Нехай лінійний оператор Адіє в евклідовому просторі E n і перетворює цей простір саме в себе.
Введемо визначення: оператор А* назвемо сполученим оператором Аякщо для будь-яких двох векторів x,yз Е n виконується рівність скалярних творів виду:
(Ax,y) = (x,A*y)
Ще визначення: лінійний оператор називається самосполученим, якщо він дорівнює своєму сполученому оператору, тобто справедлива рівність:
(Ax,y) = (x,Ay)
або, зокрема ( Ax,x) = (x,Ax).
Самосполучений оператор має деякі властивості. Згадаємо деякі з них:
Власні числа самосполученого оператора – речові (без доказу);
Власні вектори самосполученого оператора ортогональні. Справді, якщо x 1і x 2– власні вектори, а 1 та 2 – їхні власні числа, то: Ax 1 = 1 x; Ax 2 = 2 x; (Ax 1 ,x 2) = (x 1 ,Ax 2), або 1 ( x 1, x 2) = 2 (x 1, x 2). Оскільки 1 та 2 різні, то звідси ( x 1, x 2) = 0, що потрібно було довести.
У евклідовому просторі існує ортонормований базис із власних векторів самосполученого оператора А. Т. е. матрицю самосполученого оператора завжди можна привести до діагонального вигляду в деякому ортонормованому базисі, складеному з власних векторів самосполученого оператора.
Ще одне визначення: назвемо самосполучений оператор, що діє в евклідовому просторі симетричнимоператором. Розглянемо матрицю симетричного оператора. Доведемо твердження:щоб оператор був симетричним, необхідно і достатньо, щоб в ортонормованому базисі його матриця була б симетричною.
Нехай А- Симетричний оператор, тобто:
(Ax,y) = (x,Ay)
Якщо А- матриця оператора А, а xі y- Деякі вектори, то запишемо:
координати xі yу деякому ортонормованому базисі
Тоді: ( x,y) = X T Y = Y T X і маємо ( Ax,y) = (AX) T Y = X T A T Y
(x,Ay) = X T (AY) = X T AY,
тобто. X T A T Y = X T AY. При довільних матрицях-стовпцях X,Y ця рівність можлива лише за АТ = А, а це означає, що матриця А – симетрична.
Розглянемо деякі приклади лінійних операторів
Оператор проектування.Нехай потрібно знайти матрицю лінійного оператора, який здійснює проектування тривимірного простору на координатну вісь е 1 у базисі е 1 , е 2 , е 3 . Матриця лінійного оператора – це матриця, у стовпцях якої мають стояти образи базисних векторів е 1 = (1,0,0), е 2 = (0,1,0), е 3 = (0,0,1). Ці образи, очевидно, є: Ае 1 = (1,0,0)
Ае 2 = (0,0,0)
Ае 3 = (0,0,0)
Отже, у базисі е 1
,
е 2
,
е 3
матриця шуканого лінійного оператора матиме вигляд: 
Знайдемо ядро цього оператора. Відповідно до визначення ядро – це безліч векторів х, для яких АХ = 0. Або
Т. е. ядро оператора становить безліч векторів, що лежать у площині е 1 , е 2 . Розмірність ядра дорівнює n - rangA = 2.
Багато образів цього оператора – це, очевидно, безліч векторів, колінеарних. е 1 . Розмірність простору образів дорівнює рангу лінійного оператора і дорівнює 1 що менше розмірності простору прообразів. Т. е. оператор А- Вироджений. Матриця А теж вироджена.
Ще приклад: знайти матрицю лінійного оператора, що здійснює у просторі V 3 (базис i, j, k) лінійне перетворення – симетрію щодо початку координат.
Маємо: Ai = -i
Т. е. шукана матриця 
Розглянемо лінійне перетворення – симетрію щодо площини y = x.
Aj = i(1,0,0)
Ak = k (0,0,1)
Матриця оператора буде:
Ще приклад - вже знайома матриця, яка зв'язує координати вектора при повороті осей координат. Назвемо оператор, який здійснює поворот осей координат - оператор повороту. Допустимо, здійснюється поворот на кут :
Ai' = cos i+ sin j
Aj' = -sin i+ cos j
Матриця оператора повороту:
Ai ‘ Aj ‘
Згадаймо формули перетворення координат точки при зміні базису – заміна координат на площині при зміні базису:
Е 
ти формули можна розглядати двояко. Раніше ми розглядали ці формули так, що крапка стоїть на місці, повертається координатна система. Але можна розглядати і так, що координатна система залишається незмінною, а переміщується точка з положення М * в положення М. Координати точки М і М * визначені в тій самій координатній системі.
В 
се сказане дозволяє підійти до наступного завдання, яке доводиться вирішувати програмістам, які займаються графікою на ЕОМ. Нехай необхідно на екрані ЕОМ здійснити поворот деякої плоскої фігури (наприклад трикутника) щодо точки О з координатами (a,b) на деякий кут . Поворот координат описується формулами:
Паралельний перенесення забезпечує співвідношення:
Для того, щоб вирішити таке завдання, зазвичай застосовують штучний прийом: вводять так однорідні координати точки на площині XOY: (x, y, 1). Тоді матриця, що здійснює паралельне перенесення, може бути записана:
Дійсно:
А матриця повороту:
Завдання, що розглядається, може бути вирішено в три кроки:
1 й крок: паралельне перенесення на вектор А(-а, -b) для суміщення центру повороту з початком координат:
2 й крок: поворот на кут :
3 й крок: паралельне перенесення на вектор А(а, b) для повернення центру повороту в колишнє положення:
Шукане лінійне перетворення в матричному вигляді виглядатиме:
(**)
1. Оператори проектування та ідепотенти кільця
Нехай векторний простір V дорівнює прямій сумі підпросторів W та L: . По визначенню прямий суми це, кожен вектор vV однозначно представимо як v=w+l, wW. lL.
Визначення 1.Якщо, так що v=w+l, то відображення, зіставляє кожному вектору vV його компоненту (проекцію) wW, називається проектором простору V на простір W. називають також оператором проектування або проекційним оператором.
Вочевидь, якщо wW, то (w)=w. Звідси випливає, що має таку чудову властивість 2 =Р.
Визначення 2.Елемент е кільця K називається ідемпотентом (тобто подібним до одиниці), якщо е 2 =е.
У кільці цілих чисел є лише два ідепотенти: 1 і 0. Інша справа в кільці матриць. Наприклад, матриці, - демопотенти. Матриці операторів проектування також демопотенти. Відповідні їм оператори називаються ідемпотентними операторами.
Розглянемо тепер пряму суму n підпросторів простору V:
Тоді аналогічно випадку прямої суми двох підпросторів можемо отримати n операторів проектування, …, . Вони мають властивість ==0 при ij.
Визначення 3.Ідемпотенти e i та e j (ij) називаються ортогональними, якщо e i e j = e j e i =0. Отже, і - ортогональні ідепотенти.
З того, що IV=V, і правила складення лінійних операторів випливає, що
Це розкладання називається розкладанням одиниці у сумі ідемпотентів.
Визначення 4.Ідемпотент е називається мінімальним, якщо його не можна у вигляді суми ідемпотентів, відмінних від е і 0.
2. Канонічне розкладання уявлення
Визначення 5.Канонічним розкладанням уявлення Т(g) називається його розкладання виду Т(g)=n 1 T 1 (g)+ n 2 T 2 (g)+…+ nt T t (g), в якому еквівалентні неприведені уявлення Т i (g) ) об'єднані разом, причому ni - кратність входження неприведеного уявлення T i (g) у розкладання T(g).
Теорема 1.Канонічне розкладання подання визначається за допомогою проекційного оператора виду
I=1, 2, …, t, (31)
де | G | - Порядок групи G; m i - ступеня уявлень T i (g), де i=1, 2, …, t; i (g), i = 1, 2, …, t - характери неприведених уявлень T i (g). При цьому m i визначається за формулою
3. Проекційні оператори, пов'язані з матрицями ненаведених уявлень груп
За допомогою формул (31) можна отримати лише канонічне розкладання уявлення. У випадку, треба скористатися матрицями неприводимых уявлень, які дозволяють побудувати відповідні оператори проектування.
Теорема 2.Нехай - матричні елементи ненавмисного уявлення T r (g) групи G. Оператор виду
є оператором проектування та називається оператором Вігнера. У виразі (33) m r - розмірність уявлення T r (g).
4. Розкладання подання на пряму суму неприведених уявлень за допомогою оператора Вігнера
Позначимо через М модуль, пов'язаний з поданням Т. Нехай неприведеним уявленням Т 1 , Т 2 , …, Т t з канонічного розкладання уявлення згідно з методом, описаним раніше (див. § 4), відповідають підмодулі, що не приводяться М 1 , М 2 , …, М t. Розкладання модуля М виду
називається канонічним розкладанням модуля М. Позначимо niMi = Li так, що
Неприведені підмодулі модулів L i позначимо
; i=1, 2, …, t. (36)
Ці модулі необхідно знайти.
Припустимо, що завдання вирішено. Отже, у кожному з модмодулів Mi (s) (s=1, 2, …, ni) знайдена ортонормована база, в якій оператор представлений матрицею Т i (g) неприведеного представлення Т, отриманого в результаті дії (за правилом § 3 ) оператора на базу за формулою
J=1, 2, …, m i . (37)
У цьому вся виразі вважатимуться, що m i - розмірність неприводимого уявлення T i (i=1, 2, …, t), причому - елементи бази з номером g з неприводимого підмодуля M i . Розмістимо тепер елементи бази L i за фіксованого i наступним чином:
Справа у виразі (38) розташовані бази модулів Mi (1), Mi (2), …, . Якщо ж i змінювати від 1 до t, отримаємо шукану базу всього модуля М, що складається з m 1 n 1 + m 2 n 2 + ... + m t n t елементів.
Розглянемо тепер оператор
що діє у модулі М (j фіксовано). Відповідно до теореми 2, - оператор проектування. Тому цей оператор залишає без зміни всі базисні елементи (s=1, 2, …, ni), розташовані в j-му стовпці виразу (38), і звертає в нуль всі інші вектори бази. Позначимо через M ij векторний простір, натягнутий на ортогональну систему векторів, що стоять у j-му стовпці виразу (38). Тоді можна сказати, що оператор проектування на простір M ij . Оператор відомий, так як відомі діагональні елементи матриць ненаведених уявлень груп, а також оператор T(g).
Тепер можна вирішити наше завдання.
Виберемо n i довільних базисних векторів M: і подіюємо ними оператором проектування. Отримані вектори лежать у просторі M ij і є лінійно незалежними. Вони не обов'язково ортогональні та нормовані. Ортонормуємо отриману систему векторів згідно з правилом § 2. Отриману систему векторів позначимо e ij (s) відповідно до позначень, прийнятих у припущенні, що завдання вирішено. Як позначалося, тут j фіксовано, а s=1, 2, …, n i . Позначимо e if (s) (f=1, 2, …, j-1, j+1, …, mi), інші елементи бази модуля M i розмірності n i mi . Позначимо через наступний оператор:
Зі співвідношень ортогональності для матриць ненаведених уявлень випливає, що цей оператор дає можливість отримати e ig s за формулою
I = 1, 2, ..., t. (41)
Все сказане можна висловити як наступного алгоритму.
Для того, щоб знайти базу модуля М з елементів, що перетворюються за неприведеними уявленнями Т i , що містяться в поданні Т, пов'язаному з модулем М, необхідно:
За формулою (32) визначити розмірності підпросторів М ij , відповідних j-компоненті неприведеного уявлення T i .
Знайти за допомогою оператора проектування (39) всі підпростори M ij .
У кожному підпросторі M ij вибрати довільну ортонормовану базу.
Використовуючи формулу (41), знайти всі елементи бази, що перетворюються на інші компоненти неприведеного уявлення Т i .
Бра- та кет- вектори Дірака чудові тим, що за допомогою них можна записати різні типи творів.
Добуток бра-вектора на кет- вектор називається скалярним твором або внутрішнім твором. По суті, це стандартний матричний твір за правилом «рядок на стовпець». Результатом є комплексне число.
Твір кет-вектора в інший кет-вектор дає не число, а інший кет-вектор. Він теж представляється вектор-стовпцем, але з кількістю компонент дорівнює добутку розмірностей вихідних векторів. Такий твір називається тензорним твором чи твором Кронекера.
Аналогічно для твору двох бра-векторів. Отримаємо велику вектор-рядок.
Останнім залишається варіант з перемноженням кет-вектор на бра-вектор. Тобто необхідно перемножити стовпець на рядок. Такий твір також називається тензорним чи зовнішнім твором. У результаті виходить матриця, тобто оператор.
Розглянемо приклад використання таких операторів.
Візьмемо якийсь довільний ермітів оператор А. Згідно з постулатами йому відповідає якась величина, що спостерігається. Власні вектори ермітового оператора утворюють базис. Найбільш загальний вектор стану можна розкласти за базисом. Тобто уявити сумою базисних векторів з певними комплексними коефіцієнтами. Цей факт відомий як принцип суперпозиції. Перепишемо вираз через знак суми.
Але коефіцієнти у розкладанні вектора по базисним є амплітуди ймовірності, тобто скалярний добуток стану стану з відповідним базисним вектором. Запишемо цю амплітуду праворуч від вектора. Вираз під знаком суми можна як множення кет-вектора на комплексне число – амплітуду ймовірності. З іншого боку, його можна розглядати як добуток матриці, отриманої множенням кет-вектора на бра-вектор, і вихідного кет-вектора. Кет-вектор можна винести з-під знаку суми за дужку. Справа і зліва знака рівності виявиться той самий вектор псі. Це означає, що вся сума нічого не робить з вектором і дорівнює дорівнює одиничній матриці.
Ця формула сама по собі дуже корисна при маніпулюванні виразами з творами бра-і кет- векторів. Адже одиницю можна вставити у будь-яке місце твору.
Подивимося що ж являють собою матриці, що входять у суму і одержувані тензорним твором базового кет-вектора зі своїм ермітовим сполученням. Знову ж таки для наочності проведемо аналогію зі звичайними векторами у тривимірному просторі.
Виберемо поодинокі базисні вектори ex ey і ez, що збігаються за напрямком з осями координат. Тензорне твір вектора ex на свою пару буде представлятися наступною матрицею. Візьмемо довільний вектор v. Що буде при множенні цієї матриці на вектор? Ця матриця легко обнулила всі компоненти вектора крім х. У результаті вийшов вектор, спрямований вздовж осі х, тобто проекція вихідного вектора базисний вектор ex. Виходить, наша матриця є не що інше як оператор проекції.
Два оператори проекції, що залишилися, на базисні вектори ey і ez видаються схожими матрицями і виконують аналогічну функцію - обнуляють всі крім однієї компоненти вектора.
Що ж вийде під час підсумовування операторів проекції? Складемо, наприклад, оператори Px і Py. Така матриця обнулюватиме лише z-компоненту вектора. Підсумковий вектор завжди лежатиме в площині x-y. Тобто ми маємо оператора проекції на площину x-y.
Тепер зрозуміло, чому сума всіх операторів проекції на базисні вектори дорівнює одиничній матриці. У нашому прикладі ми отримаємо проекцію тривимірного вектора на тривимірне простір. Поодинока матриця по суті і є проектором вектора самого на себе.
Виходить завдання оператора проекції еквівалентне завдання підпростору вихідного простору. У даному випадку тривимірного евклідового простору це може бути одновимірна лінія, що задається одним вектором або двовимірна площина, що задається парою векторів.
Повертаючись до квантової механіки з її векторами стану в Гільбертовому просторі, можна сказати, що оператори проекції задають підпростір і проектують вектор стану в цей підпростір Гільберта.
Наведемо основні характеристики операторів проекції.
- Послідовне застосування одного і того ж оператора проекції еквівалентно одному оператору проекції. Зазвичай це властивість записують як P 2 =P. Справді, якщо перший оператор спроектував вектор у підпростір, другий уже нічого з ним не зробить. Адже вектор уже перебуватиме в цьому підпросторі.
- Оператори проекції є ермітовими операторами, відповідно в квантовій механіці їм відповідають величини, що спостерігаються.
- Власні значення операторів проекції будь-якої розмірності це лише одиниця і нуль. Знаходиться вектор у підпросторі або немає. Через таку бінарність, що описується оператором проекції спостерігається величину можна сформулювати у вигляді питання, відповіддю на яке буде «так» або «ні». Наприклад, чи направлений спін першого електрона у синглетному стані вгору по осі z? Такому питанню можна поставити у відповідність оператор проекції. Квантова механіка дозволяє порахувати ймовірності відповіді «так» і відповіді «ні».
Надалі ми ще говоритимемо про операторів проекції.
Матриця лінійного оператора
Нехай - лінійний оператор, причому простори і кінцеві, і .
Задамо довільно базиси: 
в і 
в.
Поставимо завдання: для довільного вектора обчислити координати вектора 
у базисі.
Вводячи векторну матрицю-рядок, що складається з образів векторів базису, отримаємо:
Зауважимо, що остання у цьому ланцюжку рівність має місце саме через лінійність оператора .
Розкладемо систему векторів по базису:
,
де стовпець матриці є стовпець координат вектора в базисі .
Остаточно матимемо:
Отже, для того, щоб обчислити стовпець координат вектора у вибраному базисі другого простору, достатньо помножити стовпець координат вектора у вибраному базисі першого простору зліва на матрицю, що складається зі стовпців координат образів векторів базисних першого простору в базисі другого простору.
Матриця називається матрицею лінійного оператора в заданій парі базисів.
Матрицю лінійного оператора умовимося позначати тією ж літерою, що й сам оператор, але без курсиву. Іноді будемо використовувати і таке позначення: 
, часто опускаючи посилання на базиси (якщо це не шкодить точності).
Для лінійного перетворення (тобто коли 
) можна говорити про його матриці в даному базисі.
Як приклад розглянемо матрицю оператора проектування прикладу п. 1.7 (вважаючи його перетворенням простору геометричних векторів). Як базис виберемо звичайний базис.
Отже, матриця оператора проектування на площину в базисі має вигляд:
Зауважимо, що якби ми розглядали оператор проектування як відображення у , розуміючи під останнім простір всіх геометричних векторів, що лежать у площині , то, беручи в якості базису базис , отримаємо вже таку матрицю:
Розглядаючи довільну матрицю розміру як лінійний оператор, що відображає арифметичне простір в арифметичний простір , і вибираючи в кожному з цих просторів канонічний базис, отримаємо, що матриця даного лінійного оператора в такій парі базисів є та сама матриця, яка визначає даний оператор - тобто, даному випадку матриця і лінійний оператор є те саме (точно так само, як при виборі канонічного базису в арифметичному векторному просторі вектор і стовпець його координат в даному базисі можна ототожнити). Але було б грубою помилкою ототожнювати вектор як такийі лінійний оператор як такийз їх уявленням у тому чи іншому базисі (як стовпця чи матриці). І вектор, і лінійний оператор суть геометричні, інваріантні об'єкти, обумовлені незалежно від будь-якого базису. Так, коли ми, наприклад, малюємо геометричний вектор як спрямований відрізок, він визначений зовсім інваріантно, тобто. нам, коли ми його малюємо, немає жодного стосунку до базисів, систем координат тощо, і ми можемо їм оперувати чисто геометрично. Інша річ, що для зручностіцього оперування, для зручності обчислень з векторами, ми будуємо певний апарат алгебри, вводячи системи координат, базиси і пов'язану з ними чисто алгебраїчну техніку обчислень над векторами. Образно кажучи, вектор, як голий геометричний об'єкт, одягається в різні координатні уявлення в залежності від вибору базису. Але людина може надіти на себе найрізноманітнішу сукню, від чого її суть як людини не змінюється, але вірно й те, що не будь-яка сукня підходить до тієї чи іншої ситуації (на пляж не підеш у концертному фраку), та й голою теж не скрізь пройдешся. Так і не будь-який базис годиться для вирішення цього завдання, так само як і чисто геометричне рішення може виявитися занадто складним. Ми побачимо в нашому курсі, як для вирішення такої, здавалося б, чисто геометричної задачі, як класифікація поверхонь другого порядку, будується досить складна та красива теорія алгебри.
Розуміння відмінності геометричного об'єкта з його у тому чи іншому базисі становить основу сприйняття лінійної алгебри. І геометричним об'єктом не повинен бути саме геометричний вектор. Так, якщо ми поставимо арифметичний вектор 
, то його можна ототожнити зі стовпцем його координат у канонічному базисі 
, Бо (див. перший семестр):
Але введемо інший базис у , що складається з векторів і (перевірте, що це дійсно базис!) І, використовуючи матрицю переходу, перерахуємо координати нашого вектора:
Ми отримали зовсім інший стовпець, але він представляє в іншому базисі той самий арифметичний вектор.
Сказане про вектори можна застосувати і до лінійних операторів. Те, чим вектора є його координатне уявлення, тим лінійного оператора є його матриця.
Отже (повторимо ще раз), потрібно чітко розмежовувати власними силами інваріантні, геометричні, об'єкти, які вектор і лінійний оператор, і їх уявлення у тому чи іншому базисі (Йдеться, зрозуміло, йде про кінцеві лінійні простори).
Займемося тепер завданням перетворення матриці лінійного оператора при переході від однієї пари базисів до іншої.
Нехай 
-
нова пара базисів у відповідності.
Тоді (позначаючи матрицю оператора в парі «штрихованих» базисів) отримаємо:
Але з іншого боку,
,
звідки, через єдиність розкладання вектора за базисом
,
Для лінійного перетворення формула набуває більш простого вигляду:
Матриці та зв'язані таким співвідношенням називаються подібними.
Легко бачити, що детермінанти таких матриць збігаються.
Введемо тепер поняття рангу лінійного оператора.
За визначенням це число, що дорівнює розмірності образу даного оператора:
Доведемо таке важливе твердження:
Твердження 1. 10Ранг лінійного оператора збігається з рангом його матриці незалежно від вибору базисів.
Доказ. Насамперед, зауважимо, що образ лінійного оператора є лінійна оболонка системи, де - базис у просторі.
Справді,
які б не були числа , але це означає, що є зазначеної лінійної оболонкою.
Розмірність лінійної оболонки, як відомо (див. п. 1.2) збігається з рангом відповідної системи векторів.
Ми раніше довели (п. 1.3), якщо система векторів розкладена по деякому базису як
то за умови незалежності системи стовпці матриці лінійно незалежні. Можна довести і сильніше твердження (цей доказ ми опускаємо): ранг системи дорівнює рангу матриці причому цей результат не залежить від вибору базису, так як множення матриці на невироджену матрицю переходу не змінює її рангу.
Оскільки
,
Оскільки, зрозуміло, ранги подібних матриць збігаються, цей результат залежить від вибору конкретного базису.
Твердження доведено.
Для лінійного перетвореннядеякого кінцевого лінійного простору ми можемо запровадити і поняття детермінанта даного перетворенняяк детермінанта його матриці в довільно фіксованому базисі, бо матриці лінійного перетворення на різних базисах подібні і мають, отже, однакові детермінанти.
Використовуючи поняття матриці лінійного оператора, доведемо наступне важливе співвідношення: для будь-якого лінійного перетворення -мірного лінійного простору
Виберемо довільно базис у просторі. Тоді ядро складається з тих і тих векторів, стовпці координат яких суть рішення однорідної системи
а саме вектор тоді і тільки тоді, коли стовпець є рішення системи (1).
Інакше кажучи, має місце ізоморфізм ядра на простір рішень системи (1). Отже, розмірності цих просторів збігаються. Але розмірність простору рішень системи (1) дорівнює, як ми знаємо, , де - ранг матриці . Але ми щойно довели, що