bočnej uhlopriečke.

Rovnosť (2) ukazuje, že súčin prvkov hlavnej uhlopriečky sa berie s vlastným znakom a súčin prvkov vedľajšej uhlopriečky .

Príklad 1. Vypočítajte determinanty druhého rádu:

Rozhodnutie. Podľa vzorca (2) nájdeme:

Determinant tretieho rádu je číslo získané takto:

(3)

Tento vzorec je ťažko zapamätateľný. Existuje však jednoduché pravidlo s názvom pravidlo trojuholníkov , čo uľahčuje reprodukciu výrazu (3). Označením prvkov determinantu bodmi spojíme úsečkami tie z nich, ktoré dávajú súčin prvkov determinantu (obr. 1).

Vzorec (3) ukazuje, že produkty prvkov hlavnej uhlopriečky, ako aj prvky umiestnené na vrcholoch dvoch trojuholníkov, ktorých základne sú s ním rovnobežné, sú brané s ich znakmi; s opačnými - produktmi prvkov bočnej uhlopriečky, ako aj prvkov umiestnených na vrcholoch dvoch trojuholníkov, ktoré sú s ním rovnobežné .

Na obrázku 1 je hlavná uhlopriečka a príslušné základne trojuholníkov a sekundárna uhlopriečka a zodpovedajúce základne trojuholníkov zvýraznené červenou farbou.

Pri výpočte determinantov je rovnako ako na strednej škole veľmi dôležité pamätať na to, že výsledkom čísla so znamienkom mínus vynásobeným číslom so znamienkom mínus je číslo so znamienkom plus a číslo so znamienkom plus vynásobené znakom číslo so znamienkom mínus vo výsledku dáva číslo so znamienkom mínus.

Príklad 2. Vypočítajte determinant tretieho rádu:

Rozhodnutie. Pomocou pravidla trojuholníka dostaneme

Výpočet determinantov nth objednávka

Rozklad determinantu podľa riadku alebo stĺpca

Na výpočet determinantu ntejto objednávky je potrebné poznať a používať nasledujúcu vetu.

Laplaceova veta. Determinant sa rovná súčtu súčinov prvkov radu ich algebraickými doplnkami, t.j.

Definícia... Ak v determinante n-tý príkaz zvoliť si svojvoľne p linky a p stĺpce ( p < n), potom prvky na priesečníku týchto riadkov a stĺpcov tvoria maticu objednávok.

Determinant tejto matice sa nazýva maloletý pôvodný determinant. Zvážte napríklad determinant:

Zostrojte maticu z riadkov a stĺpcov so párnymi číslami:

Rozhodujúci

zavolal maloletý určujúci. Prijatý maloletý druhého rádu. Je zrejmé, že z nich možno zostrojiť rôznych maloletých prvého, druhého a tretieho rádu.

Ak vezmeme prvok a preškrtneme riadok a stĺpec v determinante, na križovatke ktorého stojí, dostaneme menší, nazývaný menší prvku, ktorý označujeme:

.

Ak sa vedľajší vynásobí, kde 3 + 2 je súčet čísel riadkov a stĺpcov, na ktorých priesečníkoch je prvok, potom sa výsledný produkt nazýva algebraický doplnok prvok a je označený

Všeobecne budeme označovať minoritný prvok a algebraický doplnok,

(4)

Napríklad vypočítame algebraické doplnky prvkov a determinant tretieho rádu:

Podľa vzorca (4) dostaneme

Pri rozširovaní determinantu sa často používa nasledujúca vlastnosť determinantu n-tá objednávka:

ak k prvkom ktoréhokoľvek riadku alebo stĺpca pridáme súčin zodpovedajúcich prvkov iného riadku alebo stĺpca konštantným faktorom, potom sa hodnota determinantu nezmení.

Príklad 4.

Najskôr odčítame od prvého a tretieho riadku prvky štvrtého riadku, potom budeme mať

Vo štvrtom stĺpci získaného determinantu sa nachádzajú tri prvky - nuly. Preto je výhodnejšie rozšíriť tento determinant o prvky štvrtého stĺpca, pretože prvé tri produkty budú nuly. preto

Riešenie môžete skontrolovať pomocou determinantná kalkulačka online .

A nasledujúci príklad ukazuje, ako je možné výpočet determinantu ľubovoľného (v tomto prípade štvrtého) rádu zredukovať na výpočet determinantu druhého rádu.

Príklad 5. Vypočítajte determinant:

Odpočítajme prvky prvého riadku od tretieho riadku a pridajme prvky prvého riadku k prvkom štvrtého riadku, potom budeme mať

V prvom stĺpci sú všetky prvky okrem prvého nulové. To znamená, že determinant sa dá rozložiť už v prvom stĺpci. Ale naozaj nechceme počítať determinant tretieho rádu. Preto urobíme viac transformácií: k prvkom tretieho riadku pridajte prvky druhého riadku vynásobené 2 a od prvkov štvrtého riadku odčítajte prvky druhého riadku. Výsledkom je, že determinant, ktorý je algebraickým doplnkom, sa dá sám rozšíriť v prvom stĺpci a my budeme musieť vypočítať iba determinant druhého rádu a nenechať sa zmiasť znakmi:

Redukcia determinantu na trojuholníkový tvar

Determinant, kde sa všetky prvky ležiace na jednej strane jednej z uhlopriečok rovnajú nule, sa nazýva trojuholníkový. Prípad bočnej uhlopriečky sa zmenší na prípad hlavnej uhlopriečky obrátením poradia riadkov alebo stĺpcov. Tento determinant sa rovná súčinu prvkov hlavnej uhlopriečky.

Rovnaká vlastnosť determinantu sa používa na redukciu do trojuholníkového tvaru n-té poradie, ktoré sme aplikovali v predchádzajúcom odseku: ak k prvkom ľubovoľného riadku alebo stĺpca pridáme súčin zodpovedajúcich prvkov iného riadku alebo stĺpca konštantným faktorom, potom sa hodnota determinantu nezmení.

Riešenie môžete skontrolovať pomocou determinantná kalkulačka online .

Určujúce vlastnosti nth objednávka

V dvoch predchádzajúcich odsekoch sme už použili jednu z vlastností determinantu nth objednávka. V niektorých prípadoch môžete na zjednodušenie výpočtu determinantu použiť ďalšie dôležité vlastnosti determinantu. Napríklad determinant je možné znížiť na súčet dvoch determinantov, z ktorých jeden alebo obidva možno pohodlne rozložiť na riadok alebo stĺpec. Existuje veľa prípadov takého zjednodušenia a je potrebné rozhodnúť o použití jednej alebo druhej vlastnosti determinantu individuálne.

Pri riešení úloh z vyššej matematiky je to veľmi často nevyhnutné vypočítať determinant matice... Determinant matice sa objavuje v lineárnej algebre, analytickej geometrii, matematickej analýze a ďalších odvetviach vyššej matematiky. Bez znalosti riešenia determinantov sa teda jednoducho nezaobídeme. Tiež si môžete pre vlastné testovanie bezplatne stiahnuť kalkulačku determinantov, ktorá vás nenaučí, ako samostatne riešiť determinanty, ale je to veľmi výhodné, pretože je vždy užitočné poznať správnu odpoveď vopred!

Nebudem striktne matematicky definovať determinant a všeobecne sa pokúsim minimalizovať matematickú terminológiu, pre väčšinu čitateľov to neuľahčí. Účelom tohto článku je naučiť vás, ako riešiť determinanty druhého, tretieho a štvrtého rádu. Celý materiál je prezentovaný v jednoduchej a prístupnej forme a dokonca aj plný (prázdny) čajník vo vyššej matematike po dôkladnom preštudovaní materiálu bude schopný správne vyriešiť determinanty.

V praxi najčastejšie nájdete determinant druhého rádu, napríklad :, a determinant tretieho rádu, napríklad: .

Determinant štvrtého rádu tiež nie starožitnosti a na to prídeme na konci hodiny.

Dúfam, že všetci rozumejú nasledujúcemu: Čísla vo vnútri determinantu žijú samy osebe a nemožno pochybovať o ich odčítaní! Nemôžete zamieňať čísla!

(Najmä môžete vykonať párové permutácie riadkov alebo stĺpcov determinantu so zmenou jeho znamienka, ale často to nie je potrebné - pozrite si nasledujúcu lekciu Vlastnosti determinantu a zníženie jeho poradia.)

Ak je teda daný nejaký determinant, potom nedotýkajte sa ničoho v ňom!

Označenia: Ak je uvedená matica , potom sa označuje jeho determinant. Veľmi často je determinant označený latinským listom alebo gréčtinou.

1) Čo to znamená vyriešiť (nájsť, odhaliť) determinant? Vypočítať determinant je ZISTIŤ ČÍSLO. Otázniky vo vyššie uvedených príkladoch sú úplne bežné čísla.

2) Teraz zostáva prísť na to AKO zistiť toto číslo? Aby ste to dosiahli, musíte použiť určité pravidlá, vzorce a algoritmy, o ktorých sa teraz bude diskutovať.

Začnime kvalifikáciou „dva“ až „dva“:

TOTO SI MUSÍTE PAMÄTAŤ, minimálne po dobu štúdia vyššej matematiky na univerzite.

Pozrime sa hneď na príklad:

Hotový. Najdôležitejšia vec NEMÁ BYŤ CHÝBAŤ V ZNAMENÍCH.

Determinant matice tri ku trom sa dajú otvoriť 8 spôsobmi, z toho 2 jednoduché a 6 bežných.

Začnime dvoma jednoduchými spôsobmi

Podobne ako kvalifikátor „dva na dva“, aj kvalifikátor „tri na tri“ je možné rozšíriť pomocou vzorca:

Vzorec je dlhý a je ľahké urobiť chybu nepozornosťou. Ako sa vyhnúť nepríjemným chybám? Na tento účel bola vynájdená druhá metóda výpočtu determinantu, ktorá sa v skutočnosti zhoduje s prvou. Nazýva sa Sarrusova alebo Parallel Stripe Method.
Spodný riadok spočíva v tom, že napravo od determinantu sú priradené prvý a druhý stĺpec a riadky sú opatrne nakreslené ceruzkou:

Multiplikátory na „červených“ uhlopriečkach sú vo vzorci zahrnuté so znamienkom „plus“.
Faktory „modrých“ uhlopriečok sú do vzorca zahrnuté so znamienkom mínus:

Príklad:

Porovnajte tieto dve riešenia. Je ľahké vidieť, že toto je JEDNO A ROVNAKÉ, len v druhom prípade sú multiplikátory vzorca mierne preskupené a čo je najdôležitejšie, pravdepodobnosť chyby je oveľa menšia.

Teraz zvážte šesť bežných spôsobov výpočtu determinantu

Prečo normálne? Pretože v drvivej väčšine prípadov musia byť kvalifikanti zverejnení týmto spôsobom.

Ako vidíte, kvalifikácia trikrát tri má tri stĺpce a tri riadky.
Determinant je možné vyriešiť jeho rozšírením ľubovoľným riadkom alebo ľubovoľným stĺpcom.
Takto sa získa 6 metód a vo všetkých prípadoch rovnakého typu algoritmus.

Determinant matice sa rovná súčtu súčinov prvkov riadku (stĺpca) zodpovedajúcimi algebraickými doplnkami. Desivé? Všetko je oveľa jednoduchšie, použijeme nevedecký, ale zrozumiteľný prístup, prístupný aj človeku vzdialenému od matematiky.

V nasledujúcom príklade rozložíme determinant na prvom riadku.
Na to potrebujeme maticu znakov :. Je ľahké vidieť, že značky sú rozložené.

Pozor! Matica znakov je môj vlastný vynález. Tento koncept nie je vedecký, nemusí sa používať pri dokončovaní úloh, iba vám pomôže porozumieť algoritmu na výpočet determinantu.

Najprv vám dám úplné riešenie. Znova vezmeme náš experimentálny determinant a vykonáme výpočty:

A hlavná otázka: AKO to získať z kvalifikácie „tri na tri“:
?

Takže determinant „tri na tri“ sa redukuje na riešenie troch malých determinantov, alebo ako sa tiež nazývajú, MINOROV... Odporúčam si tento výraz zapamätať, najmä preto, že je nezabudnuteľný: menší je malý.

Pretože je zvolená metóda rozkladu determinantu na prvom riadku, je zrejmé, že všetko sa točí okolo nej:

Položky sa zvyčajne zobrazujú zľava doprava (alebo zhora nadol, ak bol vybratý stĺpec)

Poďme, najskôr sa budeme zaoberať prvým prvkom riadku, teda jednotkou:

1) Z matice znakov vypíšeme príslušné znamienko:

2) Potom napíšeme samotný prvok:

3) DÔKLADNE odstráňte riadok a stĺpec, v ktorom sa nachádza prvý prvok:

Zvyšné štyri čísla tvoria determinant „dva na dva“, ktorý sa volá MENŠINA tohto prvku (jednotky).

Prejdime k druhému prvku riadku.

4) Z matice znakov vypíšeme príslušné znamienko:

5) Potom napíšeme druhý prvok:

6) MYSLIVO preškrtnite riadok a stĺpec, v ktorom je umiestnený druhý prvok:

No, tretí prvok prvého riadku. Žiadna originalita:

7) Z matice znakov vypíšeme príslušné znamienko:

8) Zapíšeme si tretí prvok:

9) DOSTATO vyčiarknite riadok a stĺpec, ktorý obsahuje tretí prvok:

Zvyšné štyri čísla zapíšeme na malý determinant.

Zvyšok akcií nie je zložitý, pretože už vieme, ako počítať determinanty dva za dva. NEBOJTE SA zmätení v znameniach!

Podobne je možné determinant rozšíriť nad ktorýkoľvek riadok alebo stĺpec. Prirodzene, vo všetkých šiestich prípadoch je odpoveď rovnaká.

Determinant štyri na štyri možno vypočítať pomocou rovnakého algoritmu.
V tomto prípade sa naša matica znakov zvýši:

V nasledujúcom príklade som rozšíril kvalifikátor na štvrtom stĺpci:

A ako sa to stalo, skúste na to prísť sami. Ďalšie informácie Bude neskôr. Ak chce niekto vyriešiť determinant do konca, správna odpoveď je: 18. Pre prax je lepšie otvoriť determinant v nejakom inom stĺpci alebo inom riadku.

Cvičiť, odhaľovať, robiť výpočty je veľmi dobré a užitočné. Koľko času však strávite na veľkom determinante? Nemôže to byť nejako rýchlejšie a spoľahlivejšie? Navrhujem, aby ste sa v druhej lekcii - Vlastnosti determinantu oboznámili s efektívnymi metódami výpočtu determinantov. Zníženie poradia determinantu.

BUĎ OPATRNÝ!

Nech existuje štvorcová matica A veľkosti n x n.
Definícia. Determinant je algebraický súčet všetkých možných súčinov prvkov, jeden z každého stĺpca a každého riadku matice A. Ak sú v každom takomto produkte (výraz determinantu) faktory usporiadané v poradí stĺpcov (tj. Druhé indexy prvkov a ij v produkte sú vzostupne), potom so znamienkom (+) budú tieto produkty sa berú, pre ktoré je permutácia prvých indexov párna, a so znamienkom (-) - tie, pre ktoré je nepárny.
.
Tu je počet inverzií v permutácii indexov i 1, i 2,…, i n.

Metódy hľadania determinantov

1. Determinant matice rozkladom v riadkoch a stĺpcoch z hľadiska maloletých.
2. Determinant redukciou do trojuholníkového tvaru (Gaussova metóda)

Vlastnosť determinantov

1. Keď je matica transponovaná, jej determinant sa nemení.
2. Ak zameníte dva riadky alebo dva stĺpce determinantu, potom determinant zmení znamienko, ale nezmení sa v absolútnej hodnote.
3. Nech C \u003d AB, kde A a B sú štvorcové matice. Potom detC \u003d detA ∙ detB.
4. Determinant s dvoma rovnakými riadkami alebo s dvoma rovnakými stĺpcami sa rovná 0. Ak sú všetky prvky určitého riadku alebo stĺpca rovné nule, potom sa samotný determinant rovná nule.
5. Determinant s dvoma proporcionálnymi riadkami alebo stĺpcami je 0.
6. Determinant trojuholníkovej matice sa rovná súčinu diagonálnych prvkov. Determinant diagonálnej matice sa rovná súčinu prvkov na hlavnej uhlopriečke.
7. Ak sú všetky prvky riadku (stĺpca) vynásobené rovnakým číslom, potom je determinant vynásobený týmto počtom.
8. Ak je každý prvok určitého riadku (stĺpca) determinantu predstavovaný ako súčet dvoch výrazov, potom sa determinant rovná súčtu dvoch determinantov, v ktorých sú všetky riadky (stĺpce) okrem tohto jedného rovnaké, a v tomto riadok (stĺpec), prvý determinant obsahuje prvý a v druhom - druhý výraz.
9. Jacobiho veta: Ak k prvkom určitého stĺpca determinantu pridáme zodpovedajúce prvky iného stĺpca, vynásobené ľubovoľným faktorom λ, potom sa hodnota determinantu nezmení.

• transponovať maticu;
• pridať na akýkoľvek riadok ďalší riadok vynásobený ľubovoľným číslom.

Cvičenie 1... Vypočítajte determinant jeho rozšírením o riadok alebo stĺpec.
Riešenie: xls
Príklad 1: xls

Zadanie úlohy 2... Vypočítajte determinant dvoma spôsobmi: a) pomocou pravidla „trojuholníkov“; b) rozklad po riadku.

Rozhodnutie.
a) Výrazy uvedené v znamienku mínus sú konštruované rovnako vzhľadom na bočnú uhlopriečku.

Zadanie úlohy 3... Uveďte, čo sa rovná determinant štvorcovej matice A štvrtého rádu, ak je jeho poradie r (A) \u003d 1.
Odpoveď: det (A) \u003d 0.