Розкладання сигналів за функціями уолша. Система стільникового рухомого зв'язку CDMA. Подання сигналів функціями Волша

ортогональних функцій. Як розкладання зазвичай використовуються перетворення Фур'є, розкладання за функціями Уолша, вейвлет-перетворення та ін.

Базисні функції

Математичне уявлення

Спектр сигналу можна записати через перетворення Фур'є (можна без коефіцієнта 1 / 2 π (\displaystyle 1/(\sqrt (2\pi )))) у вигляді:

S (ω) = ∫ − ∞ + ∞ s (t) e − i ω tdt (\displaystyle S(\omega)=\int \limits _(-\infty )^(+\infty )s(t)e^ (-i\omega t)dt), де ω (\displaystyle \omega )- кутова частота дорівнює 2 π f (\displaystyle 2\pi f).

Спектр сигналу є комплексною величиною і подається у вигляді: S (ω) = A (ω) e − i ϕ (ω) (\displaystyle S(\omega)=A(\omega)e^(-i\phi (\omega))), де A (ω) (\displaystyle A(\omega))- амплітудний спектр сигналу, ϕ (ω) (\displaystyle \phi (\omega))- Фазовий спектр сигналу.

Якщо під сигналом s(t) (\displaystyle s(t))розуміти

Винахід відноситься до галузі обробки інформації та може бути використане в аналізаторах мовних сигналів. Технічним результатом є забезпечення сумісного частотно-часового аналізу. Аналізатор містить генератор тактових імпульсів, генератор функцій Уолша, реверсивний лічильник, регістр, елемент І, дільник частоти та послідовно з'єднані зсувний регістр та кільцевий зсувний регістр. 1 іл.

Винахід відноситься до області приладобудування і може бути використане для обчислення коефіцієнтів дискретного ортогонального перетворення Уолша над аналоговими сигналами в різних пристроях автоматики, наприклад, аналізаторах мовних сигналів, пристроях обробки зображень і т. п. Пристрої для обчислення коефіцієнтів перетворення Уолша відомі. Відомі пристрої здійснюють спектральне перетворення дискретних сигналів, заданих на кінцевих інтервалах визначення базисі ортогональних функцій Уолша-Адамара . Найбільш жорсткі вимоги до пристроїв для обчислення коефіцієнтів перетворення Уолша перш за все по швидкодії пред'являються у разі застосування для спільного частотно-часового аналізу радіосигналів . Насправді ширше застосовуються цифрові аналізатори спектра за функціями Уолша. Вони найбільш універсальні та здатні забезпечити кращу точність представлення даних. Вхідний сигнал у таких пристроях повинен бути заданий на кінцевому інтервалі визначення та дискретизований як за амплітудою, так і за часом. Відношення бази розкладання, тобто інтервалу завдання сигналу до кроку дискретизації, дасть число N коефіцієнтів перетворення Уолша. Загальним недоліком універсальних цифрових аналізаторів спектра Уолша є їхня відносно низька швидкодія. Значно підвищити швидкодію вдається шляхом застосування спеціалізованих пристроїв, орієнтованих виконання однієї чи кількох родинних завдань. В окремому випадку, коли аналогові сигнали мають вигляд однополярних телеграфних або фототелеграфних сигналів функції аналого-цифрового перетворювача та аналізатора спектра, можна поєднати і створити досить простий аналізатор спектру , який забезпечує високу точність перетворення даних при високій швидкодії, що визначається застосовуваною елементною базою. Найбільш близьким за технічною сутністю до пристрою є аналізатор спектру за функціями Уолша , який можна вибрати як прототип. Прототип містить генератор функцій Волша, кожен із виходів якого підключений до входу управління відповідного реверсивного лічильника. Загальна кількість реверсивних лічильників може бути довільним і визначається характером завдання, що вирішується пристроєм. У випадку число реверсивних лічильників дорівнює числу N базисної системи ортогональних функцій Уолша, що визначається як цілий ступінь числа два N=2 n . Вихід кожного реверсивного лічильника з'єднаний із входом відповідного регістру, що здійснює зберігання розрахованих даних. Інформаційний вхід кожного реверсивного лічильника підключений до виходу елемента, перший вхід якого служить входом пристрою, а другий приєднаний паралельно з синхронізуючим входом генератора функцій Волша до виходу генератора тактових імпульсів. Залежно від знака i-ї функції Уолша, що діє на i-му виході генератора функцій Уолша, i-й реверсивний лічильник перерахує число імпульсів з виходу елемента І в режимі, що накопичує або віднімає. Сигнал на виході елемента І діє лише у разі наявності вхідного сигналу. Тому кожен реверсивний лічильник під час генерування повної системи ортогональних функцій підрахує у заданому коді число імпульсів, пропорційне відповідного коефіцієнта перетворення Волша. Нестача відомого пристрою полягає у неможливості здійснення з його допомогою спільного частотно-часового аналізу, коли необхідно для кожного дискретного відліку часу визначати всі поточні коефіцієнти перетворення Волша. Залежність цих коефіцієнтів іноді отримала назву "ковзного спектра" . Мета цього винаходу полягає у забезпеченні можливості одночасного обчислення всіх коефіцієнтів перетворення Уолша для кожного дискретного відліку часу та забезпечення тим самим можливості проведення спільного частотно-часового аналізу сигналів. Поставлена мета досягається тим, що у відомий пристрій додатково введені дільник частоти і з'єднані між собою регістр зсуву, кільцевий регістр зсуву, а також дільник. Вихід кільцевого зсувного регістру з'єднаний з входами реверсивних лічильників, при цьому його входи з'єднані з виходами генератора функцій Уолша та зсувного регістру, який, у свою чергу, з'єднаний з генератором тактових імпульсів через дільник і з виходом елемента безпосередньо. Вихід дільника також з'єднаний із входами реверсивних лічильників. Зсувний регістр накопичує пачки N імпульсів і під дією імпульсу з дільника частоти подає таку пачку на кільцевий зсувний регістр, з якого імпульси під дією імпульсу з генератора функцій Уолша надходять на відповідні реверсивні лічильники. Частота проходження імпульсів у пачці відповідає частоті тактових імпульсів, які більші за частоту зміни значень функцій Уолша в число разів, що дорівнює значенню дільника частоти. Структурна схема запропонованого пристрою представлена на кресленні. Пристрій містить послідовно з'єднані генератор тактових імпульсів 1, дільник частоти 2, елемент І 3, генератор функцій Волша 4, регістр зсуву 5, кільцевий зсувний регістр 6, N реверсивних лічильників 7 і N регістрів 8. Входом пристрою служить елемент І 3, другий вхід якого з'єднаний з генератором тактових імпульсів через дільник частоти 2. Вихід дільника частоти з'єднаний також з керуючим входом зсувного регістра 5, з обнулюючим входом кожного i-го реверсивного лічильника 7 і з керуючим входом регістрів зберігання 8 .Кожен реверсивний лічильник 7 призначений для підрахунку числа імпульсів. При цьому кожен реверсивний лічильник вважає накопичення або віднімання відповідно до знаком сигналу, що надходить на його вхід управління реверсом. Вихід кожного i-го реверсивного лічильника 7 з'єднаний з інформаційним входом відповідного i-го регістру 8. Генератор функцій Уолша 4 призначений для генерування повної системи ортогональних функцій Уолша розміру N, причому кожній генерованій функції відповідає окремий вихід генератора функцій Уолша 4, з'єднаний з входом реверса кожного i-го реверсивного лічильника 7. Генератор тактових 1 імпульсів призначений для генерування синхронізуючих імпульсів. Його вихід з'єднаний з входом дільника частоти 2, з керуючим входом генератора функцій Уолша 4 і керуючим входом кільцевого зсувного регістра 6. Інформаційний вхід кільцевого зсувного регістра 6 з'єднаний з виходом зсувного регістра 5, а його вихід підключений до інформаційного входу кожного реверсивного лічильника. частоти 2 призначений для поділу частоти імпульсної послідовності N разів. Працює пристрій у такий спосіб. Генератор тактових імпульсів 1 безперервно генерує послідовність імпульсів із деякою частотою f n . Ця імпульсна послідовність надходить одночасно на вхід дільника частоти 2, кільцевий зсувний регістр 6 і генератор функцій Уолша 4. Коефіцієнт поділу частоти блоку 2 обраний рівним N, причому N >> 1. Імпульсна послідовність з виходу дільника частоти 2 з частотою f д N надходить на обнуляющий вхід кожного реверсивного лічильника 7 і перший вхід елемента І 3, керуючий вхід зсувного регістра 5 і керуючий вхід регістра 8. Входом пристрою є другий вхід елемента І 3, з виходу якого вхідний сигнал під дією керуючого імпульсу з дільника частоти 2 надходить на інформаційний вхід зсувного регістра 5, де формуються пачки імпульсів, які потім надходять на інформаційні входи кільцевого зсувного регістра 6. Кільцевий зсувний регістр послідовно подає імпульси на реверсивні лічильники 7 під дією керуючого імпульсу з виходу тактових генератора. Одночасно на вхід управління реверсом реверсивного лічильника з номером i надходить напруга з i-го виходу генератора функцій Уолша 4. Якщо на вході i-го реверсивного лічильника 7 діє напруга логічної "1", лічильник працює на накопичення, тобто веде підсумовування числа імпульсів , що надходять на лічильний вхід. Якщо на вході управління реверсом діє логічний "0", то лічильник 7 працює на віднімання, тобто веде віднімання числа імпульсів, що надходять на рахунковий вхід. За час генерування повної системи функцій Уолша в кожному i-му реверсивному лічильнику 7 буде накопичено в заданому коді число імпульсів, пропорційне i-й компонент спектру Уолша. У момент закінчення генерування системи функцій Уолша генератор виробляє на своєму синхронізуючому вході імпульс, який переписує показання кожного реверсивного лічильника 7 відповідний регістр 8. Таким чином, в кожному i-му регістрі 8 буде зберігатися цифровий код, пропорційний i-й компоненті спектра Уолша вхідного аналогового сигналу, зафіксованого на даний момент часу в зсувному регістрі 5. Одночасно зі скиданням інформації з реверсивних лічильників 7 регістр 8 відбувається зчитування через елемент 3 чергового значення вхідного сигналу. Цикл розрахунку повної системи коефіцієнтів перетворення Волша над значеннями сигналу, що зберігаються в зсувному регістрі, повторюється. Таким чином, періодично, з частотою f д регістри 8 будуть скидатися значення "ковзного" спектру вхідного сигналу, обчислені в базисі повної системи ортогональних функцій Уолша. Література

1. Х. Хартмут. Теорія секвентного аналізу. - М: Мир, 1980. 2. А.А. Алексєєв, А.Б. Кірілів. Технічний аналіз сигналів та розпізнавання радіовипромінювань. – С.-Пб.: Військова академія зв'язку, 1998. Розділ 4. Елементи теорії узагальненого спектрально-часового аналізу, 4.3.2. Розподіл Вігнера-Уолша, стор. 164-209. 3. Аналізатор спектра за функціями Уолша. А.С. N 640305, G06F 15/34, 1976. 4. Виноградов Д.Г., Шабаков Є.І. Аналізатор спектру за функціями Волша. А.С. СРСР N 1203536, G06F 15/332, 1985.

ФОРМУЛА ВИНАХОДУ

Аналізатор спектру за функціями Волша, що містить генератор тактових імпульсів, виходом підключений до входу синхронізації генератора функцій Волша, вихід i-ї функції Волша якого з'єднаний з синхронізуючим входом i-го реверсивного лічильника, підключеного до інформаційного входу i-го регістру, вихід якого є вихід i-ї гармоніки аналізатора, а також елемент І, перший вхід якого є інформаційним входом аналізатора, який відрізняється тим, що додатково введені дільник частоти та послідовно з'єднані зсувний регістр та кільцевий зсувний регістр, включені між виходом елемента І та рахунковим входом кожного з реверсивних лічильників, а дільник частоти включений між генератором тактових імпульсів і другим входом елемента І, з'єднаним з керуючим входом зсувного регістру паралельно з керуючим входом кожного реверсивного лічильника і кожного регістру, причому вихід генератора тактових імпульсів підключений до входу кільцевого зсувного регістру паралельно із входом генератора функцій Уолша.

Функціями Уолша називається сімейство функцій, що утворюють ортогональну систему, що приймають значення лише 1 та −1 на всій області визначення.

У принципі, функції Уолша можуть бути представлені в безперервній формі, але найчастіше їх визначають як дискретні послідовності елементів. Група функцій Уолша утворює матрицю Адамара.

Функції Уолша набули широкого поширення в радіозв'язку, де з їх допомогою здійснюється кодове поділ каналів (CDMA), наприклад, таких стандартах стільникового зв'язку, як IS-95, CDMA2000 або UMTS.

Система функцій Уолша є ортонормованим базисом і, як наслідок, дозволяє розкладати сигнали довільної форми у узагальнений ряд Фур'є.

Перетворення Волша-Адамара

Є окремим випадком узагальненого перетворення Фур'є, у якому базисом виступає система функцій Уолша.

Узагальнений ряд Фур'є є формулою:

де це з базисних функцій, а - коефіцієнт.

Розкладання сигналу за функціями Волша має вигляд:

У дискретній формі формула запишеться так:

Визначити коефіцієнти можна, здійснивши скалярний твір сигналу, що розкладається, на відповідну базисну функцію Уолша:

Слід враховувати періодичний характер функцій Уолша.

9. Інтерполяція: спектральне трактування, КІХ-фільтри для поліноміальної інтерполяції 0- та 1-го порядку; Використання поліфазної структури. Інтерполяція – процес цифр. обробки сигналів, що призводить до формування сигналу y(nT) з підвищеною частотою дискретизації з сигналу x(vT’)=x(vLT) з нижчою частотою дискретизації при певних обмеженнях на часові та спектральні зміни вых.сигналу.

Виділяють три різновиди процесу інтерполяції ЦГЗ:

1. Збільшення частоти дискретизації здійснюється відповідно до математичного поняття інтерполяції;

2. При збільшенні част. дискр. вихідні відліки дискретного сигналу x(vT’) виявляються втраченими, проте відліки вихідного сигала y(nT) можуть розглядатися як відліки вихідного аналогового сигналу x(t), з якого шляхом дискретизації з інтервалом T’ утворений вихідний дискретний сигнал x(vT’). У цьому випадку форма огинаючої сигналів x(vT') та y(nT) (і спектр) не змінюються;

3. Збільшення част.дискретизації призводить до зміни форми сигналу, що інтерполюється, проте модуль спектра не змінюється.

Д-дискретизатор з інтервалом дискретизації T'=LT., ІІ-ідеальний інтерполятор збільшує част.дискр. в ціле число L.Після ІІ сигнал можна розглядати, як результат дискретизації вих.аналогового сигналу x(t) з інтервалом дискретизації T=T'/L. , Hφ-дискретна система з частотною хар-кою.

Частотна інтерполяція процесу з цілим коефіцієнтом L:

а) спектр вихідного аналогового сигналу. б) спектр дискретизованого сигналу з частотою дискретизації fд. в) спектр дискретизованого сигналу з частотою дискретизації fд = 3fд.

Т.О. процес підвищення частоти дискретизації (інтерполяції) – перетворення спектра від б) до в), тобто придушення «зайвих» частотних складових вих.спектра.

Збільшення частоти дискретизації вихідного сигналу в потрібне число разів L здійснює експандер частоти дискретизації (ЕКД).

Використання поліфазної структури при інтерполяції з використанням КІХ-фільтрів.Особливість цієї структури в тому, що замість одного фільтра, що працює на високій частоті дискретизації, використовується кілька фільтрів, що працюють на низькій частоті. Поліфазний фільтр являє собою набір невеликих фільтрів, що працюють паралельно, кожен з яких обробляє лише підмножина відліків сигналу (якщо є N фільтрів, кожен фільтр буде обробляти тільки кожен N-й відлік). Еквівалентна схема поліфазної структури:

Проектування КІХ-фільтрів для поліноміальної інтерполяції 0- та 1-го порядку.

Нульовий порядок. При обчисленні чергового відліку вих сигналу y(nT) з інтервалом дискретизації T исп-ся лише один відлік вхідного сигналу, що інтерполується x(vT’) з інтервалом дискретизації T’. При збільшенні частоти дискретизації L раз відлік сигналу x(vT’) повторюється L разів на тактах n=vL, vL+1, …,vL+L-1:

y(nT)=x(vT'), n=vL, vL+1, …,vL+L-1, v=0,1,2,…

Процес інтерполяції нульового порядку показаний на рис., де Tз-затримка, що вноситься фільтром.

Передатна функція фільтра

Реалізація однорідного фільтра:

Вхідний сигнал x(vT') записується в регістр RG з частотою fд'=1/T', а зчитування сигналу y(nT) проводиться з частотою fд=Lfд'=1/T. Перший порядок (лінійна інтерполяція). Нехай дано сигнал x(n)=cos(2πn∙0,125). Між кожним. відліком вих. сигналу вставляється L-1 відліків (підвищення част.дискретизації). Записується передатна функція

10. Децимація: спектральне трактування, КІХ-фільтри для поліноміальної децимації 0- та 1-го порядку; використання поліфазної структури. Децімація - процес зменшення частоти дискретизації сигналу.

Розгляну сигнал x(t), модуль його спекту а).

x(nT)-дискретизований сигнал з інтервалом дискретизації T, його модуль спектру в першому випадку б), у другому г).

x(лямбдаT)-дискретизований сигнал x(t) з інтервалом дискретизації T'=MT.(M=2), його модуль спектра у першому випадку в), у другому д).

Випадок 1. При дискретизації з частотою wд1 виконалася умова умова wд1 2Мwmax.(у разі wд1 4wmax). Сигнал можна відновити, тому що спектр не перекривається.

Випадок 2. При дискретизації з частотою wд2 не виконалася умова умова wд2 2Мwmax. Сигнал відновити не можна, тому що спектр накладається.

Для виконання операції децимації в ціле число разів М необхідно, щоб частота дискретизації wд сигналу x(nT), що підлягає децимації, задовольняло умові wд 2Мwmax.

Операція децимації здійснюється з допомогою компресора частоти дискретизації(КЧД)(рис зліва). КЧД є ключом, який замикається в моменти t=nMT=лямбдаT', тобто з вхідного сигналу x*(nT) з інтервалом дискретизації Т береться тільки кожен М-й відлік і формує сигнал x(лямбдаT')= x*(лямбдаМТ) ) з інтервалом дискретизації Т = МТ

Використання поліфазної структури при децимації з використанням КІХ-фільтрів.Ця структура містить М паралельних гілок обробки, у кожній з яких знаходиться фільтр, що працює на «низькій» (вихідній) частоті дискретизації. Рівняння, що описує поліфазну структуру децимації:

Де М-целочисл.коефіцієнт,

G-ціле число, r=0, 1,…,M-1.

Тобто. вихідна послідовність y(лямбдаT') схеми є сума М послідовностей yk(лямбдаMT'), k=0,1,…,M-1, кожна з яких є своєю чергою результат фільтрації послідовності yk*(лямбдаMT')=x(лямбдаМТ) -kT) дискретним фільтром з ПФ Hk * (zM) і імпульсної характеристики brk = brM + k, причому відліки імпульсної характеристики k-го фільтра є відліки імпульсної характеристики bl фільтра-прототипу, взяті через М-1 відлік.

Проектування КІХ-фільтрів для поліноміальної децимації 0- та 1-го порядку.

Схема зменшення частоти дискретизації

Нульовий порядок. Як фільтр використовується однорідний, передатна функція якого:

АЧХ однорідного фільтра

Умова, у якому вибирається порядок фільтра: N=k*M.

Перший лад. Як фільтр використовується тріангулярний з ПФ.

З (2.48) отримаємо

(2.49)

З урахуванням того, що функції Уолша дорівнюють ±1, вираз (2.49) запишемо у вигляді

(2.50)

де а п (к) = 0 або 1 визначає знак функції Уолша на інтервалі
Приклади спектрів Волша.

1. Спектр Волша прямокутного імпульсу s(t) = 1, 0 ≤ t ≤ т (рис. 2.9)

З (2.50) знаходимо

Спектр Волша прямокутного імпульсу залежить від співвідношення між т і Т. При τ/T = 2 v де v - ціле позитивне число, з урахуванням значень функцій Волша отримаємо

Розкладання прямокутного імпульсу за функціями Волша має вигляд

Спектр складається з 2 V складових з однаковими амплітудами, рівними 1/2 V. Спектр містить кінцеву кількість складових. При т/Т≠ 2 V структура спектра зміниться.

2. Спектр вулка трикутного імпульсу (рис. 2.10) При описі трикутного імпульсу

зручно перейти до безрозмірного часу х = t/T

Відповідно до (2.50) знаходимо:

Спектри Уолша при нумерації Хармута та Пелі зображені на рис.2.10, б і в.

3. Спектр Уолша синусоїдального імпульсу (рис. 2.11)

Для синусоїдального імпульсу

переходячи до безрозмірного часу x = t/T, запишемо

З (2.50) у системі Хармута знаходимо (рис. 2.11):

Спектри Уолша аналізованого сигналу при нумерації Хармута та Пелі наведені на рис.2.11,6 та ст.

2.7А. Властивості спектрів Волша

При аналізі сигналів з використанням функцій Волша корисно враховувати властивості розкладання сигналів у базисі Волша - спектрів Волша.

1. Спектр суми сигналів дорівнює сумі спектрів кожного сигналу.

Спектр сигналу у системі функцій Волша визначається коефіцієнтами розкладання (2.47). Для суми сигналів коефіцієнти розкладання визначаються виразом

(2.52)

де а пк – коефіцієнти розкладання сигналу s k (t).

2. Розмноження сигналу на функцію Волша з номером n змінює номери коефіцієнтів розкладання з k згідно із законом двійкового зсуву за модулем два

3. Спектр Уолша добутку сигналів s 1 (t) та s 2 (t). визначених на інтервалі. Такі функції описують періодичні сигнали з обмеженою потужністю.

Для парної функції s(t), як це випливає з (3.2),

(3.3)

для непарної функції s(t):

(3.4)

Зазвичай під час аналізу сигналів використовується розкладання s(t) як

(3.5)

Періодичний сигнал представляється як суми гармонійних складових з амплітудами А n і початковими фазами.

Сукупність амплітуд (Д,) визначає амплітудний спектр, а сукупність початкових фаз (n) - фазовий спектр сигналу (рис.3.1,а). Як випливає з (3.5), спектри періодичних сигналів є дискретними або лінійчастими, інтервал дискретизації за частотою дорівнює частоті сигналу ω 1 = 2π/Т.

Тригонометричний ряд Фур'є можна записати у комплексній формі

(3.7)

(3.8)

Перехід від (3.1) до (3.7) є очевидним з урахуванням формули Ейлера

(3.9)

Коефіцієнти з n у випадку є комплексними величинами

При використанні комплексної форми ряду Фур'є сигнал визначається сукупністю комплексних амплітуд (з n). Модулі комплексних амплітуд | з n | описують амплітудний спектр, аргументи n - фазовий спектр сигналу (рис. 3.1,6).

Представивши (3.8) у вигляді

(3.11)

Як випливає із записаних виразів, амплітудний спектр має парну, а фазовий - непарну симетрію.

(3.13)

Зі зіставлення виразів (3.2) і (3.11) слід

Як приклад розглянемо періодичну послідовність прямокутних імпульсів (рис. 3.2, а). При розкладанні періодичної послідовності прямокутних імпульсів у тригонометричний ряд Фур'є з (3.2) отримаємо амплітудний та фазовий спектри у вигляді (рис.3.2,б):

При використанні комплексної форми ряду Фур'є
з (3.8) випливає:

Амплітудний та фазовий спектри сигналу рівні

Граничним видом низки Фур'є є інтеграл Фур'є. Періодичний сигнал при Т → ∞ стає неперіодичним. Підставивши (3.8) у (3.7), запишемо

(3.16)

Гармонічний аналіз сигналів

Перетворюючи (3.16), при T→∞ (у цьому випадку ω 1 → dω та пω 1 = ω), отримуємо

(3.17)

У квадратних дужках записаний інтеграл Фур'є, він визначає спектральну щільність сигналу

Вираз (3.17) набуде вигляду

Записані співвідношення представляють пряме та зворотне перетворення Фур'є. Вони застосовуються при гармонійному аналізі неперіодичних сигналів.

3.2. Гармонічний аналіз неперіодичних сигналів

Пряме та зворотне перетворення Фур'є встановлюють взаємно однозначну відповідність між сигналом (тимчасовою функцією, що описує сигнал s(t)) та його спектральною щільністю S(ω):

(3.18)

Відповідність за Фур'є позначимо:

(3.19)

Умовою існування перетворення Фур'є є абсолютна інтегрованість функції s(t)

(3.20)

У практичних додатках більш зручною є умова інтегрованості квадрата цієї функції

(3.21)

Для реальних сигналів умова (3.21) еквівалентна умові (3.20), але має очевидніший фізичний сенс: умова (3.21) означає обмежену енергію сигналу. Таким чином, можна вважати можливим застосування перетворення Фур'є до сигналів з обмеженою енергією. Це неперіодичні (імпульсні) сигнали. Для періодичних сигналів розкладання на гармо

ні складові виробляється за допомогою ряду Фур'є.

Функція S(ω) у загальному випадку є комплексною

де Re, lm - дійсна та уявна частини комплексної величини; |s(w)|, ф(оо)- модуль та аргумент комплексної величини:

Модуль спектральної щільності сигналу | S (ω) | описує розподіл амплітуд гармонійних складових за частотою, називається амплітудним спектром. Аргумент φ(ω) дає розподіл фази частотою, називається фазовим спектром сигналу. Амплітудний спектр є парною функцією, а фазовий спектр - непарною функцією частоти

З урахуванням формули Ейлера (3.9) вираз для S(ω) запишемо у вигляді

(3.24)

Якщо s(t)парна функція, то з (3.24) отримаємо

(3.25)

Функція S(ω), як випливає із (3.25), є дійсною функцією. Фазовий спектр визначається як

(3.26)

Для непарної функції s(t) з (3.24) отримаємо

(3.27)

Функція S(ω) є чисто уявною, фазовий спектр

(3.28)

Будь-який сигнал можна представити як суму парної s ч (t) та непарної s H (t) складових

(3.29)

Можливість такого уявлення стає ясною з огляду на такі рівні:

З (3.24) та (3.29) отримаємо

(3.30)

Отже, для дійсної та уявної частин спектральної щільності сигналу можна записати:

Таким чином, дійсна частина спектральної густини представляє перетворення Фур'є від парної складової, уявна частина - від непарної складової сигналу. Дійсна частина комплексної спектральної щільності сигналу є парною, а уявна частина – непарною функцією частоти.

Спектральна густина сигналу при ω = 0

(3.31)

дорівнює площі під кривою s(t).

Як приклади отримаємо спектри деяких сигналів.

1. Прямокутний імпульс (рис. 3.3 а)

де і - тривалість імпульсу.

Спектральна щільність сигналу

Графіки амплітудного та фазового спектрів сигналу наведено на рис. 3.3, б, ст.

2. Сигнал, що описується функцією

Спектральна щільність сигналу визначається виразом

Інтегруючи частинами n-1 раз, отримуємо

Сигнал (рис. 3.4 а)

має спектральну щільність

Графіки амплітудного та фазового спектрів зображені на рис. 3.4, б, ст.

Сигнал (рис. 3.5 а)

має спектральну щільність

Графіки амплітудного та фазового спектрів – рис. 3.5, б, ст.

Число прикладів збільшує табл. 3.1.

Порівняння (3.18) та (3.8) показує, що спектральна щільність одиночного імпульсу при τ<

З урахуванням зазначеного співвідношення визначення спектра періодичного сигналу часом можна спростити, використовуючи перетворення Фур'є (3.18). Коефіцієнти ряду Фур'є знаходяться як

(3.32)

де S(ω) – спектральна щільність одного імпульсу.

Таким чином, при визначенні амплітудного та фазового спектрів періодичних сигналів корисно мати на увазі наступні рівності:

Коефіцієнт 1/T може розглядатися як інтервал частот між сусідніми складовими спектра, а спектральна щільність як відношення амплітуди складової сигналу інтервалу частот, якому відповідає амплітуда. З огляду на це стає більш зрозумілим термін «спектральна щільність». Безперервні амплітудний та фазовий спектри одиночного імпульсу є огинальними дискретних амплітудного та фазового спектрів періодичної послідовності таких імпульсів.

За допомогою співвідношень (3.33) результати наведені в табл. 3.1 можна використовувати для визначення спектрів періодичних послідовностей імпульсів. Такий підхід ілюструють такі приклади.

1. Періодична послідовність прямокутних імпульсів (табл. 3.1 п. 1), рис. 3.2.

Записаний вираз повторює результат прикладу п.3.1.

2. Періодична послідовність меандрових імпульсів (табл. 3.1 п.2), рис. 3.6 рис. 3.2.

3. Періодична послідовність експонентних імпульсів (табл. 3.1, п.8), рис. 3.7.

Таблиця 3.1

Сигнали та їх спектри

3.3. Частотні спектри сигналів, представлених у вигляді узагальненого ряду Фур'є

При поданні сигналу як узагальненого ряду Фур'є корисно мати перетворення Фур'є базових функцій. Це дозволить від спектру в базисі різних ортогональних систем перейти до частотного спектра. Нижче наведено приклади частотних спектрів деяких видів сигналів, що описуються базовими функціями ортогональних систем.

1. Сигнали Лежандра.

Перетворення Фур'є багаточлена Лежандра (розд. 2) має вигляд

(3.34)

п = 1,2, ... - багаточлен Лежандра; - Функція Бесселя.

Використовуючи (3.34) від сигналу, представленого у вигляді ряду

з коефіцієнтами

(3.35)

Вираз (3.35) визначає спектральну щільність сигналу s(f) як ряду.

Графіки складових спектра з номерами 1 – 3 наведено на рис.3.8.

2. Сигнали Лагерра.

Перетворення Фур'є функції Лагерра має вигляд

(3.36)

п = 1,2, ... - Функції Лагерра.

Використовуючи (3.36), від сигналу, представленого у вигляді ряду розкладання багаточлена Лагерра (розд. 2)

з коефіцієнтами

можна перейти до спектральної густини сигналу

(3.37)

3. Сигнали Ерміта.

Перетворення Фур'є функції Ерміта має вигляд

(3.38)

п = 1,2, ... - Функції Ерміта.

З (3.38) слід, що функції Ерміта мають властивість трансформованості, тобто. функції та його перетворення Фур'є рівні (з точністю до постійних коефіцієнтів). Використовуючи (3.38), від сигналу, представленого у вигляді ряду розкладання по багаточлена Ерміта

з коефіцієнтами

можна перейти до спектральної густини сигналу

(3.39)

4. Сигнали Волша.

Частотні спектри сигналів Волша (сигналів, що описуються функціями Волша) визначаються наступним перетворенням Фур'є:

(3.40)

де wal (n, x) - функція Уолша.

Оскільки функції Уолша мають N ділянок постійних значень,

де х до - значення х на якому інтервалі.

З (3.41) отримаємо

де

Оскільки функції Уолша набувають значення ±1, то (3.42) можемо записати як

(3.43)

де а n (к) = 0 чи 1 визначає знак функції wal(n, x k).

На рис. 3.9 наведено графіки амплітудних спектрів перших шести сигналів Волша.

3.4. Спектри сигналів, що описуються неінтегрованими функціями

Перетворення Фур'є існує лише сигналів з кінцевої енергією (для яких виконується умова (3.21)). Розширити клас сигналів, аналізованих з використанням перетворення Фур'є, дозволяє чисто формальний прийом, заснований на введенні поняття спектральної щільності імпульсної функції. Розглянемо деякі з таких сигналів.

1. Імпульсна функція.

Імпульсна функція (або δ - функція) визначається як

(3.44)