Слід зазначити, що цієї операції піддаються лише квадратні матриці. Рівна кількість рядків і шпальт – обов'язкова умова для зведення матриці на ступінь. У ході обчислення матриця буде помножена сама на себе потрібну кількість разів.
Даний онлайн калькулятор призначений для виконання операції зведення матриці на ступінь. Завдяки його використанню ви не тільки швидко впораєтеся з даним завданням, але й отримаєте наочне та розгорнуте уявлення про сам процес обчислення. Це допоможе краще закріпити матеріал, отриманий теоретично. Побачивши перед собою детальний алгоритм розрахунків, ви краще зрозумієте його тонкощі і згодом зможете не допускати помилок в ручному обчисленні. Крім того, ніколи не буде зайвим перевіряти ще раз свої розрахунки, і це теж найкраще здійснювати тут.
Щоб звести матрицю в ступінь онлайн, знадобиться ряд простих дій. Насамперед вкажіть розмір матриці, натиснувши на іконки «+» або «-» ліворуч від неї. Потім у полі матриці введіть числа. Також потрібно вказати ступінь, у який зводиться матриця. А далі вам залишається лише натиснути на кнопку: «Обчислити» в нижній частині поля. Отриманий результат буде достовірним та точним, якщо ви уважно та правильно ввели всі значення. Разом з ним вам буде надано детальне розшифрування рішення.
Матриця А -1 називається зворотною матрицею по відношенню до матриці А, якщо А * А -1 = Е де Е - одинична матриця n -го порядку. Зворотна матриця може існувати лише для квадратних матриць.
Призначення сервісу. За допомогою даного сервісу в онлайн режимі можна знайти додатки алгебри , транспоновану матрицю A T , союзну матрицю і зворотну матрицю. Рішення проводиться безпосередньо на сайті (в онлайн) і є безкоштовним. Результати обчислень оформляються у звіті формату Word та у форматі Excel (тобто є можливість перевірити рішення). див. приклад оформлення.
Інструкція. Для отримання рішення необхідно встановити розмірність матриці. Далі в новому діалоговому вікні заповніть матрицю A.
також Зворотня матриця методом Жордано-Гаусса
Алгоритм знаходження зворотної матриціПриклад №1. Запишемо матрицю у вигляді:
| A -1 = |
|
Особливий випадок: Зворотній, по відношенню до одиничної матриці E є одинична матриця E .
Тут ми продовжимо розпочату першу частину тему операцій над матрицями і розберемо кілька прикладів, у яких потрібно застосовувати кілька операцій відразу.
Зведення матриці на ступінь.Нехай k – ціле невід'ємне число. Для будь-якої квадратної матриці $A_(n\times n)$ маємо: $$ A^k=\underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(k \; раз) $$
У цьому вважаємо, що $A^0=E$, де $E$ - одинична матриця відповідного порядку.
Приклад №4
Задано матрицю $ A = \ left ( \ begin (array) (cc) 1 & 2 \ -1 & -3 \ end (array) \ right) $. Знайти матриці $A^2$ та $A^6$.
Відповідно до визначення $A^2=Acdot A$, тобто. для знаходження $A^2$ нам просто потрібно помножити матрицю $A$ саму себе. Операція множення матриць розглядалася в першій частині теми, тому тут просто запишемо процес вирішення без докладних пояснень:
$$ A^2=A\cdot A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \- -1 & -3 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2 +2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end(array) \right )= \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right). $$
Щоб знайти матрицю $A^6$, у нас є два варіанти. Варіант перший: банально продовжити домножувати $A^2$ на матрицю $A$:
$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$
Однак можна піти дещо простішим шляхом, використовуючи властивість асоціативності множення матриць. Розставимо дужки у виразі для $A^6$:
$$ A^6=A^2\cdot Acdot Acdot Acdot A=A^2cdot (Acdot A)cdot (Acdot A)=A^2cdot A^2 \cdot A^2. $$
Якщо при вирішенні першим способом потрібно чотири операції множення, то для другого способу - лише дві. Тому підемо другим шляхом:
$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\ cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc) -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 & -1\cdot (-4 )+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end(array) \right)\cdot \left(\ begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \end( array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc ) -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12 \cdot (-4)+41\cdot 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right). $$
Відповідь: $A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)$, $A^6=\left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right)$.
Приклад №5
Задано матриці $ A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end(array) \right)$, $ B=\left(\begin(array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end (array) \right)$, $ C=\left(\begin(array) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end(array) \ right) $. Знайти матрицю $D=2AB-3C^T+7E$.
Обчислення матриці $D$ почнемо із знаходження результату добутку $AB$. Матриці $A$ і $B$ можна перемножувати, оскільки кількість стовпців матриці $A$ дорівнює кількості рядків матриці $B$. Позначимо $ F = AB $. У цьому матриця $F$ матиме три стовпці і три рядки, тобто. буде квадратною (якщо цей висновок здається неочевидним, перегляньте опис множення матриць у першій частині цієї теми). Знайдемо матрицю $F$, обчисливши її елементи:
$$ F=A\cdot B=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ end(array) \right)\\begin(aligned) & f_(11)=1cdot (-9)+0cdot 2+(-1)cdot 0+2cdot 1=-7; \& f_(12)=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_(13)=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \f_(21)=3\cdot (-9 )+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\f_(22)=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\f_(23)=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_(31)=-1cdot (-9)+4cdot 2+(-3)cdot 0+6cdot 1=23; \\ & f_(32)=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_(33)=-1 \cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \end(aligned) $$
Отже, $F=\left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)$. Ходімо далі. Матриця $C^T$ - транспонована матриця для матриці $C$, тобто. $ C^T=\left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \-20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right) $. Що ж до матриці $E$, то це є одинична матриця. У разі порядок цієї матриці дорівнює трьом, тобто. $E=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.
У принципі, ми й надалі можемо йти покроково, але вираз, що залишився, краще розглядати цілком, не відволікаючись на допоміжні дії. По суті, нам залишилися лише операції множення матриць на число, а також операції складання та віднімання.
$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end(array) \right)-3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \ right)+7\cdot \left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right) $$
Помножимо матриці у правій частині рівності на відповідні числа (тобто на 2, 3 та 7):
$$ 2\cdot \left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)-3\ cdot \left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \-20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right)+7\cdot \left(\ begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) - 14 & 26 & -6 \ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (ccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(array) \right) $$
Виконаємо останні дії: віднімання та додавання:
$$ \left(\begin(array) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin (array) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(array) \right)=\\ =\left(\begin(array) (ccc) -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27 +0 & 14-24+7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right). $$
Завдання вирішене, $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$ .
Відповідь: $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \- -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$.
Приклад №6
Нехай $f(x)=2x^2+3x-9$ і матриця $ A=\left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right) $. Знайти значення $f(A)$.
Якщо $f(x)=2x^2+3x-9$, то під $f(A)$ розуміють матрицю:
$$ f(A)=2A^2+3A-9E. $$
Саме так визначається багаточлен від матриці. Отже, нам потрібно підставити матрицю $A$ у вираз $f(A)$ і отримати результат. Оскільки всі події були детально розібрані раніше, то тут я просто наведу рішення. Якщо процес виконання операції $A^2=A\cdot A$ для вас не зрозумілий, то раджу глянути опис множення матриць у першій частині цієї теми.
$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left( \begin(array) (cc) (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9 \left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left(\begin(array) (cc) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array) ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \end(array) \right) +\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ end(array) \right)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \ -15 & 1 \end(array) \right). $$
Відповідь: $f(A)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right)$.
Лінійна алгебра для чайників
Щоб вивчити лінійну алгебру, ви можете прочитати та вникнути в книгу І. В. Білоусова "Матриці та визначники". Однак вона написана суворою і сухою математичною мовою, яку людям із середнім розумом сприймати важко. Тому я зробив переказ найважчих для розуміння місць цієї книги, намагаючись викласти матеріал якомога зрозуміліше, максимально використовуючи для цього малюнки. Докази теорем я опустив. Зізнатися, я й сам не вникав у них. Вірю пану Білоусову! Судячи з його роботи, він грамотний та розумний математик. Завантажити його книгу можна за адресою http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ua.pdf Якщо збираєтеся вникати в мою роботу, це потрібно зробити, тому що я буду на Білоусова часто посилатися.
Почнемо з визначень. Що таке матриця? Це прямокутна таблиця чисел, функцій або виразів алгебри. Навіщо потрібні матриці? Вони дуже полегшують складні математичні розрахунки. У матриці можна виділити рядки та стовпці (рис. 1).
Рядки та стовпці нумеруються, починаючи зліва
зверху (рис. 1-1). Коли кажуть: матриця розміром m n (або m на n ), Мають на увазі під m кількість рядків, а під n кількість стовпців. Наприклад, матриця малюнку 1-1 має розмір " 4 на 3 " , а чи не " 3 на 4 " .
Дивіться на рис. 1-3, які бувають матриці. Якщо матриця складається з одного рядка, вона називається матрицею-рядком, а якщо з одного стовпця, то матрицею-стовпцем. Матриця називається квадратною n-го порядку, якщо число рядків у неї дорівнює числу стовпців і дорівнює n. Якщо всі елементи матриці дорівнюють нулю, то це нульова матриця. Квадратна матриця називається діагональною, якщо дорівнюють нулю всі її елементи, крім розташованих на головній діагоналі.
Одразу пояснюю, що таке головна діагональ. На ній номери рядків та стовпців однакові. Іде вона зліва направо зверху донизу. (Рис. 3) Елементи називаються діагональними, якщо вони розташовані на головній діагоналі. Якщо всі діагональні елементи дорівнюють одиниці (а решта нуля), матриця називається одиничною. Дві матриці A і B однакового розміру називаються рівними, якщо всі елементи однакові.
2 Операції над матрицями та їх властивостіДобутком матриці на число x є матриця того ж розміру. Щоб одержати цей твір, потрібно кожен елемент помножити на це число (рис. 4). Щоб отримати суму двох матриць однакового розміру, потрібно скласти відповідні елементи (рис. 4). Щоб отримати різницю A - B двох матриць однакового розміру, потрібно помножити матрицю B на -1 і скласти матрицю, що вийшла, з матрицею А (рис. 4). Для операцій над матрицями справедливі характеристики: А+В=В+А (властивість комутативності).
(A + B) + C = A + (B + C) (властивість асоціативності). Просто кажучи, від зміни місць доданків сума не змінюється. Для операцій над матрицями та числами справедливі властивості:
(позначимо числа літерами x та y, а матриці літерами A та B) x(yA)=(xy)A
Ці властивості аналогічні властивостям, що діють під час операцій над числами. Дивіться
приклади малюнку 5. Також дивіться приклади 2.4 - 2.6 у Белоусова на стор. 9 .
Множення двох матриць визначено лише тоді (у перекладі російською: матриці можна множити лише тоді), коли число стовпців першої матриці у творі дорівнює числу рядків другої (рис. 7, нагорі, сині дужки). Щоб краще запам'ятати: цифра 1 більше схожа на стовпець. В результаті множення виходить матриця розміром (див. рисунок 6). Щоб було простіше запам'ятати, що на що треба множити, пропоную наступний алгоритм: дивимося малюнок 7. Множимо матрицю A на матрицю B. У
матриці A два стовпці,
у матриці B два рядки – множити можна.
1) Займемося першим стовпчиком матриці B (він у неї тільки один і є). Записуємо цей стовпчик у рядок (транспонуємо
стовпчик, про транспонування трохи нижче).
2) Копіюємо цей рядок, щоб у нас вийшла матриця розміром із матрицю A.
3) Множимо елементи цієї матриці на відповідні елементи матриці A.
4) Складаємо твори в кожному рядку і отримуємо матрицю-твор з двох рядків і одного стовпця.
На малюнку 7-1 дано приклади множення матриць, які розміром більше.
1) Тут у першої матриці три стовпці, отже у другої має бути три рядки. Алгоритм рівно той же, що в попередньому прикладі, тільки тут у кожному рядку три доданки, а не два.
2) Тут у другої матриці два стовпці. Спочатку проробляємо алгоритм з першим стовпцем, потім з другим, і отримуємо матрицю "два на два".
3) Тут другий матриці стовпець складається з одного елемента, від транспонування стовпець не зміниться. І складати нічого не треба, тому що в першій матриці лише один стовпець. Виконуємо алгоритм тричі і отримуємо матрицю "три на три".
Мають місце такі характеристики:
1. Якщо сума B + C та добуток AB існують, то A (B + C) = AB + AC
2. Якщо добуток AB існує, то x (AB) = (xA) B = = A (xB).
3. Якщо твори AB та BC існують, то A (BC) = (AB) C .
Якщо добуток матриць AB існує, то добуток BA може не існувати. Якщо навіть твори AB та BA існують, то вони можуть виявитися матрицями різних розмірів.
Обидва твори AB і BA існують і є матрицями однакового розміру лише у разі квадратних матриць A і B одного й того самого порядку. Однак, навіть у цьому випадку AB може не дорівнювати BA.
Зведення в ступіньЗведення матриці в ступінь має сенс лише квадратних матриць (подумайте, чому?). Тоді цілим позитивним ступенем m матриці A є добуток m матриць, рівних A. Так само, як і в чисел. Під нульовим ступенем квадратної матриці A розуміється одинична матриця того ж порядку, що і A. Якщо забули, що таке одинична матриця, гляньте на рис. 3.
Так само, як і у чисел, мають місце такі співвідношення:
A mA k=A m+k (A m)k=A mk
Дивіться приклади у Білоусова на сторінці 20.
Транспонування матрицьТранспонування це перетворення матриці A в матрицю AT ,
при якому рядки матриці записуються в стовпці AT зі збереженням порядку. (Рис. 8). Можна сказати інакше:
стовпці матриці A записуються в рядки матриці AT зі збереженням порядку. Зверніть увагу, як при транспонуванні змінюється розмір матриці, тобто кількість рядків та стовпців. Також зверніть увагу, що елементи на першому рядку, першому стовпці та останньому рядку, останньому стовпці залишаються на місці.
Мають місце такі властивості: (AT) T = A (транспонуй
матрицю два рази - отримаєш таку саму матрицю)
(xA)T =xAT (під x мається на увазі число, під A, зрозуміло, матриця) (якщо треба матрицю помножити на число і транспонувати, можеш спочатку помножити, потім транспонувати, а можеш навпаки)
(A + B) T = AT + BT (AB) T = BT AT
Симетричні та антисиметричні матриціНа малюнку 9 зверху ліворуч зображена симетрична матриця. Її елементи, симетричні щодо головної діагоналі, рівні. А тепер визначення: Квадратна матриця
A називається симетричною, якщо AT = A. Тобто симетрична матриця під час транспонування не змінюється. Зокрема, симетричною є будь-яка діагональна матриця. (Таку матрицю зображено на рис. 2).
Тепер подивіться антисиметричну матрицю (рис. 9, внизу). Чим вона відрізняється від симетричної? Зверніть увагу, що її діагональні елементи рівні нулю. У антисиметричних матриць всі діагональні елементи дорівнюють нулю. Подумайте чому? Визначення: Квадратна матриця A називається
антисиметричною, якщо AT = -A. Відзначимо деякі властивості операцій над симетричними та антисиметричними
матрицями. 1. Якщо A і B – симетричні (антисиметричні) матриці, то і A + B – симетрична (антисиметрична) матриця.
2.Якщо A - симетрична (антисиметрична) матриця, то xA також є симетричною (антисиметричною) матрицею. (Справді, якщо помножити матриці з малюнка 9 на яке-небудь число, симетрія все одно збережеться)
3. Добуток AB двох симетричних або двох антисиметричних матриць A і B є матрицею симетричною при AB = BA і антисиметричною при AB = -BA.
4. Якщо A – симетрична матриця, то і A m (m = 1, 2, 3, . . .) – симетрична матриця. Якщо A
Антисиметрична матриця, то Am (m = 1, 2, 3, . . .) є симетричною матрицею при парному m і антисиметричною - при непарному.
5. Довільну квадратну матрицю A можна подати у вигляді суми двох матриць. (назвемо ці матриці, наприклад A(s) та A(a) )
A=A(s)+A(a)
У липні 2020 року NASA запускає експедицію на Марс. Космічний апарат доставить на Марс електронний носій із іменами всіх зареєстрованих учасників експедиції.
Якщо цей пост вирішив вашу проблему або просто сподобався вам, поділіться посиланням на нього зі своїми друзями у соціальних мережах.
Один з цих варіантів коду потрібно скопіювати і вставити в код вашої веб-сторінки, бажано між тегами або відразу після тега . За першим варіантом MathJax підвантажується швидше і менше гальмує сторінку. Натомість другий варіант автоматично відстежує та підвантажує свіжі версії MathJax. Якщо вставити перший код, його потрібно буде періодично оновлювати. Якщо вставити другий код, то сторінки завантажуватимуться повільніше, зате вам не потрібно буде постійно стежити за оновленнями MathJax.
Підключити MathJax найпростіше в Blogger або WordPress: в панелі керування сайтом додайте віджет, призначений для вставки стороннього коду JavaScript, скопіюйте в нього перший або другий варіант завантаженого коду, представленого вище, і розмістіть віджет ближче до початку шаблону (до речі, це зовсім не обов'язково , оскільки скрипт MathJax завантажується асинхронно). От і все. Тепер вивчіть синтаксис розмітки MathML, LaTeX та ASCIIMathML, і ви готові вставляти математичні формули на веб-сторінки свого сайту.
Черговий переддень Нового Року... морозна погода та сніжинки на шибці... Все це спонукало мене знову написати про... фрактали, і про те, що знає про це Вольфрам Альфа. Із цього приводу є цікава стаття, в якій є приклади двовимірних фрактальних структур. Тут же ми розглянемо складніші приклади тривимірних фракталів.
Фрактал можна наочно уявити (описати), як геометричну фігуру або тіло (маючи на увазі, що й те й інше є безліч, в даному випадку, безліч точок), деталі якої мають таку форму, як і сама вихідна фігура. Тобто це самоподібна структура, розглядаючи деталі якої при збільшенні, ми бачитимемо ту саму форму, що і без збільшення. Тоді як у випадку звичайної геометричної фігури (не фрактала), при збільшенні ми побачимо деталі, які мають простішу форму, ніж вихідна фігура. Наприклад, при досить великому збільшенні частина еліпса виглядає як відрізок прямий. З фракталами такого не відбувається: за будь-якого їх збільшення ми знову побачимо ту ж саму складну форму, яка з кожним збільшенням повторюватиметься знову і знову.
Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot), основоположник науки про фрактал, у своїй статті Фрактали і мистецтво в ім'я науки написав: "Фрактали - це геометричні форми, які однаково складні у своїх деталях, як і у своїй загальній формі. Тобто якщо частина фракталу буде збільшена до розміру цілого, вона виглядатиме, як ціле, або точно, або, можливо, з невеликою деформацією".