Ця тема є однією з найненависніших серед студентів. Гірше, мабуть, лише визначники.
Фішка в тому, що саме поняття зворотного елемента (і я зараз не лише про матриці) відсилає нас до операції множення. Навіть у шкільній програмі множення вважається складною операцією, а множення матриць — взагалі окрема тема, якій у мене присвячений цілий параграф і відеоурок.
Сьогодні ми не будемо вдаватися до подробиць матричних обчислень. Просто згадаємо: як позначаються матриці, як вони множаться і що з цього випливає.
Повторення: множення матриць
Насамперед домовимося про позначення. Матрицею $A$ розміру $\left[ m\times n \right]$ називається просто таблиця з чисел, в якій рівно $m$ рядків і $n$ стовпців:
\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrix) \right])_(n)\]
Щоб випадково не переплутати рядки та стовпці місцями (повірте, на іспиті можна і одиницю з двійкою переплутати — що вже казати про якісь там рядки), просто погляньте на картинку:
Визначення індексів для клітин матриці Що відбувається? Якщо розмістити стандартну систему координат $OXY$ у лівому верхньому кутку і направити осі так, щоб вони охоплювали всю матрицю, то кожній клітині цієї матриці можна однозначно зіставити координати $\left(x;y \right)$ - це і буде номер рядка і номер стовпця.
Чому система координат розміщена саме у лівому верхньому кутку? Бо саме звідти ми починаємо читати будь-які тексти. Це просто запам'ятати.
А чому вісь $x$ спрямована саме вниз, а не праворуч? Знову все просто: візьміть стандартну систему координат (вісь $x$ йде вправо, вісь $y$ вгору) і поверніть її так, щоб вона охоплювала матрицю. Це поворот на 90 градусів за годинниковою стрілкою – його результат ми й бачимо на картинці.
Загалом, як визначити індекси у елементів матриці, ми розібралися. Тепер розберемося з множенням.
Визначення. Матриці $A=\left[ m\times n \right]$ і $B=\left[ n\times k \right]$, коли кількість стовпців у першій збігається з кількістю рядків у другій, називаються узгодженими.
Саме у такому порядку. Можна сумніватися і сказати, мовляв, матриці $A$ і $B$ утворюють впорядковану пару $\left(A;B \right)$: якщо вони узгоджені в такому порядку, то необов'язково, що $B$ і $A$, тобто. пара $ \ left (B; A \ right) $ - теж узгоджена.
Помножувати можна лише узгоджені матриці.
Визначення. Твір узгоджених матриць $A=\left[m\times n\right]$ і $B=\left[n\times k \right]$ - це нова матриця $C=\left[m\times k \right]$ елементи якої $((c)_(ij))$ вважаються за формулою:
\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]
Іншими словами: щоб отримати елемент $((c)_(ij))$ матриці $C=A\cdot B$, потрібно взяти $i$-рядок першої матриці, $j$-й стовпець другої матриці, а потім попарно перемножити елементи з цього рядка та стовпця. Результати скласти.
Так, ось таке суворе визначення. З нього відразу випливає кілька фактів:
- Множення матриць, взагалі кажучи, некомутативно: $ A \ cdot B \ ne B \ cdot A $;
- Однак множення асоціативно: $ \ left (A cdot B \ right) \ cdot C = A \ cdot \ left (B \ cdot C \ right) $;
- І навіть дистрибутивно: $ \ left (A + B \ right) \ cdot C = A cdot C + B cdot C $;
- І ще раз дистрибутивно: $ A \ cdot \ left (B + C \ right) = A \ cdot B + A \ cdot C $.
Дистрибутивність множення довелося окремо описувати для лівого та правого множника-суми якраз через некомутативність операції множення.
Якщо все ж таки виходить так, що $A cdot B = B cdot A $, такі матриці називаються перестановочними.
Серед усіх матриць, які там на щось множаться, є особливі ті, які при множенні на будь-яку матрицю $A$ знову дають $A$:
Визначення. Матриця $E$ називається одиничною, якщо $A\cdot E=A$ або $E\cdot A=A$. У випадку з квадратною матрицею $A$ можемо записати:
Поодинока матриця - частий гість під час вирішення матричних рівнянь. І взагалі найчастіший гість у світі матриць.:)
А ще через цю $E$ дехто вигадав всю ту дичину, яка буде написана далі.
Що таке зворотна матриця
Оскільки множення матриць - дуже трудомістка операція (доводиться перемножувати купу рядків і стовпців), то поняття зворотної матриці теж виявляється не найбільш очевидним. І потребує деяких пояснень.
Ключове визначення
Що ж, настав час пізнати істину.
Визначення. Матриця $B$ називається зворотною до матриці $A$ , якщо
Зворотна матриця позначається через $((A)^(-1))$ (не плутати зі ступенем!), тому визначення можна переписати так:
Здавалося б, все дуже просто і ясно. Але під час аналізу такого визначення відразу виникає кілька питань:
- Чи завжди є зворотна матриця? І якщо не завжди, то як визначити: коли вона існує, а коли ні?
- А хто сказав, що така матриця одно? Раптом для деякої вихідної матриці $A$ знайдеться ціла юрба зворотних?
- Як виглядають усі ці «зворотні»? І як, власне, їх рахувати?
Щодо алгоритмів обчислення – про це ми поговоримо трохи згодом. Але на інші питання відповімо зараз. Оформимо їх у вигляді окремих тверджень-лем.
Основні властивості
Почнемо з того, як у принципі має виглядати матриця $A$, щоб для неї існувала $((A)^(-1))$. Зараз ми переконаємося в тому, що обидві ці матриці повинні бути квадратними, причому одного розміру: $ \ left [n \ times n \ right] $.
Лемма 1 . Дана матриця $A$ і обернена їй $((A)^(-1))$. Тоді обидві ці матриці квадратні, причому однакового порядку $ n $.
Доведення. Все просто. Нехай матриця $A=\left[m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Оскільки добуток $A\cdot ((A)^(-1))=E$ за визначенням існує, матриці $A$ і $((A)^(-1))$ узгоджені у вказаному порядку:
\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( align)\]
Це прямий наслідок алгоритму перемноження матриць: коефіцієнти $n$ і $a$ є «транзитними» і мають бути рівними.
Водночас визначено і зворотне множення: $((A)^(-1))\cdot A=E$, тому матриці $((A)^(-1))$ і $A$ також узгоджені у вказаному порядку:
\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( align)\]
Отже, без обмеження спільності можемо вважати, що $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Однак згідно з визначенням $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, тому розміри матриць суворо збігаються:
\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]
Ось і виходить, що всі три матриці - $ A $, $ ((A) ^ (-1)) $ і $ E $ - є квадратними розміром $ \ left [n \ times n \ right] $. Лемма доведена.
Що ж, уже непогано. Ми, що оборотними бувають лише квадратні матриці. Тепер переконаємося, що зворотна матриця завжди одна.
Лемма 2 . Дана матриця $A$ і обернена їй $((A)^(-1))$. Тоді ця зворотна матриця єдина.
Доведення. Підемо від протилежного: нехай матриця $A$ має хоча б два екземпляри зворотних —$B$ і $C$. Тоді, згідно з визначенням, вірні такі рівності:
\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \ & A \ cdot C = C \ cdot A = E. \\ \end(align)\]
З леми 1 ми укладаємо, що всі чотири матриці - $ A $, $ B $, $ C $ і $ E $ - є квадратними однакового порядку: $ \ left [n \ times n \ right] $. Отже, визначено твір:
Оскільки множення матриць асоціативно (але не комутативно!), ми можемо записати:
\\\\\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \ \ & B \ cdot A \ cdot C = B \ cdot \ left (A \ cdot C \ right) = B \ cdot E = B; \ & B \ cdot A \ cdot C = C = B \ Rightarrow B = C. \\ \end(align)\]
Отримали єдино можливий варіант: два екземпляри зворотної матриці рівні. Лемма доведена.
Наведені міркування майже дослівно повторюють доказ єдиність зворотного елемента всім дійсних чисел $b\ne 0$. Єдине істотне доповнення - облік розмірності матриць.
Втім, ми досі нічого не знаємо про те, чи квадратна матриця є оборотною. Тут нам на допомогу приходить визначник це ключова характеристика для всіх квадратних матриць.
Лемма 3 . Дано матрицю $A$. Якщо зворотна до неї матриця $((A)^(-1))$ існує, то визначник вихідної матриці відмінний від нуля:
\[\left| A \right|\ne 0\]
Доведення. Ми вже знаємо, що $A$ і $((A)^(-1))$ — квадратні матриці розміру $\left[ n\times n \right]$. Отже, кожної з них можна обчислити визначник: $\left| A \right|$ і $\left| ((A)^(-1)) \right|$. Проте визначник твору дорівнює твору визначників:
\[\left| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|\]
Але згідно з визначенням $A\cdot ((A)^(-1))=E$, а визначник $E$ завжди дорівнює 1, тому
\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E \right|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(align)\]
Добуток двох чисел дорівнює одиниці тільки в тому випадку, коли кожне з цих чисел відмінно від нуля:
\[\left| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]
Ось і виходить, що $ \ left | A \right|\ne 0$. Лемма доведена.
Насправді ця вимога є цілком логічною. Зараз ми розберемо алгоритм знаходження зворотної матриці - і стане зрозуміло, чому за нульового визначника ніякої зворотної матриці в принципі не може існувати.
Але для початку сформулюємо «допоміжне» визначення:
Визначення. Вироджена матриця - це квадратна матриця розміру $ \ left [n \ times n \ right] $, чий визначник дорівнює нулю.
Таким чином, ми можемо стверджувати, що будь-яка оборотна матриця є невиродженою.
Як знайти зворотну матрицю
Зараз розглянемо універсальний алгоритм знаходження зворотних матриць. Взагалі, існує два загальноприйняті алгоритми, і другий ми також сьогодні розглянемо.
Той, який буде розглянутий зараз, дуже ефективний для матриць розміру $ \ left [2 \ times 2 \ right] $ і - частково - розміру $ \ left [3 \ times 3 \ right] $. А ось починаючи з розміру $ \ left [4 \ times 4 \ right] $ його краще не застосовувати. Чому зараз самі все зрозумієте.
Алгебраїчні доповнення
Готуйтеся. Нині буде біль. Ні, не хвилюйтеся: до вас не йде красива медсестра у спідниці, панчохах з мереживом і не зробить укол у сідницю. Все куди прозаїчніше: до вас йдуть алгебраїчні доповнення та її Величність «Союзна Матриця».
Почнемо з головного. Нехай є квадратна матриця розміру $ A = \ left [n \ times n \ right] $, елементи якої іменуються $ ((a)_ (ij)) $. Тоді для кожного такого елемента можна визначити додаток алгебри:
Визначення. Алгебраїчне доповнення $((A)_(ij))$ до елемента $((a)_(ij))$, що стоїть у $i$-му рядку і $j$-му стовпці матриці $A=\left[ n \times n \right]$ - це конструкція виду
\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]
Де $M_(ij)^(*)$ — визначник матриці, отриманої з вихідної $A$ викреслюванням того самого $i$-го рядка і $j$-го стовпця.
Ще раз. Додаток алгебри до елемента матриці з координатами $\left(i;j \right)$ позначається як $((A)_(ij))$ і вважається за схемою:
- Спочатку викреслюємо з вихідної матриці $i$-рядок і $j$-й стовпець. Отримаємо нову квадратну матрицю і її визначник ми позначаємо як $M_(ij)^(*)$.
- Потім множимо цей визначник на $((\left(-1 \right))^(i+j))$ — спочатку цей вираз може здатися мозковиносним, але по суті ми просто з'ясовуємо знак перед $M_(ij)^(*) $.
- Вважаємо - отримуємо конкретне число. Тобто. Додаток алгебри — це саме число, а не якась нова матриця і т.д.
Саму матрицю $M_(ij)^(*)$ називають додатковим мінором до елемента $((a)_(ij))$. І в цьому сенсі наведене вище визначення алгебраїчного доповнення є окремим випадком складнішого визначення того, що ми розглядали в уроці про визначник.
Важливе зауваження. Загалом у «дорослій» математиці алгебраїчні доповнення визначаються так:
- Беремо у квадратній матриці $k$ рядків і $k$ стовпців. На їх перетині вийде матриця розміру $ \ left [k \ times k \ right] $ - її визначник називається мінором порядку $ k $ і позначається $ ((M)_ (k)) $.
- Потім викреслюємо ці «вибрані» $k$ рядків і $k$ стовпців. Знову вийде квадратна матриця - її визначник називається додатковим мінором і позначається $ M_(k) ^ (*) $.
- Помножуємо $M_(k)^(*)$ на $((\left(-1 \right))^(t))$, де $t$ — це (ось зараз увага!) сума номерів усіх вибраних рядків та стовпців . Це і буде додаток алгебри.
Погляньте на третій крок: там взагалі сума $2k$ доданків! Інша річ, що для $k=1$ ми отримаємо лише 2 доданків — це будуть ті самі $i+j$ — «координати» елемента $((a)_(ij))$, для якого ми шукаємо алгебраїчне доповнення.
Таким чином, сьогодні ми використовуємо злегка спрощене визначення. Але як ми побачимо надалі, його виявиться більш ніж достатньо. Куди важливіша наступна штука:
Визначення. Союзна матриця $S$ до квадратної матриці $A=\left[ n\times n \right]$ — це нова матриця розміру $\left[ n\times n \right]$, яка виходить із $A$ заміною $(( a)_(ij))$ алгебраїчними доповненнями $((A)_(ij))$:
\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrix) \right]\]
Перша думка, що виникає в момент усвідомлення цього визначення - це скільки ж доведеться всього вважати! Розслабтеся: вважати доведеться, але не так вже й багато.
Що ж, все це дуже мило, але навіщо це потрібне? А ось навіщо.
Основна теорема
Повернемося трохи тому. Пам'ятайте, в Лемме 3 стверджувалося, що оборотна матриця $A$ завжди не вироджена (тобто її визначник відмінний від нуля: $ \ left | A \ right | \ ne 0 $).
Так ось, вірно і зворотне: якщо матриця $ A $ не вироджена, вона завжди оборотна. І навіть існує схема пошуку $((A)^(-1))$. Зацініть:
Теорема про зворотну матрицю. Нехай дана квадратна матриця $ A = \ left [n \ times n \ right] $, причому її визначник відмінний від нуля: $ \ left | A \right|\ne 0$. Тоді зворотна матриця $((A)^(-1))$ існує і вважається за формулою:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]
А тепер — все те саме, але розбірливим почерком. Щоб знайти зворотну матрицю, потрібно:
- Порахувати визначник $ \ left | A \right|$ і переконатися, що він відмінний від нуля.
- Скласти союзну матрицю $S$, тобто. порахувати 100500 додатків алгебри $((A)_(ij))$ і розставити їх на місці $((a)_(ij))$.
- Транспонувати цю матрицю $S$, а потім помножити її на деяке число $q=(1)/(\left|A \right|)\;$.
І все! Зворотну матрицю $((A)^(-1))$ знайдено. Давайте подивимося на приклади:
\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right]\]
Рішення. Перевіримо оборотність. Порахуємо визначник:
\[\left| A \right|=\left| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]
Визначник відмінний від нуля. Значить, матриця оборотна. Складемо союзну матрицю:
Порахуємо додатки алгебри:
\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3 \right|=3. \\ \end(align)\]
Зверніть увагу: визначники | 2 |, | 5 |, | 1 | та |3| - це саме визначники матриць розміру $ \ left [1 \ times 1 \ right] $, а не модулі. Тобто. якщо в визначниках стояли негативні числа, прибирати мінус не треба.
Отже, наша союзна матриця виглядає так:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]\]
Ну от і все. Завдання вирішено.
Відповідь. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$
Завдання. Знайдіть зворотну матрицю:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\end(array) \right] \]
Рішення. Знову вважаємо визначник:
\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]
Визначник відмінний від нуля - матриця оборотна. А ось зараз буде найжорсткіша: треба порахувати аж 9 (дев'ять, мати їх!) алгебраїчних доповнень. І кожне з них міститиме визначник $\left[2\times 2\right]$. Полетіли:
\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \end(matrix)\]
Коротше, союзна матриця виглядатиме так:
Отже, зворотна матриця буде такою:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right]\]
Ось і все. Ось і відповідь.
Відповідь. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\end(array) \right ]$
Як бачите, наприкінці кожного прикладу ми виконували перевірку. У зв'язку з цим важливе зауваження:
Не лінуйтеся виконувати перевірку. Помножте вихідну матрицю на знайдену зворотну - має вийти $E$.
Виконати цю перевірку набагато простіше та швидше, ніж шукати помилку у подальших обчисленнях, коли, наприклад, ви вирішуєте матричне рівняння.
Альтернативний спосіб
Як я і говорив, теорема про зворотну матрицю чудово працює для розмірів $ \ left [2 \ times 2 \ right] $ і $ \ left [3 \ times 3 \ right] $ (в останньому випадку - вже не так вже й "прекрасно" »), а ось для матриць великих розмірів починається прямий смуток.
Але не переживайте: є альтернативний алгоритм, за допомогою якого можна незворушно знайти зворотну хоч для матриці $ \ left [10 \ times 10 \ right] $. Але, як це часто буває, для розгляду цього алгоритму нам знадобиться невелика теоретична вступна.
Елементарні перетворення
Серед різноманітних перетворень матриці є кілька особливих їх називають елементарними. Таких перетворень рівно три:
- множення. Можна взяти $i$-й рядок (стовпець) і помножити його на будь-яке число $k\ne 0$;
- Додавання. Додати до $i$-го рядка (стовпця) будь-який інший $j$-й рядок (стовпець), помножений на будь-яке число $k\ne 0$ (можна, звичайно, і $k=0$, але який у цьому сенс ? Нічого не зміниться ж).
- Перестановка. Взяти $i$-ю і $j$-ю рядки (стовпці) і поміняти місцями.
Чому ці перетворення називаються елементарними (для великих матриць вони виглядають не такими вже елементарними) і чому їх лише три ці питання виходять за рамки сьогоднішнього уроку. Тому не вдаватимемося в подробиці.
Важливо інше: всі ці збочення ми повинні виконувати над приєднаною матрицею. Так, так: ви не дочули. Зараз буде ще одне визначення – останнє у сьогоднішньому уроці.
Приєднана матриця
Напевно, у школі ви вирішували системи рівнянь методом складання. Ну, там, відняти з одного рядка інший, помножити якийсь рядок на число - ось це все.
Так ось: зараз буде все те саме, але вже «по-дорослому». Чи готові?
Визначення. Нехай дана матриця $ A = \ left [n \ times n \ right] $ і одинична матриця $ E $ такого ж розміру $ n $. Тоді приєднана матриця $ \ left [ A \ left | E \right. \right]$ — це нова матриця розміру $\left[ n\times 2n \right]$, яка виглядає так:
\[\left[ A\left| E \right. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]
Коротше кажучи, беремо матрицю $A$, праворуч приписуємо до неї одиничну матрицю $E$ потрібного розміру, розділяємо їх вертикальною рисою для краси - ось вам і приєднана.
У чому прикол? А ось у чому:
Теорема. Нехай матриця $A$ оборотна. Розглянемо приєднану матрицю $ \ left [ A \ left | E \right. \right]$. Якщо за допомогою елементарних перетворень рядківпривести її до вигляду $ \ left [ E \ left | B \right. \right]$, тобто. шляхом множення, віднімання та перестановки рядків отримати з $A$ матрицю $E$ праворуч, то отримана зліва матриця $B$ - це зворотна до $A$:
\[\left[ A\left| E \right. \right]\to \left[ E\left| B \right. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]
Ось так просто! Коротше кажучи, алгоритм знаходження зворотної матриці виглядає так:
- Записати приєднану матрицю $\left[ A\left| E \right. \right]$;
- Виконувати елементарні перетворення рядків доти, доки права замість $A$ не з'явиться $E$;
- Зрозуміло, ліворуч теж щось з'явиться якась матриця $B$. Це і буде обернена;
- PROFIT!:)
Звісно, сказати набагато простіше, ніж зробити. Тому давайте розглянемо кілька прикладів: для розмірів $\left[ 3\times 3 \right]$ і $\left[ 4\times 4 \right]$.
Завдання. Знайдіть зворотну матрицю:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]
Рішення. Складаємо приєднану матрицю:
\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]
Оскільки останній стовпець вихідної матриці заповнений одиницями, віднімемо перший рядок з інших:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \endend(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\end(matrix)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Більше одиниць немає, окрім першого рядка. Але її ми не чіпаємо, інакше в третьому стовпці почнуть «розмножуватися» щойно прибрані одиниці.
Зате можемо відняти другий рядок двічі з останнього — отримаємо одиницю в нижньому лівому кутку:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 &-7 & 0 & -1 & 0 & 1 \endend(array) \right]\begin(matrix) \\ \downarrow \\ -2 \\end(matrix)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Тепер можна відняти останній рядок з першого і двічі з другого — таким чином ми «занулимо» перший стовпець:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \end(array) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\end(matrix)\to \ \ \ to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Помножимо другий рядок на −1, а потім віднімемо його 6 разів з першого і додамо 1 раз до останнього:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matrix) \to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Залишилося лише поміняти місцями рядки 1 та 3:
\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\end(array) \right]\]
Готово! Праворуч - шукана зворотна матриця.
Відповідь. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\end(array) \right ]$
Завдання. Знайдіть зворотну матрицю:
\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\end(matrix) \right]\]
Рішення. Знову складаємо приєднану:
\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]
Трохи позалимаємо, потурбуємося від того, скільки зараз доведеться рахувати... і почнемо рахувати. Для початку «обнулили» перший стовпець, віднімаючи рядок 1 з рядків 2 та 3:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Спостерігаємо дуже багато «мінусів» у рядках 2—4. Помножимо всі три рядки на −1, а потім випалимо третій стовпець, віднімаючи рядок 3 з інших:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\\end (array) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Тепер саме час «підсмажити» останній стовпець вихідної матриці: віднімаємо рядок 4 з інших:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\end(array ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]
Фінальний кидок: «випалюємо» другий стовпець, віднімаючи рядок 2 з рядка 1 та 3:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\end( array) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\end(array) \right] \\ \end(align)\]
І знову зліва одинична матриця, значить праворуч - зворотна.:)
Відповідь. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrix) \right]$
Ну от і все. Перевірку зробіть самі - мені в лом.
www.сайтдозволяє знайти зворотну матрицю онлайн. Сайт здійснює обчислення зворотної матриці онлайн. За кілька секунд сервер видасть точне рішення. Зворотною матрицеюбуде така матриця, множення вихідної матриціна яку дає одиничну матрицю, за умови, що визначник початкової матриціне дорівнює нулю, інакше зворотної матрицідля неї не існує. У задачах, коли обчислюємо зворотну матрицю онлайн, необхідно, щоб визначник матрицібув відмінним від нуля, інакше www.сайтвидасть відповідне повідомлення про неможливість обчислити зворотну матрицю онлайн. Таку матрицюще називають виродженою. Знайти зворотну матрицюв режимі онлайнможна тільки для квадратної матриці. Операція знаходження зворотної матриці онлайнзводиться до обчислення визначника матриціпотім складається проміжна матрицяза відомим правилом, і на завершення операції - множення знайденого раніше визначника на транспоновану проміжну матрицю. Точний результат від визначення зворотної матриці онлайнможна досягти, вивчивши теорію з цього курсу. Ця операція займає особливе місце в теорії матрицьі лінійної алгебри, що дозволяє вирішувати системи лінійних рівнянь, так званим, матричним методом. Завдання щодо знаходження зворотної матриці онлайнзустрічається вже на початку вивчення вищої математики і є майже в кожній математичній дисципліні як базове поняття алгебри, будучи математичним інструментом у прикладних завданнях. www.сайтзнаходить зворотну матрицюзаданої розмірності в режимі онлайнмиттєво. Обчислення зворотної матриці онлайнпри заданій її розмірності – це знаходження матрицітієї ж розмірності у числовому її значенні, а також у символьному, знайденому за правилом обчислення зворотної матриці. Знаходження зворотної матриці онлайншироко поширене в теорії матриць. Результат знаходження зворотної матриці онлайнвикористовується під час вирішення лінійної системи рівнянь матричним методом. Якщо визначник матрицідорівнюватиме нулю, то зворотної матриці, на яку знайдено нульовий визначник, немає. Для того, щоб обчислити зворотну матрицюабо знайти відразу для кількох матрицьвідповідні їм зворотні, необхідно витратити чимало часу та зусиль, тоді як наш сервер за лічені секунди знайде зворотну матрицю онлайн. При цьому відповідь щодо знаходження зворотної матрицібуде правильним і з достатньою точністю, навіть якщо числа при знаходженні зворотної матриці онлайнбудуть ірраціональними. На сайті www.сайтдопускаються символьні записи в елементах матриць, тобто зворотна матриця онлайнможе бути представлена у загальному символьному вигляді при обчисленні зворотної матриці онлайн. Корисно перевірити відповідь, отриману при вирішенні задачі знаходження зворотної матриці онлайн, використовуючи сайт www.сайт. При виконанні операції обчислення зворотної матриці онлайннеобхідно бути уважним і гранично зосередженим під час вирішення цього завдання. У свою чергу, наш сайт допоможе Вам перевірити своє рішення на тему зворотна матриця онлайн. Якщо Ви не маєте часу на довгі перевірки вирішених завдань, то www.сайтбезумовно буде зручним інструментом для перевірки при знаходженні та обчисленні зворотної матриці онлайн.
У цій статті розберемося з поняттям зворотної матриці, її властивостями та способами знаходження. Детально зупинимося на рішенні прикладів, у яких потрібно побудувати зворотну матрицю для заданої.
Навігація на сторінці.
Зворотна матриця – визначення.
Поняття зворотної матриці вводиться лише квадратних матриць, визначник яких відмінний від нуля, тобто для невироджених квадратних матриць.
Визначення.
Матриця називається зворотною для матриці, визначник якої відмінний від нуля , якщо справедливі рівність 
, де E - одинична матриця порядку n на n.
Знаходження зворотної матриці за допомогою матриці з додатків алгебри.
Як знайти зворотну матрицю для цієї?
По-перше, нам знадобляться поняття транспонованої матриці, мінору матриці та алгебраїчного доповнення елемента матриці.
Визначення.
Мінор k-ого порядкуматриці A порядку m на n – це визначник матриці порядку k на k , яка виходить із елементів матриці А , що у обраних k рядках і k шпальтах. (k не перевищує найменшого з чисел m чи n).
Мінор (n-1)-ого порядку, який складається з елементів всіх рядків, крім i-ої , і всіх стовпців, крім j-ого , квадратної матриці порядку А n на n позначимо як .
Іншими словами, мінор виходить із квадратної матриці А порядку n на n викреслюванням елементів i-го рядка і j-ого стовпця.
Наприклад запишемо, мінор другого порядку, який виходить з матриці 
вибором елементів її другого, третього рядків та першого, третього стовпців 
. Також покажемо мінор, який виходить із матриці викресленням другого рядка та третього стовпця 
. Проілюструємо побудову цих мінорів: і .
Визначення.
Алгебраїчним доповненнямелемента квадратної матриці називають мінор (n-1)-ого порядку, який виходить з матриці А , викреслювання елементів її i-го рядка і j-ого стовпця, помножений на .
Алгебраїчне доповнення елемента позначається як . Таким чином, 
.
Наприклад, для матриці Алгебраїчне доповнення елемента є.
По-друге, нам знадобляться дві властивості визначника, які ми розібрали в розділі обчислення визначника матриці:
На підставі цих властивостей визначника, визначення операції множення матриці на число та поняття зворотної матриці справедливо рівність 
, де - транспонована матриця, елементами якої є додатки алгебри .
Матриця 
дійсно є зворотною для матриці А , тому що виконуються рівності . Покажемо це 
Складемо алгоритм знаходження зворотної матриціз використанням рівності .
Розберемо алгоритм знаходження зворотної матриці з прикладу.
приклад.
Дано матрицю 
. Знайдіть зворотну матрицю.
Рішення.
Обчислимо визначник матриці А, розклавши його за елементами третього стовпця: 
Визначник відмінний від нуля, тому матриця А оборотна.
Знайдемо матрицю з додатків алгебри: 
Тому 
Виконаємо транспонування матриці з додатків алгебри: 
Тепер знаходимо зворотну матрицю як :
Перевіряємо отриманий результат: 
Рівності виконуються, отже, зворотна матриця знайдена правильно.
Властивості зворотної матриці.
Поняття зворотної матриці, рівність , визначення операцій над матрицями та властивості визначника матриці дозволяють обґрунтувати наступні властивості зворотної матриці:
Знаходження зворотної матриці методом Гаусса-Жордана.
Існують альтернативні методи знаходження зворотної матриці, наприклад, метод Гауса - Жордана.
Суть методу Гауса-Жордана полягає в тому, що якщо з одиничною матрицею Е провести елементарні перетворення, якими невироджена квадратна матриця А наводиться до Е, то вийде зворотна матриця.
Опишемо алгоритм приведення матриці порядку n на n , визначник якої не дорівнює нулю, до одиничної матриці методом Гаусса - Жордана. Після опису алгоритму розберемо приклад, щоб усе зрозуміло.
Спочатку перетворимо матрицю так, щоб елемент став дорівнює одиниці, а решта елементів першого стовпця стали нульовими.
Якщо , то місце першого рядка ставиться k-ая рядок (k>1 ), у якій , але в місце k-го рядка ставиться перший. (Рядок з обов'язково існує, інакше матриця А – вироджена). Після перестановки рядків отримали «нову» матрицю А, у якої .
Тепер множимо кожен елемент першого рядка на . Так приходимо до «нової» матриці А, у якої. Далі до елементів другого рядка додаємо відповідні елементи першого рядка, помножені на . До елементів третього рядка – відповідні елементи першого рядка, помножені на . І продовжуємо такий процес до n-го рядка включно. Так всі елементи першого стовпця матриці А починаючи з другого стануть нульовими.
З першим стовпцем розібралися, переходимо до другого.
Перетворимо матрицю А так, щоб елемент став дорівнює одиниці, а всі інші елементи другого стовпця, починаючи з , стали нульовими.
Якщо , то місце другого рядка ставиться k-ая рядок (k>2 ), у якій , але в місце k-го рядка ставиться друга. Так отримуємо перетворену матрицю А, у якої. Помножуємо всі елементи другого рядка на . Після цього до елементів третього рядка додаємо відповідні елементи другого рядка, помножені на . До елементів четвертого рядка – відповідні елементи другого рядка, помножені на . І продовжуємо такий процес до n-го рядка включно. Так всі елементи другого стовпця матриці А, починаючи з третього, стануть нульовими, а дорівнюватиме одиниці.
З другим стовпцем закінчили, переходимо до третього та проводимо аналогічні перетворення.
Так продовжуємо процес, поки всі елементи головної діагоналі матриці А не стануть рівними одиниці, а всі елементи нижче за головну діагональ не стануть рівними нулю.
З цього моменту починаємо зворотний перебіг методу Гаусса-Жордана. Тепер перетворимо матрицю А так, щоб усі елементи n-ого стовпця, крім , стали нульовими. Для цього до елементів (n-1)-го рядка додаємо відповідні елементи n-го рядка, помножені на . До елементів (n-2)-го рядка – відповідні елементи n-го рядка, помножені на . І продовжуємо такий процес до першого рядка включно. Так всі елементи n-ого стовпця матриці А (крім ) стануть нульовими.
З останнім стовпцем розібралися, переходимо до (n-1)-ого.
Перетворимо матрицю А так, щоб усі елементи (n-1)-ого стовпця до , стали нульовими. Для цього до елементів (n-2)-го рядка додаємо відповідні елементи (n-1)-го рядка, помножені на . До елементів (n-3)-го рядка – відповідні елементи (n-1)-го рядка, помножені на . І продовжуємо такий процес до першого рядка включно. Так всі елементи (n-1)-ого стовпця матриці А (крім ) стануть нульовими.
приклад.
Наведіть матрицю 
до одиничної за допомогою перетворень Гауса – Жордана.
Рішення.
Так як , а , то переставимо місцями перший і другий рядки матриці, отримаємо матрицю 
.
Помножимо всі елементи першого рядка матриці на: 
.
До елементів другого рядка додаємо відповідні елементи першого рядка, помножені на 0, а до елементів третього рядка додаємо відповідні елементи першого рядка, помножені на (-4) : 
Переходимо до другого стовпця.
Елемент отриманої матриці вже дорівнює одиниці, тому немає необхідності множити елементи другого рядка на . До елементів третього рядка додаємо відповідні елементи другого рядка, помножені на : 
Переходимо до третього стовпця.
Помножимо елементи третього рядка на: 
.
Одиниці на головній діагоналі матриці отримані, тож приступаємо до зворотного ходу.
До елементів другого рядка додаємо відповідні елементи третього рядка, помножені на (-2) , а до елементів першого рядка додаємо відповідні елементи третього рядка, помножені на : 
В останньому стовпці отримані необхідні нульові елементи, переходимо до передостаннього (до другого) стовпця.
До елементів першого рядка додамо відповідні елементи другого рядка, помножені на : 
.
Так проведено всі перетворення матриці та отримано одиничну матрицю.
Настав час застосувати метод Гауса - Жордана до знаходження зворотної матриці.
приклад.
Знайдіть зворотну матрицю для 
методом Гауса – Жордана.
Рішення.
У лівій частині сторінки проводитимемо перетворення Гаусса – Жордана з матрицею А , а правої частини сторінки будемо робити ті самі перетворення з одиничною матрицею.
Оскільки , а , то переставимо перший і другий рядки місцями: 
Помножимо елементи першого рядка матриці на один другий, щоб елемент став дорівнює одиниці: 
До елементів другого рядка додамо відповідні елементи першого рядка, помножені на 0, до елементів третього рядка додамо відповідні елементи першого рядка, помножені на 2, до елементів четвертого рядка – елементи першого рядка, помножені на 5: 
Так, у першому стовпці матриці А ми отримали потрібні нульові елементи. Переходимо до другого стовпця. Досягнемо того, щоб елемент став дорівнює одиниці. Для цього помножимо елементи другого рядка матриці на , не забуваємо виконувати такі самі перетворення з матрицею у правій частині: 
Далі нам потрібно зробити елементи нульовими, для цього до елементів третього рядка додаємо відповідні елементи другого рядка, помножені на 0 , а до елементів четвертого рядка додаємо відповідні елементи другого рядка, помножені на : 
Так другий стовпець матриці А перетворений на потрібний вид. Переходимо до третього стовпця. Оскільки елемент нульовий, то міняємо місцями третій і четвертий рядки: 
Помножуємо елементи третього рядка на: 
Третій стовпець матриці А набув потрібного вигляду (елемент нульовий, тому не довелося до елементів четвертого рядка додавати відповідні елементи третього рядка, помножені на ). Залишилося помножити четвертий рядок на те, щоб всі елементи головної діагоналі стали рівні одиниці: 
Прямий хід методу Гаусса-Жордана завершено, приступаємо до зворотного ходу. Отримуємо необхідні нульові елементи в останньому стовпці матриці А . Для цього до елементів третього рядка додаємо відповідні елементи останнього рядка, помножені на , до елементів другого рядка – елементи останнього рядка, помножені на , до елементів першого рядка – елементи останнього рядка, помножені на 0 : 
Отримуємо нулі в передостанньому стовпці додаванням до елементів другого та першого рядків відповідні елементи третього рядка, помножені на 0 відповідно: 
Залишилося останнє перетворення. До елементів першого рядка додаємо елементи другого рядка, помножені на : 
Отже, матриця А перетвореннями Гауса – Жордана наведена до одиничної матриці, а одинична матриця за допомогою таких самих перетворень наведена до зворотної матриці. Таким чином, у правій частині отримано зворотну матрицю. Можете провести перевірку, виконавши множення матриці на зворотну матрицю.
Відповідь:
.
Знаходження елементів зворотної матриці за допомогою розв'язання відповідних систем лінійних рівнянь алгебри.
Розглянемо ще один спосіб знаходження зворотної матриці для квадратної матриці порядку А n на n .
Цей метод заснований на розв'язанні n систем лінійних неоднорідних алгебраїчних рівнянь з n дає нам три системи лінійних неоднорідних рівнянь алгебри: 
Не розписуватимемо рішення цих систем, при необхідності звертайтеся до розділу .
З першої системи рівнянь маємо, з другої -, з третьої -. Отже, потрібна зворотна матриця має вигляд 
. Рекомендуємо перевірити, щоб переконатися в правильності результату.
Підведемо підсумок.
Ми розглянули поняття зворотної матриці, її властивості та три методи її знаходження.
У цій статті ми розповімо про матричний метод вирішення системи лінійних рівнянь алгебри, знайдемо його визначення і наведемо приклади рішення.
Визначення 1
Метод зворотної матриці - це метод, що використовується при вирішенні СЛАУ у тому випадку, якщо кількість невідомих дорівнює кількості рівнянь.
Приклад 1
Знайти рішення системи n лінійних рівнянь із n невідомими:
a 11 x 1 + a 12 x 2 +. . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 +. . . + a n n x n = b n
Матричний вид запису : А × X = B
де А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n - матриця системи.
X = x 1 x 2 ⋮ x n - стовпець невідомих,
B = b 1 b 2 ⋮ b n - стовпець вільних коефіцієнтів.
З рівняння, яке отримали, необхідно виразити X . Для цього потрібно помножити обидві частини матричного рівняння зліва на A – 1:
A - 1 × A × X = A - 1 × B .
Оскільки А - 1 × А = Е, то Е × X = А - 1 × В або X = А - 1 × В.
Зауваження
Зворотна матриця до матриці А має право на існування тільки, якщо виконується умова d e t A нера в е н н у л ю. Тому при вирішенні СЛА методом зворотної матриці, в першу чергу знаходиться d e t А.
У тому випадку, якщо d e t A нера в е н н у л ю, у системи є тільки один варіант рішення: за допомогою методу зворотної матриці. Якщо d e t А = 0 то систему не можна вирішити даним методом.
Приклад розв'язання системи лінійних рівнянь за допомогою методу зворотної матриці
Приклад 2Вирішуємо СЛАУ методом зворотної матриці:
2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2
Як вирішити?
- Записуємо систему як матричного рівняння А X = B , де
А = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X = x 1 x 2 x 3, B = 1 3 2 .
- Висловлюємо з цього рівняння X:
- Знаходимо визначник матриці А:
d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (-2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25
d e t А не дорівнює 0, отже для цієї системи підходить метод розв'язання зворотною матрицею.
- Знаходимо зворотну матрицю А – 1 за допомогою союзної матриці. Обчислюємо додатки алгебри А i j до відповідних елементів матриці А:
А 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6
А 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7
А 13 = (-1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5
А 21 = (-1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17
А 22 = (-1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1,
А 23 = (-1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10
А 31 = (-1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10
А 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5
А 33 = (-1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0.
- Записуємо союзну матрицю А * , яка складена з додатків алгебри матриці А:
А * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0
- Записуємо зворотну матрицю згідно з формулою:
A - 1 = 1 d e t A (A *) T: А - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0
- Помножуємо зворотну матрицю А - 1 на стовпець вільних членів і отримуємо рішення системи:
X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1
Відповідь : x 1 = - 1; x 2 = 0; x 3 = 1
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Вихідний за формулою: A ^ -1 = A * / detA, де A * - приєднана матриця, detA - вихідної матриці. Приєднана матриця – це транспонована матриця доповнень до елементів вихідної матриці.
Насамперед знайдіть визначник матриці, він повинен бути відмінний від нуля, так як далі визначник буде використовуватися як дільник. Нехай для прикладу дана матриця третього (що складається з трьох рядків та трьох стовпців). Як бачимо, визначник матриці не дорівнює нулю, тому існує зворотна матриця.
Знайдіть доповнення до кожного елемента матриці A. Доповненням до A називається визначник підматриці, отриманої з вихідним викресленням i-го рядка і j-го стовпця, причому цей визначник береться зі знаком. Знак визначається множенням визначника на (-1) у ступені i+j. Таким чином, наприклад, доповненням до A буде визначник, розглянутий на малюнку. Знак вийшов так: (-1) ^ (2 +1) = -1.
В результаті ви отримаєте матрицюдоповнень, тепер транспонуйте її. Транспонування – це операція, симетрична щодо головної діагоналі матриці, стовпці та рядки змінюються місцями. Таким чином ви знайшли приєднану матрицю A*.
