Як перетворити схему в еквівалентну. Еквівалентний опір. Перетворення схем електричних ланцюгів

2. Метод перетворення (згортки) схеми

Якщо схема електричного кола містить тільки одне джерело енергії ( E або J), То пасивна частина схеми може бути перетворена (згорнута) до одного еквівалентному еле-менту RЕ (рис. 7).

Згортка схеми починається з найвіддаленіших від джерела гілок, про-водиться в не-скільки етапів до досягнення повної згортки. Після повної згортки схеми визначається струм джерела за законом Ома:. Токи в ос-тальних елементах вихідної схеми знаходяться в процесі про-ратної розгортки схеми. Такий метод розрахунку струмів отримав назву методу послідовно-ного перетворення (згортки) схеми.
При застосуванні даного методу можливі наступні види преобразо-ваний.
1) послідовне перетворення полягає в заміні декількох елементів, включених послідовно, одним еквівалентним (рис. 8). Нескладно довести, що при цьому справедливі наступні співвідношення:
і

2) паралельне перетворення полягає в заміні декількох елементів-тов, вклю-чен-них паралельно, одним еквівалентним (рис. 9). Нескладно довести, що при цьому справедливі наступні співвідношення:
і
Для двох елементів: і


3) Взаємне перетворення схем зірка-треугольнік (Рис. 10) метушні-кає при згортку складних схем.
Умовою еквівалентності двох схем є рівності для них струмів ( I1, I2, I3), на-напружень ( U12, U23, U31) і вхідних опорів ( R12, R23, R31) і відповідно вхідних провідностей ( G12, G23, G31).
Прирівняємо вхідні опору для обох схем з боку двох довільних гілок при відключеною третин (рис. 10):

(1)
(2)
(3)

Складемо почленно рівняння (1) і (3) і віднімемо з суми рівняння (2), отримаємо:
, по аналогії: , .
Прирівняємо вхідні провідності для обох схем з боку вироб-вільної вер-шини і двох інших вершин, замкнутих накоротко (рис. 11):
(4)
(5)
(6)
Складемо почленно рівняння (4) і (5) і віднімемо рівняння (6), отримаємо:
, по аналогії: , .
В останніх рівняннях замінимо провідності на відповідні їм опираючись-ня, отримаємо:
; ; .

При наявності повної симетрії співвідношення між параметрами еквівалентні-валентних схем становить :.
4) Заміна паралельних гілок еквівалентної гілкою (Рис. 12) здійсню-ється з-гласно теоремі про еквівалентному генераторі.

Сутність еквівалентних перетворень полягає в тому, що частина електричного кола замінюється більш простою схемою: або з меншою кількістю гілок і опорів, або з меншим числом вузлів або контурів. перетворення вважається еквівалентним, Якщо струми і напруги непреобразованной частини схеми залишаються колишніми, тобто однаковими у вихідній і перетвореної схемах. Самі по собі еквівалентні перетворення не є методом розрахунку, однак сприяють спрощенню розрахунків.

Часто використовуються такі еквівалентні перетворення:

1. Заміна послідовного з'єднання опорів r 1 , r 2 , … r n одним еквівалентним r Е= .

2. Заміна паралельного з'єднання пасивних гілок з проводимостями g 1 , g 2 , … g nоднієї еквівалентної g Е= .

3. Заміна змішаного соеди-вати опорів рис. 1.35, а одним еквівалентним (рис. 1.35, б), де r Е = r 1 +, що випливає з поетапного застосування п.2 і п.1 справжніх рекомендацій.

4. Еквівалентні перетворення пасивних трёхполюсніков - трикутника (рис. 1.36, а) і зірки (ріс.1.36, б). При цьому опору еквівалентного трикутника

r 12 = r 1 + r 2 + , r 23 = r 2 + r 3 + , r 31 = r 3 + r 1 + ,

а опору еквівалентної зірки r 1 = , r 2 = , r 3 = ,

5. При подальшому вивченні курсу ТОЕ будуть представлені формули еквівалентних замін пасивних чотириполюсників Т- і П-схемами, замін ланцюгів з розподіленими параметрами еквівалентними четирёхполюсні-ками, усунення індуктивного зв'язку в ланцюгах і ін.

Особливо зручно користуватися методом еквівалентних перетворень при розрахунку вхідних і взаємних опорів або вхідних і взаємних провідностей схем, коефіцієнтів передачі напруг і струмів, що надходять на вхід схеми при передачі сигналу в навантаження, коли на схему впливає тільки одне джерело енергії.

Рішення

Перевіряємо умову рівноваги моста:

r 2 × r 3 \u003d 40 × 60 \u003d 2400; r 1 × r 4 \u003d 20 × 30 \u003d 600.

Так як r 1 × r 4 ¹ r 2 × r 3, то міст неврівноважений, все його струми відмінні від нуля.

Замінимо трикутник опорів r 2 -r 4 -r 5 еквівалентним з'єднанням в зірку, отримаємо схему рис. 1.37, для якої

r a = = = 9 Ом,

r b = = = 12 Ом,

r c = = = 12 Ом.

Вхідний опір схеми по відношенню до затискачів джерела ЕРС

r вх= r+ + r b=

10 + + 12 =

43,86 Ом.

Вхідний струм мостової схеми

I 0 = = = 9,12 А.

Токи паралельних гілок схеми рис. 1.37

I 1 = I 0 × \u003d 9,12 × \u003d 6,23 А,

I 2 = I 0 × \u003d 9,12 × \u003d 2,89 А.

напруга U 43 = I 1 × r з + I 0 × r b \u003d 6,23 × 12 + 9,12 × 12 \u003d 184,2 B.

Повертаємося до вихідної схемою і розраховуємо струми трикутника опорів: I 2 = = = 4,61 А,

I 4 = I 0 – I 2 = 9,12 – 4,61 = 4,51 А,

I 5 = I 2 – I 1 = 4,61 – 6,23 = -1,62 А.

ЗАВДАННЯ1.36. Визначити струми в схемі рис. 1.38, а, використовуючи еквівалент-лентние перетворення, якщо вхідна напруга схеми U вх = 400 В, А пара-метри r 1 = 10 Ом, r 2 = 60 Ом, r 3 = 20 Ом, r 4 = 100 Ом, Опір навантаженням-ки, підключеної на виході схеми (вихід чотириполюсника), r 5 = 50 Ом.

Рішення. Варіант 1

Замінимо змішане з'єднання опорів r 3 , r 4 , r 5 еквівалентним опором (рис. 1.38, б) r ac:

r ac = r 3 + = 20 + = 53,33 Ом.

Вхідний опір схеми:

r вх = r 1 + = 10 + = 38,24 Ом.

Вхідний струм схеми: I вх = I 1 = = = 10,46 А.

Напруга на розгалуженні схеми рис. 1.38, б:

U ad = I 1 × \u003d 10,46 × \u003d 295,4 B,

а струми I 2 = = = 4,92 А, I 3 = = = 5,54 А.

Напруга на розгалуженні правої ділянки схеми рис. 1.38, а зі змішаним з'єднанням U bc \u003d U вих \u003d I 3 × \u003d 5,54 × \u003d 184,6 B,

а струми паралельних гілок I 4 = = = 1,85 А,

I 5 = I вих \u003d = = 3,69 А.

Коефіцієнт передачі напруги k U= = = 0,462.

Коефіцієнт передачі струму k I= = = 0,353.

Рішення. Варіант 2

Схеми з одним джерелом живлення (це має місце завжди при изуче-ванні питань, пов'язаних з передачею сигналу зі входу схеми в навантаження) зручно розраховувати методом пропорційних величин. При цьому задаються довільним значенням струму або напруги самого віддаленого від джерела живлення ділянки - в нашому випадку приймемо ток I 5 = 10 А.

Потім за допомогою законів Кірхгофа розраховують напругу на вході (так зване вплив), Яке на виході створює струм I 5 (так звана реакція ланцюга), Який дорівнює прийнятому значенням:

U 5 = I 5 × r 5 \u003d 10 × 50 \u003d 500 B,

I 4 = = = 5 A, I 3 = I 5 + I 4 = 10 + 5 = 15 A,

U ad = I 3 × r 3 + I 5 × r 5 \u003d 15 × 20 + 500 \u003d 800 B,

I 2 = = = 13,33 A, I 1 = I 2 + I 3 = 13,33 + 15 = 28,33 A,

U вх = I 1 × r 1 + U ad \u003d 28,33 × 10 + 800 \u003d 1083 B.

Знаходять коефіцієнт пропорційності k\u003d \u003d \u003d 0,369, на

який необхідно помножити все раніше отримані вирази, щоб отримати шукані значення при заданій напрузі U вх = 400 В.

отримуємо I 1 = I 1 × k\u003d 28,33 × 0,369 \u003d 10,46 А,

I 2 = I 2 × k\u003d 13,33 × 0,369 \u003d 4,92 А, I 3 = I 3 × k\u003d 15 × 0,369 \u003d 5,54 А,

I 4 = I 4 × k\u003d 5 × 0,369 \u003d 1,85 А, I 5 = I 5 × k\u003d 10 × 0,369 \u003d 3,69 А,

U ad \u003d U ad× k\u003d 800 × 0,369 \u003d 295,4 B, U 5 \u003d U вих \u003d U 5 × k\u003d 500 × 0,369 \u003d 185 B,

що збігається з рішенням по варіанту 1.

ЗАВДАННЯ 1.38. Визначити струми в гілках схеми, наведеної на рис. 1.39, замінивши трикутник опорів r ab-r bc-r ca еквівалентної зіркою, якщо: E A = 50 В, E B = 30 В, E C = 100 В,

r A = 3,5 Ом, r B = 2 Ом, r C = 7 Ом, r ab = 6 Ом, r bc = 12 Ом, r ca = 6 Ом.

відповіді: I A = -0,4 A, I B = -4,4 A, I C = 4,8 A,

I ab = 2,1 A, I bc = -2,3 A, I ca = 2,5 A.

ЗАВДАННЯ 1.39. Розрахувати струми в схемі рис. 1.40 методом перетворення електричного кола, перевірити БМ, якщо: r 1 = r 2 = 6 Ом,

r 3 = 3 Ом, r 4 = 12 Ом, r 5 = 4 Ом, j = 6 А.

відповіді: I 1 = 1 A, I 2 = 1 A, I 3 = 2 A,

I 4 = 1 A, I 5 = 3 A.

ЗАВДАННЯ 1.40. Вирішити задачу 1.19 за допомогою еквівалентних перетворень ланцюга.

ЗАВДАННЯ 1.41. У ланцюзі рис. 1.41 j = 50 мА, E = 60 В, r 1 = 5 кОм, r 2 = 4 кОм, r 3 = 16 кОм, r 4 = 2 кОм, r 5 = 8 кОм. Обчислити струм гілки з опором r 5, користуючись перетворенням схем з джерелами струму в еквівалентні схеми з джерелами ЕРС і навпаки.

Рішення. Варіант 1

Перерісуем схему рис. 1.41 у вигляді рис. 1.42, а. Еквівалентність вихідної і нової схем очевидна: до відповідних вузлів обох схем підходять однакові струми. Зокрема, результуючий струм, що підводиться до вузла а, Дорівнює нулю. Перетворимо джерела струму j останньої схеми в джерела з ЕРС Е 1 і Е 3 (рис. 1.42, б):

Е 1 = jr 1 \u003d 50 · 10 -3 · 5 · 10 3 \u003d 250 В;

Е 3 = jr 3 \u003d 50 · 10 -3 · 16 · 10 3 \u003d 800 В.

Складаючи відповідні елементи гілок, наводимо рис. 1.42, б до виду рис. 1.42, в, для якого Е 6 = Е – Е 1 = 60 – 250 = -190 В;

r 6 = r 1 + r 2 = 9 кОм; r 7 = r 3 + r 4 = 18 кОм.

Перетворимо схему рис. 1.42, в в схему з джерелами струму рис. 1.42, г:

j 6 = = - = -21,2 мА; j 7 = = = 44,4 мА.

Склавши паралельні елементи, отримаємо схему рис. 1.42, д:

j ЕКВ = j 6 + j 7 = -21,1 + 44,4 = 22,3 мА; r ЕКВ = = = 6 кОм.

I 5 = j ЕКВ· \u003d 23,3 · \u003d 10 мА.

Досить часто при аналізі лінійних резистивних ланцюгів доводиться застосовувати метод спрощення. Цей метод полягає в тому, що ділянки електричного кола замінюються більш простими за структурою, при цьому струми і напруги в не перетворено частини кола не повинні змінюватися. При цьому необхідно вміти перетворювати послідовно і паралельно з'єднані резистивні елементи, а також сполуки трикутником і зіркою.

2.1 Послідовне з'єднання резистивних елементів.

Струм у всіх послідовно з'єднаних елементах один і той же. Для схеми на рис. 2.1 можна записати

U \u003d (R1 + R2 + ... + RN) I \u003d R Е I, (2.1)

де R Е - еквівалентний опір. .

Як видно з формули, воно визначається як сума всіх послідовно включених опорів.

R Е \u003d R1 + R2 + ... + RN. (2.2)

2.2 Паралельне з'єднання резистивних елементів.

У схемі (рис. 2.2) до всіх елементів докладено одне і те ж напруга U, а струм розгалужується (I \u003d I 1 + I 2 + ... + I n), тому можна записати:

(2.3)

Вводячи поняття провідності G \u003d 1 / R, отримаємо:

I \u003d U (G 1 + G 2 + ... + G n) \u003d UG е. (2.4)

Таким чином, еквівалентна провідність G е паралельно включених резистивних елементів дорівнює сумі їх проводимостей. В окремому випадку, якщо паралельно з'єднані два резистора, їх еквівалентний опір

2.3. З'єднання трикутником і зіркою

У багатьох випадках виявляється доцільним також перетворення опорів, з'єднаних трикутником (рис.2.3) і еквівалентної зіркою (рис.2.4).

Рис. 2.3 Рис. 2.4

Опору променів еквівалентної зірки визначають за формулами:

(2.8)

(2.9)

(2.10)

де R 1, R 2, R 3 - опору променів еквівалентної зірки опорів, а R 12, R 23, R 31 - опору сторін еквівалентного трикутника опорів.

При заміні зірки опорів еквівалентним трикутником опорів, опору сторін трикутника розраховують за наступними формулами:

(2.11)

(2.12)

(2.13)

2.4 Приклади розв'язання задач

2.1. Для електричного кола постійного струму з паралельним з'єднанням резисторів R 1, R 2, R 3 (Рис.2.5) визначити струм I в неразветвленной її частини і струми в окремих гілках: I 1, I 2, I 3. Опору резисторів: R 1\u003d 5Ом, R 2\u003d 10Ом, R 3\u003d 15ом, напруга мережі живлення U\u003d 110В.

Рис. 2.5

Рішення. Еквівалентну провідність всьому ланцюгу визначимо наступним чином:

Струм в нерозгалужене частини електричного кола:

Струми в гілках схеми:

2.2. Для умов задачі 2.1 ток в нерозгалужене частини ланцюга I\u003d 22A. визначити струми I 1, I 2, I 3 в гілках резисторів R 1, R 2, R 3.

Рішення. Провідності окремих ділянок електричного кола:

.

Еквівалентна провідність ланцюга:

Напруга між вузловими точками:

Струми в гілках резисторів:

2.3. Для ланцюга постійного струму, наведеної на рис.2.6, визначити загальний струм I і струми I 1, I 2, I 3, I 4 в гілках резисторів R 1…R 4. до ланцюга підведена напруга U\u003d 240В, опору резисторів R 1\u003d 20ом, R 2\u003d 15ом, R 3\u003d 10Ом, R 4\u003d 5Ом.

Рішення. Еквівалентний опір ділянки електричного кола з резисторами R 1 і R 2:

Еквівалентний опір ділянки кола з резисторами R 3 і R 4:

Загальний опір кола:

Загальний струм в ланцюзі:

рис.2.6

Падіння напруги на паралельних ділянках ланцюга:

,

Струми в гілках відповідних резисторів:

2.4. З'єднання елементів електричного кола за схемами «зірка» та «трикутник»

В електротехнічних і електронних пристроях елементи ланцюга з'єднуються за мостовою схемою (рис. 1.12). Опору R 12, R 13, R 24, R 34 включені в плечі моста, в діагональ 1-4 включений джерело живлення з ЕРС Е, інша діагональ 3-4 називається вимірювальної діагоналлю моста.

Рис. 1.12

Рис. 1.13

У мостовій схемі опору R 13, R 12, R 23 і R 24, R 34, R 23 з'єднані за схемою «трикутник». Еквівалентний опір цієї схеми можна визначити тільки після заміни одного з трикутників, наприклад трикутника R 24 R 34 R 23 зіркою R 2 R 3 R 4 (рис. 1.13). Така заміна буде еквівалентною, якщо вона не викличе зміни струмів всіх інших елементів ланцюга. Для цього величини опорів зірки повинні розраховуватися по наступних співвідношеннях:

; ; .

Для заміни схеми «зірка» еквівалентним трикутником необхідно розрахувати опору трикутника:

; ; .

Після проведених перетворень (рис. 1.13) можна визначити величину еквівалентного опору мостової схеми (рис. 1.12)

.

2.5. Завдання для самостійного рішення

2.4. Для електричного кола постійного струму (рис.2.7) визначити струми I 1, I 2, I 3 при напрузі U\u003d 240В і опір резистора R 1. Опір резисторів: R 2\u003d 10Ом, R 3\u003d 15ом. Потужність споживана ланцюгом, яка вимірюється ваттметром W, Дорівнює 7,2 кВт.

рис.2.7

2.5. Для розгалуженої електричного кола постійного струму, що подається на рис.2.7, визначити струми I 1, I 2, I 3 при напрузі мережі живлення U\u003d 80В. Опір резисторів: R 1\u003d 10Ом, R 2\u003d 15ом, R 3\u003d 10Ом.

2.6. контрольне завдання

Визначити еквівалентний опір R екв електричного кола постійного струму (рис.2.8) і розподіл струмів в гілках. положення вимикача S 1, Величини опорів резисторів R 1…R 12 і напруги живлення U для кожного з варіантів завдання наведені в таблиці 2.1.

Рис. 2.8

Таблиця 2.1

Продовження таблиці 2.1

Мета лекції №3.

Ознайомившись з даною лекцією, студенти повинні знати:

Мета перетворення електричних ланцюгів.

Чітко розрізняти ділянки з послідовним і паралельним з'єднаннями при розгляді змішаного з'єднання проводів.

Вміти перетворювати з'єднання трикутник в еквівалентну зірку і назад.

Вміти перетворити джерело напруги в джерело струму і назад.

Перетворення схем електричних ланцюгів.

Метою перетворення електричних ланцюгів є їх спрощення, це необхідно для простоти і зручності розрахунку.

Одним з основних видів перетворення електричних схем є перетворення схем зі змішаним з'єднанням елементів. Змішане з'єднання елементів - це сукупність послідовних і паралельних з'єднань, які і будуть розглянуті на початку даної лекції.

Послідовне з'єднання.

На рис. 3-1 зображена гілка електричного кола, в якій послідовно включені опору R 1, R 2, ..., R n. Через всі ці опору проходить один і той же струм I. Напруження на окремих ділянках ланцюга позначимо через U 1, U 2, ..., U n.

Рис. 3-1 Послідовне з'єднання.

За ЗНК напруга на гілки

U \u003d U 1 + U 2 + ... + U n \u003d IR 1 + IR 2 + ... + IR n \u003d I (R 1 + R 2 + ... R n) \u003d IRекв. (1)

Сума опорів всіх ділянок даної галузі

називається еквівалентним послідовним опором.

Оскільки напруги, які падають на окремих опорах, пропорційні цим опорам, можна сказати, що послідовно включені опору утворюють «дільник напруги». Поняття подільника напруги широко використовується в техніці.

Паралельне з'єднання.

На рис. 3-2 зображена схема електричного кола з двома вузлами, між якими включено n паралельних гілок з проводимостями G 1, G 2, ..., G n. Напруга між вузлами U, воно однаково для всіх гілок.

Ріс.3-2 Паралельне з'єднання (показати перетворене).

За ЗТК загальний то дорівнює сумі струмів окремих гілок:

I \u003d I 1 + I 2 + ... + I n \u003d G 1 U + G 2 U + ... + G n U \u003d U (G 1 + G 2 + ... + G n) \u003d UGекв. (2)

Сума проводимостей всіх гілок, з'єднаних паралельно

називається еквівалентної провідністю.

У разі паралельного опору двох гілок (n \u003d 2) зазвичай користуються виразами, в які входять опору
і
.

Еквівалентний опір двох паралельно з'єднаних гілок одно:

. (3)

Оскільки загальний струм ділиться на окремі струми гілок пропорційно провідності цих гілок (або, що те ж саме, обернено пропорційно опорам цих гілок), можна сказати, що паралельно включені опору утворюють «дільник струмів». Поняття подільника струмів використовується в техніці.

Часто при використанні «ручного» розрахунку електричних ланцюгів необхідно визначити, як струм розділяється по окремим галузям паралельно з'єднаних гілок.

З формули (2) випливає, що струми гілок, з'єднаних паралельно, пропорційні провідності цих гілок, тобто струми поділяються по гілках пропорційно опорам цих гілок, або, що те ж саме, обернено пропорційно опорам цих гілок.

У разі двох паралельно з'єднаних опору їх загальний опір (2) одно:

, Тоді сумарний струм I, Що протікає по цьому еквівалентному опору, створить напругу U, Рівне:

, Щоб знайти струм I 1 в опорі R 1, необхідно розділити вираз на R 1, а щоб знайти струм I 2 в опорі R 2 знайти розділити вираз на R 2:

Отримані вирази для струмів іноді називають «правилом плечей», де говориться: ток ділиться між паралельно включеними опорами (в дільнику струмів) обернено пропорційно цим опорам.

(4)

Змішане з'єднання.

На ріс.3-3 показано змішане з'єднання електричного кола:

Ріс.3-3 Змішане з'єднання.

Ця схема легко приводиться до одноконтурной. Опору R 5 і R 6 включені паралельно, тому необхідно обчислити еквівалентний опір даної ділянки за формулою

Для розуміння отриманого результату можна зобразити проміжну схему (рис. 3-4).

Опору R 3, R 4 і R / екв. з'єднані послідовно, і еквівалентний опір ділянки c-e-f-d одно:

R екв. \u003d R 3 + R екв. '+ R 4.

Після цього етапу перетворень схема набуває вигляду рис. 3-5.

Потім знаходимо еквівалентний опір ділянки c-d і підсумовуємо його з опором R 1. Загальна еквівалентний опір одно:

.

Отримане опір еквівалентно опору (рис. 3-6) вихідної схеми зі змішаним з'єднанням. Поняття "еквівалентно" означає, що напруга U на вхідних затисках і ток I вхідний гілки залишаються незмінними на протязі всіх перетворень.

Перетворення трикутника в еквівалентну зірку.

Перетворенням трикутника в еквівалентну зірку називається така заміна частини ланцюга, з'єднаної за схемою трикутником, ланцюгом, з'єднаної за схемою зірки, при якій струми і напруги в іншій частині ланцюга зберігаються незмінними.

Тобто, під еквівалентністю трикутника і зірки розуміється то, що при однакових напругах між однойменними зажимами струми, що входять в однойменні висновки, однакові.

Рис. 3-7. Перетворення трикутника в зірку.

Нехай R 12; R 23; R 31 - опору сторін трикутника;

R 1; R 2; R 3 - опору променів зірки;

I 12; I 23; I 31 - струми в гілках трикутника;

I 1; I 2; I 3 - струми, які підходять до затискачів 1, 2, 3.

Висловимо струми в гілках трикутника через відповідні струми I 1, I 2, I 3.

Згідно із законом напруг Кірхгофа сума падінь напруг в контурі трикутника дорівнює нулю:

I 12 R 12 + I 23 R 23 + I 31 R 31 \u003d 0

Згідно із законом струмів Кірхгофа для вузлів 1 і 2

I 31 \u003d I 12 + I 1; I 23 \u003d I 12 + I 2

При вирішенні цих рівнянь щодо I 12 отримаємо:

Напруга між точками 1 і 2 схеми трикутника:

Напруга між цими ж точками схеми зірки одно:

U 12 \u003d I 1 R 1 - I 2 R 2.

Оскільки мова йде про еквівалентному перетворенні, то необхідно рівність напруг між даними точками двох схем, тобто

Це можливо за умови:

(5)

Третє вираз отримано в результаті кругової заміни індексів.

Виходячи з виразу (5) формулюється наступне правило:

Опір променя зірки дорівнює добутку опорів сторін трикутника, прилеглих до цього променю, поділеній на суму опорів трьох сторін трикутника.

Перетворення зірки в еквівалентний трикутник.

При переході від зірки до трикутника відомими є опору R 1, R 2, R 3 променів зірки. Значення опорів трикутника визначаються в результаті спільного рішення рівнянь (5):

(6)

Опір боку трикутника дорівнює сумі опорів прилеглих променів зірки і твори їх, поділеного на опір третього променя.

Закон Ома - падіння напруги на елементі дорівнює добутку величини опору цього елемента на величину струму, що протікає через нього.

Перший закон Кірхгофа - сума струмів, що втікають у вузол, дорівнює сумі струмів, що випливають з вузла.

Другий закон Кірхгофа - в замкнутому контурі алгебраїчна сума напруг джерел електричної енергії дорівнює алгебраїчній сумі падінь напруг на елементах контуру. При обході контура в довільно обраному напрямку значення напруг беруться з плюсом, якщо напрямок обходу контуру і напрямки напруг збігаються і беруться з мінусом, якщо цього збігу немає.

Розрахунок методом еквівалентного перетворення

Цей метод застосовується для не дуже складних пасивних електричних ланцюгів, такі ланцюги зустрічаються досить часто, і тому цей метод знаходить широке застосування. Основна ідея методу полягає в тому, що електричний ланцюг послідовно перетворюється ( "згортається") до одного еквівалентного елемента, як це показано на рис. 1.13, і визначається вхідний струм. Потім здійснюється поступове повернення до вихідної схемою ( "розгортання") з послідовним визначенням струмів і напруг.

Послідовність розрахунку:

1. Розставляються умовно-позитивні напрямки струмів і напруг.

2. Поетапно еквівалентно перетворюються ділянки ланцюга. При цьому на кожному етапі у знову отриманої після перетворення схемою розставляються струми і напруги відповідно до п. 1.

3. В результаті еквівалентного перетворення визначається величина еквівалентного опору кола.

4. Визначається вхідний струм ланцюга за допомогою закону Ома.

5. Поетапно повертаючись до вихідної схемою, послідовно знаходяться всі струми і напруги.

Розглянемо цей метод на прикладі (рис. 1.15). У вихідній схемі розставляємо умовно-позитивні напрямки струмів в гілках і напруг на елементах. Неважко погодитися, що під дією джерела E з вказаною полярністю напрямок струмів і напруг таке, яке показано стрілками. Для зручності подальшого пояснення методу, позначимо на схемі вузли а й б. При звичайному розрахунку це можна не робити.

Потім, об'єднуючи все послідовно з'єднані елементи, завершуємо еквівалентну перетворення схеми (рис. 1.15, в):

В останній схемі (рис. 1.15, в) знаходимо струм I 1:

Тепер повертаємося до попередньої схеми (рис. 1.15, б). Бачимо, що найдCенний ток I 1 протікає через R 1 , R 2,3 , R 4 і створює на них падіння напруги. Знайдемо ці напруги:

.Повертаючись до вихідної схемою (рис. 1.15, а), бачимо, що знайдене напруга U аб прикладається до елементів R 2 і R 3 .

Значить, можемо записати, що U 2 = U 3 = U а, б

Токи в цих елементах знаходять з абсолютно очевидних співвідношень:

Отже, схема розрахована.

розрахунок за допомогою законів Кірхгофа

Цей метод найбільш універсальний і застосовується для розрахунку будь-яких ланцюгів. при розрахунку цим методом спочатку визначаються струми в гілках, а потім напруги на всіх елементах. струми знаходяться з рівнянь, отриманих за допомогою законів Кірхгофа. так як в кожній гілці ланцюга протікає свій струм, то число вихідних рівнянь повинна дорівнювати числу гілок ланцюга. число гілок прийнято позначати через n. частина цих рівнянь записуються за першим законом Кірхгофа, а частина - за другим законом Кірхгофа. всі отримані рівняння повинні бути незалежними. це означає, щоб не було таких рівнянь, які можуть бути отримані шляхом перестановок членів у вже наявному рівнянні або шляхом арифметичних дій між вихідними рівняннями. при складанні рівнянь використовуються поняття незалежних і залежних вузлів і контурів. розглянемо ці поняття.

незалежним вузлом називається вузол, в який входить хоча б одна гілка, яка не входить в інші вузли. якщо число вузлів позначимо через до, То число незалежних вузлів одно ( до-1). на схемі (рис. 1.16) з двох вузлів тільки один незалежний.

незалежним контуром називається контур, який відрізняється від інших контурів хоча б однією гілкою, яка не входить в інші контуру. в іншому випадку такий контур називається залежним .

якщо число гілок ланцюга одно n, То число незалежних контурів одно [ n– (до–1)].

в схемі (рис. 1.16) всього три контури, але тільки два незалежних контури, а третій - залежний. виділяти незалежні контуру можна довільно, т. е. в якості незалежних контурів можна вибрати при першому розрахунку одні, а при другому розрахунку (повторному) - інші, які раніше були залежними. результати розрахунку будуть однаковими.

якщо за першим законом Кірхгофа скласти рівняння для ( до-1) незалежних вузлів, а за другим законом Кірхгофа скласти рівняння для [ n– (до-1)] незалежних контурів, то загальне число рівнянь дорівнюватиме:

(K–1) + [n – (K–1)] = n.

Це означає, що для розрахунку є необхідна кількість рівнянь.

Послідовність розрахунку:

1. Розставляємо умовно - позитивні напрямки струмів і напруг.

2. Визначаємо число невідомих струмів, яке дорівнює числу гілок ( n).

3. Вибираємо незалежні вузли і незалежні контуру.

4. За допомогою першого закону Кірхгофа складаємо ( До-1) рівнянь для незалежних вузлів.

5. За допомогою другого закону Кірхгофа складаємо [ n– (До-1)] рівнянь для незалежних контурів. При цьому напруги на елементах виражаються через струми, що протікають через них.

6. Вирішуємо складену систему рівнянь і визначаємо струми в гілках. При отриманні негативних значень для деяких струмів, необхідно їх напрямки в схемі змінити на протилежні, які і є справжніми.

7. Визначаємо падіння напруги на всіх елементах схеми.

Розглянемо послідовність розрахунку на прикладі схеми, наведеної на рис. 1.16. З огляду на напрямок джерела E, Розставляємо умовно-позитивні напрямки струмів і напруг. У схемі три гілки, тому нам необхідно скласти три рівняння. У схемі два вузла, отже, з них тільки один незалежний. У якості незалежного вузла виберемо вузол 1. Для нього запишемо рівняння за першим законом Кірхгофа:

I 1 = I 2 + I 3 .

Далі необхідно скласти два рівняння за другим законом Кірхгофа. У схемі всього три контури, але незалежних тільки два. В якості незалежних контурів виберемо контур з елементів E–R 1 –R 2 і контур з елементів R 2 – R 3. Обходячи ці два контури по напрямку руху годинникової стрілки, записуємо такі два рівняння:

E = I 1 ,R 1 + I 2 R 2 ,

0 = – I 2 R 2 + I 3 R 3 .

Вирішуємо отримані три рівняння і визначаємо струми в гілках. Потім через знайдені струми згідно із законом Ома визначаємо падіння напруги на всіх елементах ланцюга.

розрахунок методом контурних струмів

Складні схеми характеризуються наявністю значної кількості гілок. У разі застосування попереднього методу це призводить до необхідності вирішувати систему з значного числа рівнянь.

Метод контурних струмів дозволяє помітно зменшити число вихідних рівнянь. При розрахунку методом контурних струмів використовуються поняття незалежного контуру і залежного контуру, які нам вже відомі. Крім них в цьому методі використовуються ще такі поняття:

– власний елемент контуру - елемент, що відноситься тільки до одного контуру;

– загальний елемент контуру - елемент, що відноситься до двох і більше контурам ланцюга.

Позначаємо, як і раніше, через До число вузлів, а через n число гілок ланцюга. Тоді число незалежних контурів ланцюга визначається за вже відомою формулою [ n– (До–1)].

Метод грунтується на припущенні, що в кожному незалежному контурі тече власний контурний струм (рис. 1.17), і спочатку знаходять контурні струми в незалежних контурах. Струми в гілках ланцюга визначають через контурні струми. При цьому виходять з того, що в власних елементах контуру струми збігаються з контурним струмом даного контуру, а в загальних елементах струм дорівнює сумі алгебри контурних струмів тих контурів, до яких належить даний елемент.

Послідовність розрахунку:

1. Визначається число гілок ( n) І число вузлів ( До) Ланцюга. Знаходиться число незалежних контурів [ n– (До–1)].

2. Вибирається [ n– (До-1)] незалежних контура.

3. Вибирається умовно-позитивний напрямок контурних струмів в кожному з незалежних контурів (зазвичай показується стрілкою).

4. Для кожного з незалежних контурів складається рівняння за другим законом Кірхгофа. При цьому падіння напруги на власних елементах визначається як добуток контурного струму на величину опору, а на загальних елементах - як твір алгебраїчної суми всіх контурних струмів, що протікають через даний елемент, на величину його опору. Обхід контуру проводиться, як правило, в напрямку власного контурного струму.

5. Вирішується система з [ n– (До-1)] рівнянь і знаходяться контурні струми.

6. Токи в гілках схеми знаходяться наступним чином:

- у власних елементах контуру струм дорівнює контурному струму;

- в загальних елементах контуру струм дорівнює сумі алгебри струмів, що протікають через даний елемент.

Розглянемо в загальному вигляді застосування цього методу для розрахунку схеми, наведеної на рис. 1.17.

У цій схемі три гілки і два вузла, отже, в ній тільки два незалежних контури. Вибираємо ці контуру і показуємо в них напрямки (довільно) контурних струмів I к1 і I к2. Складаємо два рівняння за другим законом Кірхгофа:

.

Вирішивши цю систему рівнянь, знаходимо контурні струми I до 1 і I до 2. Потім визначаємо струми в гілках:

I 1 = I до 1, I 3 = I до 2, I 2 = I до 1 - I до 2.

РОЗРАХУНОК МЕТОДОМ НАКЛАДАННЯ

Метод застосовується для розрахунку ланцюгів, що містять кілька (два і більше) джерел електричної енергії. Підкреслимо, що цей метод можна застосовувати для розрахунку тільки лінійних ланцюгів. Метод грунтується на тому положенні, що в кожній гілці ланцюга струм дорівнює сумі алгебри струмів, створюваних кожним джерелом. Отже, необхідно визначити струми, створювані кожним джерелом окремо, а потім їх підсумувати з урахуванням напрямків.

Послідовність розрахунку:

1. В електричному ланцюзі залишають тільки одне джерело ЕРС. Замість виключеного джерела ЕРС ставиться або резистор, величина якого дорівнює величині внутрішнього опору джерела ЕРС, або перемичка, якщо внутрішній опір джерела дорівнює нулю.

2. Визначаються струми у всіх гілках, створювані цим джерелом ЕРС.

3. Залишається в ланцюзі наступний джерело ЕРС, а з рештою надходять аналогічно тому, як сказано в п. 1.

4. Визначаються струми в ланцюзі, створювані другим джерелом ЕРС.

5. Аналогічно надходять з рештою джерелами.

6. Справжні струми в гілках ланцюга визначаються як алгебраїчна сума струмів в цих гілках, створених кожним із джерел.

Розрахуємо ланцюг, зображену на рис. 1.18, методом накладення. Будемо вважати, що внутрішні опору джерел ЕРС дорівнюють нулю.

На початку залишаємо джерело E 1, а джерело E 2 забирається і в місце нього ставиться перемичка (рис. 1.18, б). В отриманій схемі знаходимо струми методом еквівалентного перетворення:

Потім залишаємо тільки джерело E 2, а замість E 1 ставиться перемичка (рис. 1.18, в). В отриманій схемі визначаємо струми в гілках також методом еквівалентного перетворення:

Знаходимо дійсні струми в вихідної схемою (рис. 1.18, а) алгебраїчним підсумовуванням знайдених струмів.

Струм I 1 дорівнює різниці струму I 11 і струму I 12:

I 1 = I 11 – I 12 .

Струм I 2 дорівнює сумі струмів I 21 і I 22, т. К. Вони збігаються за напрямком:

I 2 = I 21 + I 22 .

Струм I 3 дорівнює різниці струму I 32 і струму I 31:

I 3 = I 32 – I 31 .