Pozrime sa na funkciu dvoma spôsobmi:
Úlomky zmien $x$ a $y$ sú nezávislé, pre takúto funkciu je možné poskytnúť pochopenie súkromných informácií:
Súkromná funkcia $f$ v bode $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ pre zmenu $x$ -
\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0)) )+\Delta x;((y)_(0)) \vpravo))(\Delta x)\]
Rovnakým spôsobom môžete priradiť súkromný poplatok za zmenu $y$:
\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0)) );((y)_(0))+\Delta y \vpravo))(\Delta y)\]
Inými slovami, na to, aby sme poznali privátne funkcie nejakej zmeny, je potrebné opraviť rozhodnutie o zmene, zločin šukano, a potom budeme vedieť zvičajna, aby sa postaral o cenu zmeny. .
Znie to ako hlavný trik na počítanie takýchto mizerných: len vezmite do úvahy, že všetko sa mení, krym tsієї, є konštanta, po ktorej diferencujte funkciu takým spôsobom, aby bola diferencovaná "singulár" - s jedným zminnoy. Napríklad:
$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) ( ( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^( \ prime ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(zarovnať)$
Je zrejmé, že je normálne dávať súkromné dovolenky z rôznych zmien. Prečo je dôležitejšie pochopiť, prečo, povedzme, v prvom nám bolo pokojne účtovaných $10y$ s-pid zlého znamenia a v druhom - prvý bol vynulovaný. Všetko je koncipované cez tie, že všetky písmená, krіm zminnoi, pre nejaký druh diferenciácie, sú rešpektované konštantami: možno ich obviňovať, pľuvať atď.
Čo je to „súkromná zábava“?
Dnes si povieme niečo o funkciách niekoľkých striedačiek a o súkromných dovolenkách v nich. Po prvé, aká je funkcia niekoľkých náhrad? Dosi mi volalo, aby zmenilo funkciu ako $y\left(x \right)$ alebo $t\left(x \right)$, inak v nej zmeňte túto jedinú funkciu. Teraz v nás bude len jedna funkcia a dôjde k zmene šprota. Ak zmeníte $y$ a $x$, hodnota funkcie sa zmení. Napríklad, ak $x$ narastie dvakrát, hodnota funkcie sa zmení, ak $x$ sa zmení, ale $y$ sa nezmení, hodnota funkcie sa zmení sama.
Pochopilo sa, že funkcia vo forme množstva premenných, rovnako ako v jednej z premenných, môže byť diferencovaná. Avšak, oskіlki zmіnnykh kіlka, potom je možné odlíšiť od rôznych zmіnnyh. Tým sa vyčítajú špecifické pravidlá, ktoré pre hodinu diferenciácie jednej zmeny neexistovali.
Najprv za všetko, ak chceme prísť o svoje funkcie, ak sme nejakým spôsobom premenliví, potom sme vinní, za to, čo sme premenliví, to stojí za to – hovorí sa tomu súkromný neporiadok. Napríklad, máme funkciu vo forme dvoch substitúcií a môžeme vystrašiť її ako $x$, takže $y$ — dve súkromne nosené kožou zameniteľných.
Iným spôsobom, keďže sme zafixovali iba jednu zo zmien a začneme ju rešpektovať súkromne podľa seba, potom všetko ostatné, čo do funkcie vstupuje, rešpektujú konštanty. Napríklad $z\left(xy \right)$, keďže je dôležité, aby sme v súkromí prekročili $x$, potom, škúliac, polojednoducho $y$, je dôležité, aby sme boli konštantní a aby sa k nám správali sami ako konštanta. Zokrema, pri počítaní zlých vecí môžeme viniť $y$ za puto (máme konštantu) a pri počítaní zlých peňazí, ako máme tu, je to ako vírus pomstiť $y$ a nie pomstiť $x$. , potom je to dobré virazu dorivnyuvatime "nula" ako dobrá konštanta.
Na prvý pohľad vám ujde, že vám o tom hovorím poskladaným spôsobom a veľa študentov zablúdi po klase. Medzi súkromnými nie je nič nadprirodzené a my sa meníme z pažby konkrétnych úloh.
Zodpovedný za radikálov a bohatých členov
Manažér č.1
Vzlykajte, aby ste nepremrhali hodinu, od samého klasu začneme s vážnymi zadkami.
Pre začiatok predpokladám nasledujúci vzorec:
Ide o štandardnú tabuľkovú hodnotu, akú poznáme zo štandardného priebehu.
Pre niekoho je dobré použiť $z$ takto:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]
Ešte raz, črepy pod koreňom nestoja $x$, ale nejaký iný vírus, v tomto prípade $\frac(y)(x)$, potom zrýchlime štandardné tabuľkové hodnoty a potom črepy pod root stojí nie $x $, a ďalší viráz, je potrebné, aby sme naše výdavky vynásobili na jeden ďalší viráž za druhý viráz. Začnime šliapať na klas:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)“))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]
Z nášho pohľadu si zapíšeme:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2)) \right)\]
Všetko je v princípe. Je však nesprávne nechať її v takomto vzhľade: nie je vhodné poraziť takúto konštrukciu pre vzdialených, takže to urobme v maličkosti:
\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]
\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2))))((x) ^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4))) ) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]
Vidpovid nájdený. Teraz sa poďme zaoberať $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]
Vipishemo okremo:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)“))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]
Teraz píšeme:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]
\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]
Všetko je rozbité.
Manažér č.2
Tento zadok je zároveň jednoduchší a skladnejší, nižší dopredu. Viac skladacie, k tomu je viac dіy, a jednoduchšie, k tomu nie je koreň i, navyše funkcia je symetrická k $x$ a $y$, tobto. Keď zmeníme $x$ a $y$ podľa čísel, vzorec sa pravdepodobne zmení. Tse rešpekt musela byť odpustená za zaplatenie súkromných nákladov, tobto. Stačí jeden z nich poškodiť a v druhom si so štetcami zapamätať $x$ a $y$.
Poďme k veci:
\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy))(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \ vpravo ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime )))_(x)\left(((x)^(2))+ ( (y)^(2))+1 \vpravo)-xy((\vľavo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \vpravo))^(\primer ) )_(x))(((\vľavo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \vpravo))^(2)))\]
Poďme sa nadchnúť:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]
Ja sa však bohatým učením naučím takýto záznam nevedomosti, takže os píšeme takto:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]
V tomto rangu opäť prechádzame na univerzálnosť algoritmu súkromných príbuzných: nerešpektovali ich ako bi mi hodnosť, ak sú všetky pravidlá správne nastavené, budete to vy sami.
Teraz sa pozrime na ďalší súkromný trik nášho skvelého vzorca:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime )))_(x)=((\left((( x)^(2)) \vpravo))^(\prvé ))_(x)+((\ľavé(((y)^(2)) \vpravo))^(\prvé ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]
Odčítajme virazi do nášho vzorca a odčítajme:
\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\left) (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \vpravo))^(2)))=\]
\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \vpravo))^(2)))=\]
\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\ left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \vpravo))(((\vľavo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \vpravo))^(2 )))\]
$x$ je obnovené. A aby sme opravili $y$ v tom istom viraze, nevikonuvajme všetky rovnakú postupnosť diy, ale rýchlo so symetriou nášho živého virazu - len nahradíme v našom živom virase všetky $y$ za $x$ a navpak :
\[(((z)")_(y))=\frac(x\vľavo(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \vpravo))((( ( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]
Za rahunok symetrie chválili celý viraz bohato shvidshe.
Nuansa rozhodnutia
Pre súkromných príbuzných použite štandardné vzorce, ktoré sú víťazné pre verejnosť, ale to isté platí pre súkromné. Tým však obviňujú svoje vlastné špecifické črty: ak súkromne rešpektujeme $x$, potom ak vezmeme її na $x$, potom to považujeme za konštantu a to її je podobné drahšej „nule“.
Rovnako ako a zároveň s najvýznamnejšími pokhіdnimi, súkromnými (jeden a ten istý) môžete zadať kіlkom iným spôsobom. Napríklad samotná konštrukcia, ktorá bola tak dobre ocenená, sa dá prepísať takto:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]
Odrazu o tých, z druhej strany, môžete poraziť vzorec v podobe ležérnej sumy. Ako vieme, sú tu drahšie sumy mŕtvych. Napíšme napríklad toto:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]
Teraz, keď už vieme všetko, skúsme sa zlepšiť serióznejšími spôsobmi, čriepky správnych súkromných trikov nie sú obklopené iba bohatými pojmami a koreňmi: používajú sa tam trigonometria, logaritmy a zobrazovacie funkcie. Ninі tsim, poďme sa zamestnať.
Úloha s goniometrickými funkciami a logaritmami
Manažér č.1
Píšeme nasledujúce štandardné vzorce:
\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]
\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]
Po zvládnutí týchto vedomostí skúsme veršovať:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Okremo napíšte jednu zmenu:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Prejdime k nášmu dizajnu:
\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \ sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y )\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Všetci, vedeli sme o $x$, teraz poďme na poplatky za $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
No bojím sa jednej virózy:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime )))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \vpravo)\]
Obráťme sa na koniec dňa a pokračujme v rozhodnutí:
\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Všetko je rozbité.
Manažér č.2
Zapíšme si vzorec, ktorý potrebujeme:
\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]
Teraz sa ospravedlňujem za $x$:
\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]
Nájdené za $ x $. Prosím za $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]
Úloha sa skončila.
Nuansa rozhodnutia
Neskôr, keďže funkcie neboli prevzaté súkromne, sa pravidlá prepisujú tými istými, bez ohľadu na to, či pracujú s trigonometriou, s koreňmi alebo s logaritmami.
Klasické pracovné pravidlá sa vždy prepisujú štandardnými a zároveň sú sumi a maloobchodné súkromné skladacia funkcia.
Zvyšok vzorca sa najčastejšie vysvetľuje na konci dňa, keď sa stretnutie skončí súkromnými sviatkami. Mi zustrіchaєmosya s nimi prakticky skrіz. Ešte tu nebol mestský manažér, aby sme sa tam nedostali. Ale s takýmto vzorcom sme sa nezrýchlili, stále máme ešte jednu výhodu a pre seba zvláštnosť práce so súkromnými prechádzkami. Takže opravíme jednu zmenu, čiary sú konštanty. Zocrema, keďže rešpektujeme súkromne stratenú virázu $\cos \frac(x)(y)$ $y$, potom sa zmení samotné $y$ a $x$ sa prepíše konštantou. Rovnaká prax a navpaki. Її môže byť obviňované zo zlého znamenia, ale zlé, pretože samotná konštanta je skôr „nula“.
Všetko treba doviesť k tomu, že privátne vyzerá jeden a ten istý vírus, ale z rôznych zmien môžu vyzerať inak. Napríklad čudovanie sa takému virazi:
\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]
\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]
Úloha s demonštračnými funkciami a logaritmami
Manažér č.1
Zapíšme si nasledujúci vzorec:
\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]
S vedomím tejto skutočnosti, ako aj sklopných funkcií, sa môžeme pokúsiť vystrašiť. Verím v dva rôzne spôsoby naraz. Prvým a najzrejmejším je cena práce:
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Pozrime sa na tento vírus:
\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac((((x)"))_(x))\cdot y-x .(((((y)“))_(x)))((((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)((((y)^(2) ))) =\frac(y)((((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]
Vráťme sa k nášmu dizajnu a pokračujeme v jeho zobrazovaní:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\vpravo)\]
Všetko $x$ je pokryté.
Ako som však povedal, zároveň sa budeme snažiť chrániť moje súkromie iným spôsobom. Pre koho s úctou:
\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))]
Zapíšeme to takto:
\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(e)^(x+\frac(x)(y ) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=(e)^(x+\frac(x)(y) ) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]
Výsledkom bolo, že sme odniesli rovnaké množstvo peňazí a prote bol účtovaný ako ten menší. Pre koho dokončiť hromadné pamätajte, že keď skončíte show, môžete pridať.
Teraz mi je ľúto $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]
\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Zaspievajme si jednu viráz okremo:
\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot (((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)((((y)^(2) ))) =-\frac(1)((((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]
Predávame verziu nášho externého dizajnu:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]
Došlo mi, že som mohol zablúdiť aj inak, sám by som takto vyzeral.
Manažér č.2
Jebať $x$:
\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Zastavme jeden viraz okremo:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)(( ((x)^(2))+y)\]
Prodovzhimnya vikhіdnoї konstruktsії: $$
Os je tak jasná.
Stratené pre analógiu, ktorú by ste mohli poznať podľa $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Jeden viraz, to je v poriadku, ako zavzhdi okremo:
\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]
Prodovzhuєmo virіshennya hlavný dizajnії:
Všetko je zakryté. Ako bachita, úhor na prvom mieste, ako zmena sa berie na odlíšenie, v prípade iného.
Nuansa rozhodnutia
Os yaskra je príkladom toho, ako môže byť jedna a tá istá funkcia poškodená dvoma rôznymi spôsobmi. Os na počudovanie:
\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))) \ vľavo(1+\frac(1)(y) \vpravo)\]
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right)))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]
Pri výbere rôznych spôsobov môžete vypočítať počet rôznych spôsobov, ale ak je to pravda, všetko sa robí správne, uvidíme to rovnako. Ceny sú hodné klasických a súkromné neskorších. Uhádnem, koho uhádnem: je to ladom, je to tak, nejaká zmena, vezmem si dobrú, to je ono. diferentiyuvannya, vіdpovіd mozhe viyti zovsіm rіzna. Marvel:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(( (( x)^(2))+y)\cdot 2x\]
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(( ((x)^(2))+y)\cdot 1\]
Nasamkinets na upevnenie všetkého materiálu, skúsme opraviť dva zadky.
Úloha s goniometrickou funkciou a funkciou s tromi zmenami
Manažér č.1
Napíšme si tieto vzorce:
\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]
\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]
Poďme teraz virishuvovať náš vírus:
\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]
Okrem porahuemo takýto dizajn:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]
Prodovzhuєmo virishuvati vihіdny viraz:
\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]
Toto je zostatková suma súkromnej zmeny $ x $. Teraz mi je ľúto $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3) )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]
Virishimo one viraz okremo:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]
Virishuemo až do konca nášho dizajnu:
\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]
Manažér č.2
Na prvý pohľad sa dá tento zadok sklopiť, pretože tu sú tri zmeny. V skutočnosti je to jedna z najjednoduchších úloh dnešnej videoprehliadky.
Známy podľa $x$:
\[(((t)")_(x))=((\left(x(e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ) ^(z)) \vpravo))^(\primer ))_(x)=\]
\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left((e)^(y) ) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]
Teraz sa pozrime na $y$:
\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ) ((e)^(z)) \vpravo))^(\prime ))_(y)=\]
\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]
Vedeli sme pravdu.
Teraz je príliš veľa vedieť $z$:
\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e) ) )^(z)) \vpravo))^(\prime )))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime ) ) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]
Pochválili sme tretiu pokhidnu, na ktorej sa opäť dotvára vízia ďalšej úlohy.
Nuansa rozhodnutia
Ako bachita, v týchto dvoch zadkoch sa nič neskladá. Jediná vec, prečo sme to pokazili, je to, že funkcie skladania sú často stagnujúce a ladené, navyše je to súkromne zábavné, budeme sa musieť zmeniť v závislosti od situácie.
Vo zvyšku úlohy sme boli požiadaní, aby sme vypracovali funkcie troch rôznych. V meste nie je nič strašné, cesty na samom konci sveta sa skrížili, že smrad je jeden a ten istý.
Kľúčové momenty
Zvyšok vysnovki z dnešnej video lekcie je nasledovný:
- Súkromné výdavky sa berú do úvahy ako také, akoby boli dôležité, ak chcete súkromné výdavky zohľadniť jednou zmenou, rozhodovanie, ktoré do tejto funkcie zadať, berieme za konštanty.
- Pratsyyuyuchi s súkromnými pokhіdnymi vikoristovuєmo tі їmі štandardné vzorce, ako і z zvichaynymi pokhіdnymi: suma, raznitsyu, pokhіdnu do і chastki і, zrozumіlo, pokhіdnu skladacie funkcie
Je zrejmé, že zopakovanie jednej video lekcie nestačí, aby som túto tému mohol opäť rozšíriť, takže práve teraz mám na svojej stránke súbor úloh venovaných práve tejto téme dňa - vstúpte, zavantazhyte, virishuyte tsі zavdannya, že hviezda zostať v bezpečí. Koniec koncov, nebudete mať žiadne každodenné problémy so súkromnými, ako je spánok alebo samostatná práca. Je zrejmé, že toto nie je ani zďaleka posledná lekcia modernej matematiky, takže choďte na našu webovú stránku, pridajte VKontakte, prihláste sa na odber YouTube, dajte like a sledujte nás!
Nech je funkcia z - / (x, y) priradená reálnemu priestoru D v rovine xOy. Zoberme si vnútorný bod (x, y) v oblasti D a dvojnásobné x zväčšme Ax, teda bod (x + Ax, y) 6 D (obr. 9). Hodnota sa nazýva súkromný nárast funkcie z vzhľadom na x. Uložiteľné nastavenie Pre daný bod (x, y) je hodnota priradenia funkciou priradenia. Ak v Ax -* 0 nie je limit, potom sa táto hranica nazýva súkromná náhodná funkcia z = / (x, y) pre nezávislú zmenu x v bode (x, y) a označuje sa symbolom jfc (resp. / i (x, jj) , alebo z "x (x, v rovnakej hodnosti, pre vymenovanie abo, ktoré je rovnaké, Podobne, Yaxcho i je funkciou n nezávislých premenných, potom si pamätajte, že Arz sa počíta s pevná hodnota zmeny a Atz - s pevnou hodnotou zmeny inno x, označenie súkromných premenných možno formulovať takto: Súkromné premenné Nevyhnutná myseľ Diferenciálnosť funkcie Súkromné diferenciály Skladacie funkcie súkromnej funkcie z = / (x, y) súkromnej funkcie x = / (x, y) súkromné náklady na funkciu y z - / (x, y) sa nazývajú її podobne ako, vypočítané v prídavkoch, že x je konštantné. Je zrejmé, že pravidlá počítania podobných súkromných vychádzajú z pravidiel prinesených do funkcie jednej zmeny. zadok. Informácie o ďalších užitočných funkciách 4 májové zmeny*. Báza funkcie r = /(x, y) v bodoch tsij súkromných, podobne ako všetky, argumenty nedokazujú spojitosť funkcie v bodoch tsij. Funkcia teda nie je spojitá v bode 0(0,0). V tomto bode však môže byť funkcia priradená súkromná. Dôvodom je, že /(x, 0) = 0 і /(0, y) = 0 a že geometrický zmysel privátnych podobných funkcií dvoch meniacich sa funkcií neprerušovaných v aktívnej oblasti D a môžu tam mať súkromné sviatky x a y. Je zrejmé, že geometrická zmena podobných v bode Mo(xo, yo) 6 D, ktorého plocha z = f(x)y) označuje bod f(x0)yo)). Keď je privátna premenná bod M0 významná, je dôležité, že z je iba funkciou argumentu x, zatiaľ čo argument y má konštantnú hodnotu y = yo. Funkciu fi(x) geometricky znázorňuje krivka L tak, že plocha S je prekrytá rovinou y = y o. Vzhľadom na geometrický zmysel podobnej funkcie jednej premennej f (xo) = tg a, de a - rez, riešenia dotichniї k priamke L v bode JV0 od priamky Ox (obr. 10). A tak súkromne ($ |) viac dotyčnicový uhol a stredná šírka Ox a bodka v bode N0 ku krivke, odrezaná na obvode plochy z \u003d / (x, y) o a rovina y Podobne berieme §6. Diferenciácia funkcie mnohých premenných Nech je funkcia z = /(x, y) priradená k reálnej vzdialenosti D v rovine xOy. Vezmime si bod (x, y) € D a zvolíme hodnoty x a nech je to prírastok Ah a Du, ale stále bod. Vymenovanie. Funkcia r = /(x, y) sa nazýva diferencovaný * bod (x, y) € 2E, keďže je mimo rozptylu funkcie, čo zase zodpovedá prírastkom argumentov Dx, D, môže byť pri pohľade z pohľadu de L a B neležať v Dx a D y (ale vzagalі ľahnúť si vіd х і у), а (Дх, Ду) і /? (Dx, Du) skok na nulu pri skoku na nulu Dx i Du. . Ak je funkcia z = /(x, y) diferencovaná v bode (x, y), potom časť A Dx 4- VD inkrementálnej funkcie, lineárna vzdialenosť Dx a Du, sa nazýva horný diferenciál funkcie. v bode (x, y) a označuje sa symbolom dz: Tanim rank, Butt. Nech r = x2 + y2. V bode be-yakіy (g, y) a pre be-yak Dx і Du maєmo Here. Takže а і / 3 ísť na nulu, zatiaľ čo ísť na nulu Dх і Du. Je zrejmé, že funkcia je diferencovaná v akomkoľvek bode v rovine xOy. S kým, je to úctyhodné, že v našich svetoch neboli žiadne formálne inklúzie tohto typu, ak zvýšenie Dx, je to pórovitosť alebo vzbudzovanie odporu vo výške nula. Vzorec (1) môže byť napísaný kompaktnejšie, takže ho môžete zadať wiraz (prejdite medzi bodky (môžete písať Koristing) Po označení viraz, čo sa má postaviť do zátvoriek, cez e budeme mat de z ležia v J, Du a pragne na nulu, teda J 0 і Du 0, alebo, kratšie, yakscho r 0. Vzorec (1), ktorý vyjadruje mentálnu diferenciáciu funkcie z = f(xt y) y bod (x , y), možno teraz zapísať na pohľad So, v bode 6.1. 4. Ak je funkcia r = /(x, y) diferencovaná na desatinnej čiarke, potom je neprerušená v bode tsij presne“, čo potvrdzuje prírastky J a D argumentov, môže byť reprezentovaná vo vizuáli (hodnoty L, B pre daný bod konštanta; nasledujú hviezdy, čo Zostáva znamená, že v bode (w, y) funguje g b) ako funkcia g = /( g, y) je v danom bode diferencované, mo oko s.ieet v bode qiy je súkromne podobné $§ i. čo ukazuje rast Dx, argumenty Ay, môžeme vidieť v (1). Ak vezmeme do úvahy rovnosť (1) Dx F 0, Dn = 0, odoberieme hviezdy Takže, ako pravá strana zostávajúcej rovnosti, hodnota A neleží vo vіd, Tse znamená, že v bode (x, y) je to súkromná relatívna funkcia r \u003d / (x, y) pomocou x, navyše zmeníme nejednoznačnosť (x, je to vlastne súkromná podobná funkcia zy, navyše 3 vety sú jasné, ale je podložené, že veta 5 potvrdzuje existencia súkromných podobných len v bodoch (x, y), ale n čo nehovoriť o bezpečnosti ich y bodov, ako aj o ich správaní v blízkosti bodu (x, y) zmena bodu ho / "(x) v bode x0. V časoch, ak sa funkcia nachádza v množstve zmien, vpravo, dochádza k výraznému skladania: nie sú potrebné a dostatočné mysle diferenciácie, ale pre funkciu z \u003d / (x, y) dve nezávislé zmeny x, y; Nevyhnutná myseľ (nádherná), ktorá okremo-dostatočná. Veta Čl. Ak môže byť funkcia súkromne podobná / £ і f "v skutočné okolie je tenké (xo, Wo) a ak sú qi neprerušené v samotnom bode (xo, Wo), potom funkcia z \u003d f (x, y) ) je diferencovaný v bode (x- Pozrime sa na Funkciu privátnych posunov Geometrická zmena privátnych neskorších funkcií dvoch posunovačov Diferenciálnosť funkcie malého počtu posunovačov Nutná všímavosť k diferenciálnosti funkcie diferenciál Privátne diferenciály Ostatné skladacie funkcie ™ dané funkcie v bode 0(0,0) známe a redukované zaostria 0 a DN 0. Nech D0. Len zo vzorca (1) je možné, že funkcia / (x, y) \u003d nie je v bode 0 diferencovaná (0, 0), aj keď to môže byť fa a f "r fz a ft rôzne body § 7. imo Pochopenie diferenciálu funkcie na nezávislej zmene, vrátane diferenciálov ich zbіlshennyam: Posledný vzorec celkového diferenciálu funkcia je príkladom. Nech i - 1l (x + y2). Potom podobne, ak u =) je funkcia, ktorá diferencuje n nezávislých zmien, potom sa Viraz nazýva jednoduchý diferenciál funkcie z = f(x, y) zmenou x; viraz sa nazýva súkromný diferenciál funkcie z = / (x, y) so striedavým y. Z vzorcov (3), (4) a (5) je zrejmé, že celkový diferenciál funkcie je súčtom її súkromných diferenciálov: Ako fungujú body (i, y) = /(w, y) diferencované a diferenciálne dz FD v bodoch tsіy, її vonkajší prírastok vіdrіznyaєtsya vіd ієї іnіynoї ї menej u sumі opіh storіh іh? DU, yakі za Аzh 0 і Ау --» O nekonečne malom z celkovej objednávky, spodný sklad lineárnej časti. Preto, keď dz Ф 0, lineárna časť prírastku diferencovanej funkcie sa nazýva hlavná časť prírastku funkcie a je koralizovaná približným vzorcom, pretože bude presnejší, čím menšia bude absolútna hodnota. nárast argumentov. §8. Iné skladacie funkcie 1. Funkciu nech je priradená v reálnej vzdialenosti D v rovine xOy, navyše sa zmení obal a funkcia argumentu t má vlastnú čiaru: , y) neprekračujú oblasť D. Ak hodnotu vložíme do funkcie z = / (x, y), potom vezmeme skladaciu funkciu jednej premennej t. M Damo t prírastok Дt.Тоді x і у Výsledkom je, že keď (J) 2 + (Dy) 2 Ф 0, funkcia z odoberie aj zvýšenie Dg, pretože v dôsledku diferenciácie funkcie z = / (x, y) y bodov (x, y ) môže byť reprezentované ) prax nula, keď prax nula Ah і Du. Výrazne і /3 pri Ax \u003d Ay \u003d 0; є konštantný, pre mentálny základ medzi dôvodmi pre neskoršie ^ i v bode £ sa neprerušovane posúval v bode tsіy funkcií х = y(t) і y = to pri 0 skok na nulu na nulu а(Дх, Ду) і Р(Ах, Ау) Teda pravá časť rovnosti (2) pri 0 maє medzi, rovná sa Stred, існє na 0 і medzi ľavou časť (2) ) na hranicu v -» 0, vezmeme potrebný vzorec Y pre krátky pád, ak teda z y = tp(x)t y = tp (x)t teraz diferenciácia funkcií skladania malého počtu zmien. Pripusťme, že v bode (() môžete nájsť neprerušované súkromné straty, 3?" a posledný bod (x, y), de Funkcia /(x, y) je diferencovaná. zbaliteľná funkcia z \u003d z (() y ) v bode t7) môžu byť podobné a u a poznáme virazi pre druhý. S úctou, aká zmena vzhľadom na už prekrútenú nie je na závadu. Rozhodne sa pri diferenciácii z podľa £ kamaráta berie nezávislá zmena rj za postinu, po ktorej sa v priebehu tejto operácie stávajú funkciami tej istej zmeny w" = c), y = c) jedlo o víkend, keď sa zavedie vzorec (3), vicor vzorec (3) a formálne nahradí v neskoršom prípade § і ^ v neskoršom dátume sa odoberie Analogicky, je známe Aplikované mo Dajte si krémovú vipadku, ak І \u003d de Súkromné podobnosti Pokhіdnі skladacie funkcie tu môžu byť t-povna. súkromná funkcia i nezávislou zmenou x, ktorá je úplne nezávislá od i v x, vrátane i až z = z (x, y), a ^ je súkromná. y, d) x, s výpočtom do
Zavádza sa dôkaz vzorca podobnej funkcie skladania. Svahy sa podrobne skúmajú, či je funkcia ležania v jednej alebo dvoch z nich sklopná. Má sa vykonať pri určitom počte zmien.
ZmistDiv. tiež: Použite vzorec podobnej funkcie skladania
Základné vzorce
Tu uvádzame takéto vzorce pre podobnú funkciu skladania.
Yakscho niečo
.
Yakscho niečo
.
Yakscho niečo
.
Pokhіdna skladacie funkcie v podobe jednej vymenitelnej
Nech zmena funkcie x môže byť reprezentovaná ako skladacia funkcia takto:
,
de є deakі funkcie. Funkcia je diferencovaná pri rovnakej hodnote zmeny x. Funkcia je pri výraznej zmene diferencovaná.
Funkcia skladania (skladu) je však diferencovaná v bodoch x a її podobne ako vo vzorci:
(1)
.
Vzorec (1) možno napísať aj takto:
;
.
Prinášanie
Uveďme si nasledujúcu definíciu.
;
.
Tu є funkcia vіd zminnyh that, є funktіya vіd zminnyh that. Alemma vynechajte argumenty týchto funkcií, aby ste neobťažovali vložky.
Keďže funkcie a diferenciácia v bodoch x a sú zrejmé, potom sa v týchto bodoch používajú podobné funkcie, ako napríklad posúvanie hraníc:
;
.
Pozrime sa na túto funkciu:
.
S pevnou hodnotou zmeny u є funkcia vіd . Očividne čo
.
Todi
.
Ak je funkcia funkciou, ktorá diferencuje v bode, potom je v tomto bode neprerušená. Tom
.
Todi
.
Teraz vieme, že pôjdem.
.
Vzorec bol dokončený.
Dôsledok
Ako funkciu vo forme zmeny možno x použiť ako funkciu skladania vo forme funkcie skladania
,
potom її pokhіdna závisí od vzorca
.
Tu, a є deyakі funktsії, scho odlíšiť.
Aby ste tento vzorec preniesli do sekvenčného výpočtu, dodržujte pravidlo diferenciácie funkcie skladania.
Pozrime sa na funkciu skladania
.
Її pokhіdna
.
Poďme sa pozrieť na funkciu
.
Її pokhіdna
.
Funkcia skladania na dve zmeny
Teraz nechajte funkciu skladania ležať na malom mieste. Na chrbte ruky je to znateľné rozkladacia funkcia skladania v dvoch zmenách.
Nechajte funkciu, ako keby ležala v zmene x, môžete funkciu zložiť do dvoch zmien na prvý pohľad:
,
de
і є funkcie, ktoré sa diferencujú pri danej hodnote zmeny x ;
- Funkcia v tvare dvoch premenných, ktorá diferencuje v bode , . Funkcia skladania je však priradená skutočnému susedstvu bodu a môže sa stratiť, pretože je priradená vzorcu:
(2)
.
Prinášanie
Oscilki funkcie a diferenciácia v bodoch, potom je smrad priradený v blízkosti bodu, bez prerušenia v bode a je založený na podobnosti v bode, ako také hranice:
;
.
Tu
;
.
Prostredníctvom kontinuity týchto funkcií môžu body:
;
.
Ak je funkcia bodovo diferencovaná, potom je priradená v blízkosti bodu, bez prerušenia v bode a її zvýšenie môže byť napísané v útočnom vzhľade:
(3)
.
Tu
- zbіlshennya funktsії s argumentmi zbіlshennі її o hodnote i ;
;
- Súkromné vonkajšie funkcie na zmenu.
Pri stanovení hodnôt і a є funguje vo forme zmeny і. Von skok na nulu v i :
;
.
Oskіlki ja teda
;
.
Zvýšenie funkcie:
.
:
.
Predstavte si (3):
.
Vzorec bol dokončený.
Pohіdna sklopné funkcie v závislosti od počtu zmien
Náznaky viacerých visnovok sú občas ľahko viditeľné, ak je počet vymeniteľných funkcií skladania viac ako dve.
Napríklad ako f є funkciu troch rôznych, To
,
de
, і є funkcie, ktoré diferencujú pri aktuálnej hodnote zmeny x ;
- funkcia, ktorá diferencuje formou troch zmien do bodky , , .
Todi, z označenia diferenciálnej funkcie funkcie je možné:
(4)
.
Oskіlki prostredníctvom bezperervnіst,
;
;
,
To
;
;
.
Po rozdelení (4) na tomto hraničnom priechode berieme:
.
Ja, nareshti, pozri sa najväčší pád.
Nech funkcia vo forme zmeny x môže byť znázornená ako skladacia funkcia vo forme n zmien v takomto vzhľade:
,
de
є funkcie, ktoré diferencujú pri danej hodnote zmeny x ;
- diferencovaná funkcia v tvare n zmien v bodoch
,
,
... , .
Todi
.
) sme už opakovane uviazli pri súkromných, podobných skladacích funkciách na štvorci a skladacích zadkoch. Tak o čom ešte môžete povedať?! ... A všetko je ako v živote - taká súdržnosť tam nie je, nedalo by sa to skomplikovať =) Ale matematika - na tú matematiku, aby rozmanitosť nášho sveta zapadla do dokonalého rámca. A niekedy ideme do jedného návrhu:
Je vidieť funkciu skladacej osoby 
, de, ten najmenší h písmeno є funkciu jak si môže ľahnúť dostatočné koľko sa zmení.
Minimálna a najjednoduchšia možnosť - už dlho poznáme funkciu skladania jednej zmeny, pôjdem preč sme sa učili vedieť v minulom semestri. Zistite, ako môžete rozlíšiť funkcie (Pozrite sa na tieto funkcie 
)
.
V tejto hodnosti sme zároveň tsіkavitime yakraz vipadok. Vzhľadom na veľkú rozmanitosť funkcií skladania môžu odvážne vzorce ich podobných vyzerať ešte ťažkopádnejšie a škaredšie pri dobývaní. Na linku s cim namixujem konkretne zadky, rozumies im horúci princíp znahodzhennya tsikh pokhіdnyh:
zadok 1
Vzhľadom na skladaciu funkciu , de 
. Požadovaný:
1) vypočítajte rozdiel a zapíšte nový diferenciál 1. rádu;
2) vypočítajte hodnoty podobného pri .
Riešenie: najprv si predstavme samotnú funkciu є funkcie jedna zmena: 
Iným spôsobom surovo vzdávam úctu samotnej úlohe – treba vedieť, akí sme Choď preč takže jazyk nie je o súkromnom pokhіdnyh, yakі zvikli znahodi! Funkcia Oskilki 
v skutočnosti vložiť menej ako jednu zmenu, potom pod slovom "pokhidna" pokhidna. Ako poznať jogu?
Po prvé, čo pripadá na myšlienku, je to priama substitúcia, ktorá je ďalšou diferenciáciou. Predstavte si 
funkcia: 
, po ktorom bez problémov:
І, vіdpovіdno, povniy diferenciál: 
Rozhodnutie je matematicky správne, no je tu malá nuansa v tom, že ak je úloha formulovaná tak, ako je formulovaná – takéto barbarstvo vo vás nikto nevidí. A ak je to vážne, potom je naozaj možné sem prísť. Ukážte, že funkcia popisuje zalievanie dzhmel a príspevky funkcie sa menia podľa teploty. Priame striedanie Vikonuyuchi 
, berieme menej súkromné informácie, Čo charakterizuje vodu, povedzme, iba v zlom počasí. Navyše, ak ľudia nevedia o džmeloch, predložia hotový výsledok a povedia im, aká je funkcia, potom nevedia nič o základnom zákone zdravia!
Os je tak neznáma, náš brat dzizhchit navyše usvіdomiti zmіst a dôležitosť univerzálneho vzorca: 
Vyvolajte mená mŕtvych v „dvojitej réžii“ – pri hlave, ako vidíte, sa používa samotný smrad. S kým ďalej buti presnejšie pri zázname: pokhіdnі z priame znaky "de" - tse pokhіdni, a podobné so zaoblenými ikonami - tse súkromné dovolenky. Zo zvyšku si pripomeňme: 
No, s „chvosty“ bolo všetko jednoduché:
Predpokladajme, že poznáme podobný nášmu vzorcu:
Ak je funkcia chrbta navrhnutá v prefíkanom vzhľade, bude to logické (Dal som na to vysvetlenie!) ponechajte výsledky rovnakým spôsobom: 
Vďaka tomu je pravdepodobnejšie, že „oklamané“ typy podľahnú minimálnym otázkam. (Tu vás napríklad žiadam, aby ste si odniesli 3 mínusky)- Mám pre vás menej práce a chlpatý priateľ zadosťučinenia na preskúmanie úlohy je jednoduchšie.
Čierny twist však nebude. Predstavte si 
Našiel som dobrý a poprosíme ho: 
(na zvyšku vikoristánu trigonometrické vzorce 
, 
)
V dôsledku toho bol odobratý rovnaký výsledok, ktorý je pre "barbarský" spôsob riešenia.
Spočítajme si náklady do bodky. Na zadnej strane ruky z'yasuvati znamená „tranzit“. (hodnoty funkcií 
)
:
Teraz zostavujeme pіdbagovі razrahunki, yakі občas môžete zdіysniti iným spôsobom. Vikoristovy tsikavyi akceptujú, spôsobom 3 a 4 "hore" sa rozlúčia nie pre najväčšie pravidlá, ale sú transformované ako súkromné dvoch čísel:
Samozrejme, nemôžete si to premyslieť pre väčší kompaktný zápis 
:
Vidpovid: 
Buvay, scho zavdannya proponuetsya na „napivzagalnym“ pohľad:
„Poznaj zložité funkcie, de 
»
Takže funkcia "hlava" nie je daná, ale "vložky" sú dosť špecifické. Nasledujte ďalší dátum v rovnakom štýle:
Okrem toho môže myseľ zašifrovať troch:
„Spoznajte príslušné funkcie 
»
V akej nálade je to potrebné nezávisle označte príspevky funkcie nejakými rôznymi písmenami, napríklad cez 
a zrýchlite pomocou vlastného vzorca:
Pred prejavom o uznávacích listoch. Už som opakovane volal nie „chіplyatisya pre písmená“, ako pre ryatuvalne colo, a naraz je to obzvlášť dôležité! Pri analýze rôznych vlákien na túto tému som sa nahneval, že autori „išli z ničoho nič“ a začali nemilosrdne hádzať študentov do búrlivej priepasti matematiky =) Takže už je to vibachte :))
zadok 2
Poznať súvisiace funkcie 
, Páči sa mi to 
Ostatné znamenia nie sú vinné z dobromyseľnosti! Shchoraz, ak hovoríš ako úloha, musíš odpovedať na dve jednoduché otázky:
1) Aký druh funkcie „hlavy“ by sa mal uložiť? Zároveň má funkcia „zet“ dve funkcie („y“ a „ve“).
2) Aký druh zmeny by sa mal uložiť? V tomto type situácie je urážlivé uložiť iba vіdіksa.
V tejto kategórii nie je vašou vinou obviňovať tých, pre ktorých je ťažké prispôsobiť vzorec úlohe!
Stručne povedané, riešením je ilustrovať lekciu.
Dodatkovі zadok na prvý pohľad môže byť známy z problémová kniha Ryabushka (IDZ 10.1), a smerujeme k funkcia troch:
zadok 3
Daná funkcia, de.
Vypočítajte si náklady na mieste
Vzorec skladacej funkcie, koľko ľudí háda, sa na to môže pozerať pravdepodobne: 
Verishuyte, yakscho uhádol =)
O každej zmene vám dám všeobecný vzorec pre funkciu:
, hoci v praxi je nepravdepodobné, že sa o Butt 3 dozviete viac.
Na druhej strane, niekedy je potrebné odlíšiť možnosť „urizácia“ – volať funkciu tvaru chi. Pripravujem ťa o reťaz na samoukov - vymysli jednoduchý príklad, premýšľaj, experimentuj a nájdi skrátené vzorce podobných.
Akoby sa to stalo nezrozumiteľným, buďte láskaví, prečítajte si to znova nesúvisle, aby ste pochopili prvú časť lekcie, čriepky úlohy budú naraz poskladané:
zadok 4
Poznať funkcie súkromného skladania, de 
Riešenie: funkcia je daná na pohľad a po priamej substitúcii vezmeme primárnu funkciu dvoch zmien: 
Ale takýto strach nie je akceptovaný, a predsa nechcem rozlišovať. Urýchľujú to hotové vzorce. Vzlyk, shvidshe chytil zákon, ja naháňam znamenia: 
Pozorne sa pozrite na obrázok zhora nadol a doprava.
O súkromných funkciách „hlavy“ vieme trochu viac:
Teraz poznáme „iksovі“ ako „vložky“:
a zapíšte si do pidbagu „iksov“:
Podobne s „grovets“:
і
Môžete skúsiť iný štýl – mali by ste poznať všetky „chvosty“ 
a potom napíš urážky.
Vidpovid:
O substitúcii 
Nemyslím si, že by to malo byť =) =), ale môžete česať os výsledkov drobcov. Chcem, začínam znova, teraz? - je menej jednoduché opätovne overiť vyhlásenia.
Ak je to potrebné, tak nový diferenciál Tu je to napísané pre skvelý vzorec a pred prejavom v rovnakej fáze je krása rieky jednoduchá: 
Taká os ... ... šnúra na kolieskach.
Vzhľadom na obľúbenosť uvažovanej rozmanitosti skladacích funkcií je stávka na nezávislé riešenie. Najjednoduchší zadok "nap_zagalnomu" vyzerá - na zrozumiteľnosť samotného vzorca ;-):
zadok 5
Poznať súkromné vonkajšie funkcie, de 
І skladanie - zo spojenia techniky diferenciácie:
zadok 6
Nájdite posledný diferenciál funkcie 
, de 
Nie, nesnažím sa vás „poslať dnu“ – všetky nedopalky sú prevzaté od skutočných robotov a „pri otvorenom mori“ môžete piť ako dobrý list. Pre každú osobu je potrebné analyzovať funkciu (na 2 jedlá - úžasné), odhaľte to divokému hľadačovi a starostlivo upravte vzorce súkromných podobných. Je to možné, naraz budete trochu zmätení, potom pochopíte samotný princíp ich konštrukcie! Pre pomoc je menej pravdepodobné, že úloha bude opravená :)))
zadok 7
Poznajte funkcie súkromného skladania a skladania
, de
Riešenie: funkcia „hlava“ môže vyzerať ako predtým, ležať v dvoch rôznych – „iksa“ a „gravitácia“. Ale porivnyano z Butt 4 pribudla ešte jedna funkcia a k tomu pribudnú vzorce súkromných podobných. Ako v tomto prípade, kvôli lepšiemu vzoru pravidelnosti urobím "hlavy" súkromne pokhіdnі s rôznymi farbami: 
Ja zase - s úctou otočím záznam k zveri dole nadol a vpravo vpravo.
Oskіlki zavdannya je formulovaný „jednoduchým“ spôsobom, všetky naše praktiky sa deň čo deň prelínajú s odmietnutím súkromných podobných funkcií: 
Prichádza prvák: 
І navit povniy diferenciál veyshov ako celok pekné:
Konkrétne som sa vás nesnažil propagovať ako konkrétnu funkciu – aby sa z kopy peňazí nezačala dobrá akcia principiálny diagram zavdannya.
Vidpovid: 
Často je možné dokončiť pomocou vkladov „rôzneho kalibru“, napríklad:
Tu je funkciou „hlavy“ pozerať sa a vidieť, ale klamať a vidieť „iks“ a vidieť „igrok“ je to isté. Preto cvičíte svoje vlastné vzorce – ide len o to, že sú súkromne podobné nule. Navyše to platí pre funkcie na kshtalt 
, V akejsi koženej "vložke" si ľahnúť ako jeden z premien.
Podobnú situáciu možno nájsť v dvoch záverečných príkladoch lekcie:
zadok 8
Nájdite aktuálny diferenciál funkcie skladania v bode
Riešenie: myseľ je formulovaná podľa „rozpočtového“ poradia a môžeme určiť prínos funkcie. Podľa mňa nesprávna možnosť:
"Vložky" majú ( UVAGA!) TRI písmená - staré dobré "iks-іgrek-zet", čo znamená, že funkcia "hlavy" je vlastne spadať do troch zminnykh. Її možno formálne prepísať yak , a pokhіdnі razі vyznachayutsya také vzorce: 
Skenovateľné, zrozumiteľné, chytľavé...
Náš manažér má: 
Nech z \u003d ƒ (x; y) - funkcia dvoch premenných x a y, ich skin z - funkcia nezávislej premennej t: x \u003d x (t), y \u003d y (t). Týmto spôsobom je funkcia z = f(x(t); y(t)) skladacou funkciou jednej nezávislej premennej t; zmena x a y - prechodná zmena.
Veta 44.4. Ak z = ƒ(x; y) - diferencované v bode M(x; y) є D funkcia і x = x(t) і y = y(t) - funkcie, ktoré sú diferencované nezávisle premennou t, potom skladacia funkcia z (t) ) = f(x(t); y(t)) sa vypočíta podľa vzorca
Damo nezávislá zmena t zbіlshennya Δt. Tie isté funkcie х = = x(t) і y = y(t) primeraným spôsobom odpočítajú prírastok Δх a Δу. Voni so svojím diablom vykričte zbіlshennya Az funkcie z.
Stupnice pre mentálnu funkciu z - ƒ(x; y) sú diferencované v bode M(x; y),
de a→0, β→0 ako Δх→0, Δу→0 (rozdiel s. 44.3). Vydeľte viráz Δz Δt a presuňte sa na hranicu Δt→0. Potom Δх→0 і Δу→0 cez spojitosť funkcií x = x(t) і y = y(t) (za intelektuálnou vetou - smrad z diferenciácie). Berieme:
Čiastočný pokles: z=ƒ(x; y), de y=y(x), teda z=ƒ(x; y(x)) je skladacia funkcia jednej nezávislej zmeny x. Tsej vpadok vedú do popredia, navyše úlohu zohráva aj zmena. Podľa vzorca (44.8) je možné:
Vzorec (44.9) je rovnaký vzorec.
Zagalny padok: z=ƒ(x; y), de x=x(u; v), y=y(u; v). Potom z = f (x (u; v); y (u; v)) je skladacia funkcia nezávislých zmien u a v. Її private pokhіdnі môžete poznať vicoristický vzorec (44.8) týmto spôsobom. Keď máme pevné v, nahradíme ho n_y súkromnými 
Podobne berieme: 
Týmto spôsobom je skladacia funkcia (z) za kožou nezávislou zmenou (u a v) zdravý súčet prác v súkromnej chladnej funkcii (z) je za prechodnou zmenou (x a y) na novej zmene (u a v).
Zásoba 44.5. Vedieť, ako z = ln (x 2 + 2), x = u v, y = u / v.
Riešenie: Poznáme dz / du (dz / dv - nezávisle), zástupný vzorec (44.10):
Povedzme len správnu časť správneho zápalu:
40. Súkromné dovolenky a najnovšie diferenciálne funkcie malého počtu zmien.
Nech je daná funkcia z = ƒ (x; y). Pretože x a y sú nezávislé zmeny, potom sa jedna z nich môže zmeniť a druhá môže mať svoj vlastný význam. Nezávislá premenná Damo x prírastok Δx, pričom hodnota nemennej. Todi z odoberá zvýšenie, ako sa nazýva súkromné zvýšenie z o x i je priradené ∆ x z. Otzhe,
A x z \u003d ƒ (x + A x; y) -ƒ (x; y).
Podobne vezmeme súkromné zvýšenie z o y:
Δ y z \u003d ƒ (x; y + Δy) -ƒ (x; y).
Viac funkcií zbіlshennya Δz z vzachaєєєєєєєєєєєєєєі
Δz \u003d ƒ (x + Δx; y + Δy) - ƒ (x; y).
Aká je hranica
potom vin sa nazýva súkromná funkcia z = ƒ (x; y) y bod M(x; y) zmenou x i je označený jedným zo symbolov:
Súkromné cestovanie bodom x y M 0 (x 0; y 0) 
Podobne sa uvádza, že sa označuje súkromne ako z = ƒ (х; y) zmenou y:
Týmto spôsobom sa súkromná funkcia malého počtu (dva, tri a viac) zmien považuje za podobnú funkciu jednej z týchto zmien z hľadiska dôležitosti hodnoty ostatných nezávislých zmien. Z tohto dôvodu sú súkromné podobné funkcie ƒ(x; y) známe pre vzorce a pravidlá na výpočet podobných funkcií jednej zmeny (keď je iná, x alebo je dôležitá konštantnou hodnotou).
Zásoba 44.1. Poznať súkromné náhodné funkcie z = 2y + e x2-y +1. Riešenie:
Geometrická zmena súkromných podobných funkcií dvoch meniacich sa
Graf funkcie z \u003d ƒ (x; y) je deac plocha (oddiel str. 12.1). Graf funkcie z \u003d ƒ (x; y 0) є čiara peretina tsієї povrch s rovinou y \u003d y o. Vyhodyachi z geometrického zmyslu podobné funkcii jednej zmeny (oddiel str. 20.2), to sedí, že ƒ "x (x o; y o) \u003d tg a de a - kut mizh vіssyu Ox a dotic, nakreslené do krivky z \u003d ƒ ( x; y 0) y bodov Mo (xo; yo; ƒ (xo; yo)) (rozdiel. Obr. 208).
Podobne f "y (x 0; y 0) \u003d tgp.
Funkcia Z=f(x,y) sa nazýva diferencovaná v bode P(x,y), takže її mimo prírastku ΔZ môže byť na prvý pohľad dané Δz = A∙Δx+B∙Δy+ω(Δx, Δy), de Δx a Δy - či je nárast argumentov x a y v reálnom okolí bodu P, A a B - trvalý (neležia v Δx, Δy),
ω(Δx,Δy) – nekonečne malý väčší ako vyšší rád
Podobne je funkcia diferencovaná v bode a dochádza k zvýšeniu počtu bodov a dvoch častí:
1. Hlavná časť zvýšenej funkcie A ∙ Δx + B ∙ Δy - lineárna rýchlosť Δx, Δy
2. I nelineárne ω (Δx, Δy) - nekonečne menší rád, spodná hlavová časť je väčšia.
Hlavná časť zvýšenej funkcie - lineárna vzdialenosť Δx, Δy sa nazýva horný diferenciál funkcie a je priradená:Δz = A∙Δx+B∙Δy, Δx=dx a Δy=dy alebo posledný diferenciál funkcie dvoch zmien:
Diferenciál Diferenciálne a podobné číselné funkcie jednej premennej. Tabuľka ďalšieho. Diferenciálnosť. ) je funkciou argumentu , ktorý je pre →0 nekonečne malý, takže.
Z'yasuy teraz zv'yazok medzi diferenciáciou v bode a dôvodmi podobnými v tom istom bode.
Veta. Aby bola funkcia f(X) bol v tomto bode diferencovaný X je potrebné a postačujúce, že v tomto bode konca bude malý.
Tabuľka ďalšieho.