Елементарні перетворення матрицізнаходять широке застосування різних математичних завданнях. Наприклад, вони становлять основу відомого методу Гаусса (методу виключення невідомих) на вирішення системи лінійних рівнянь .
До елементарних перетворень відносяться:
1) перестановка двох рядків (стовпців);
2) множення всіх елементів рядка (стовпця) матриці на деяке число, що не дорівнює нулю;
3) складання двох рядків (стовпців) матриці, помножених на те саме число, відмінне від нуля.
Дві матриці називаються еквівалентнимиякщо одна з них може бути отримана з іншої після кінцевого числа елементарних перетворень. У загальному випадку еквівалентні матриці рівними не є, але мають один і той самий ранг.
Обчислення визначників за допомогою елементарних перетворень
За допомогою елементарних перетворень легко визначити обчислювач матриці. Наприклад, потрібно обчислити визначник матриці:
Тоді можна винести множник:
тепер, віднімаючи з елементів j-го стовпця відповідні елементи першого стовпця, помножені на отримаємо визначник:
який дорівнює: де
Потім повторюємо ті ж дії для і, якщо всі елементи тоді остаточно отримаємо:
Якщо для якого-небудь проміжного визначника виявиться, що його верхній лівий елемент , то необхідно переставити рядки або стовпці в так, щоб новий лівий верхній елемент був не дорівнює нулю. Якщо Δ ≠ 0, це завжди можна зробити. При цьому слід враховувати, що знак визначника змінюється в залежності від того, який елемент є головним (тобто коли матриця перетворена так, що ). Тоді знак відповідного визначника дорівнює.
П р і м е р. За допомогою елементарних перетворень навести матрицю
до трикутного вигляду.
Розв'язання. Спочатку помножимо перший рядок матриці на 4, а другий на (–1) і додамо перший рядок до другого:
Тепер помножимо перший рядок на 6, а третій на (–1) і додамо перший рядок до третього:
Нарешті, помножимо 2-й рядок на 2, а 3-й на (–9) і додамо другий рядок до третього:
В результаті отримано верхню трикутну матрицю.
приклад. Розв'язати систему лінійних рівнянь, використовуючи матричний апарат:
Рішення.Запишемо цю системулінійних рівнянь у матричній формі:
Вирішення даної системи лінійних рівнянь у матричній формі має вигляд:
де - матриця, зворотна до матриці А.
Визначник матриці коефіцієнтів Адорівнює:
отже, матриця Амає зворотну матрицю.
2. Мальцев А.І. Основи лінійної алгебри. - М.: Наука, 1975. - 400 с.
3. Бронштейн І.М., Семендяєв К.А. Довідник з математики для інженерів та учнів втузів. - М.: Наука, 1986. - 544 с.
Введемо поняття елементарної матриці.
ВИЗНАЧЕННЯ. Квадратна матриця, що виходить з одиничної матриці в результаті неособливого елементарного перетворення над рядками (стовпцями), називається елементарною матрицею, що відповідає цьому перетворенню.
Так, наприклад, елементарними матрицями другого порядку є матриці
де А – будь-який ненульовий скаляр.
Елементарна матриця виходить із одиничної матриці Е в результаті одного з наступних неособливих перетворень:
1) множення рядка (стовпця) матриці Е на відмінний від нуля скаляр;
2) додаток (або віднімання) до будь-якого рядка (стовпця) матриці Е іншого рядка (стовпця), помноженого на скаляр.
Позначимо через матрицю, що виходить із матриці Е в результаті множення рядка на ненульовий скаляр А:
Позначимо через матрицю, що виходить з матриці Е в результаті додавання (віднімання) до рядка рядка, помноженого на А;
Через позначатимемо матрицю, що виходить з одиничної матриці Е в результаті застосування елементарного перетворення над рядками; таким чином, є матриця, що відповідає перетворенню
Розглянемо деякі властивості елементарних матриць.
ВЛАСТИВОСТІ 2.1. Будь-яка елементарна матриця оборотна. Матриця, обернена до елементарної, є елементарною.
Доведення. Безпосередня перевірка показує, що для будь-якого відмінного від нуля скаляра А. та довільних виконуються рівності
З цих рівностей укладаємо, що має місце властивість 2.1.
ВЛАСТИВОСТІ 2.2. Добуток елементарних матриць є оборотною матрицею.
Ця властивість безпосередньо випливає з якості 2.1 та наслідків 2.3.
ВЛАСТИВОСТІ 2.3. Якщо неособливе рядкове елементарне перетворення переводит-матрицю А в матрицю, то . Правильне і обрсипне твердження.
Доведення. Якщо є множення рядка на ненульовий скаляр А, то
Якщо ж, то
Легко перевірити, що правильне також зворотне твердження.
ВЛАСТИВОСТІ 2.4. Якщо матриця С виходить із матриці А за допомогою ланцюжка неособливих рядкових елементарних перетворень, то. Правильне і зворотне твердження.
Доведення. За властивістю 2.3, перетворення переводить матрицю А в матрицю переводить матрицю в матрицю і т. д. Нарешті, переводить матрицю в матрицю Отже, .
Легко перевірити, що правильне і зворотне твердження. Умови оборотності матриці. Для доказу теореми 2.8 необхідні три леми.
ЛЕМА 2.4. Квадратна матриця з нульовим рядком (стовпцем) необоротна.
Доведення. Нехай А – квадратна матриця з нульовим рядком, В – будь-яка матриця, . Нехай – нульовий рядок матриці А; тоді
тобто. i-й рядокматриці АВ є нульовою. Отже, матриця А необоротна.
ЛЕМА 2.5. Якщо рядки квадратної матриці лінійно залежні, то матриця необоротна.
Доведення. Нехай А – квадратна матриця з лінійно залежними рядками. Тоді існує ланцюжок неособливих рядкових елементарних перетворень, що переводять А в ступінчасту матрицю; нехай такий ланцюжок. За якістю 2.4 елементарних матриць, має місце рівність
де С - матриця з нульовим рядком.
Отже, по лемі 2.4 матриця необоротна. З іншого боку, якби матриця А була оборотною, то добуток зліва в рівності (1) було б оборотною матрицею, як добуток оборотних матриць (див. слідство 2.3), що неможливо. Отже, матриця А необоротна.
Матриця перетворень застосовується для обчислення нових координат об'єкта за його трансформації. Змінюючи значення елементів матриці перетворення, до об'єктів можна застосовувати будь-які трансформації (наприклад: масштабування, дзеркальне відображення, поворот, переміщення тощо). При будь-якій трансформації зберігається паралельність ліній об'єкта.
Координати PDF виражаються в термінах двовимірного простору. Точка (x, y) у просторі може бути виражена у векторній формі . Постійний третій елемент вектора (1) потрібен для використання вектора з матрицями 3х3 в обчисленнях, описаних нижче.
Перетворення між двома системами координат представлено як матриця 3х3 і записується наступним чином:
Координатні перетворення виражаються у вигляді матричних множень:
Оскільки остання колонка не надає жодного впливу результати розрахунку, вона у обчисленнях не бере участі. Координати трансформації вираховуються за такими формулами:
Одинична матриця
Одиничною матрицею називається, та у якої значення матриці aі dрівні 1 , а решта рівні 0 . Така матриця застосовується за умовчанням, оскільки не призводить до трансформації. Тому одиничну матрицю використовують як основу.
Масштабування
Для збільшення або зменшення розміру об'єкта по горизонталі/вертикалі слід змінити значення aабо dвідповідно, а решту застосувати з одиничної матриці.
Наприклад:Для збільшення розміру об'єкта вдвічі по горизонталі, значення a необхідно прийняти рівним 2, а інші залишити такими, як у одиничній матриці.
Відображення
Щоб отримати дзеркальне відображення об'єкта по горизонталі, слід встановити значення a = -1, по вертикалі d = -1. Зміна обох значень застосовується для одночасного відображення по горизонталі та вертикалі.
Нахил
Нахил об'єкта по вертикалі/горизонталі забезпечується зміною значень bі cвідповідно. Зміна значення b/-b- нахил вгору/вниз, c/-c- Вправо / вліво.
Наприклад:Для нахилу об'єкта по вертикалі вгору встановимо значення b = 1
Обчислюємо нові координати об'єкта:
У результаті до нахилу об'єкта наводить лише координата y, яка збільшується на значення x.
Поворот
Поворот — це комбінація масштабування та нахилу, але для збереження початкових пропорцій об'єкта перетворення повинні проводитися з точними обчисленнями при використанні синусів і косінусів.
Сам поворот відбувається проти годинникової стрілки, α задає кут повороту у градусах.
Переміщення
Переміщення здійснюється зміною значень e(по горизонталі) та f(по вертикалі). Значення задаються у пікселях.
Наприклад:Переміщення з використанням матриці застосовується рідко через те, що цю операцію можна зробити іншими методами, наприклад, змінити положення об'єкта у вкладці .
Оскільки матриця трансформації має лише шість елементів, які можуть бути змінені, візуально вона відображається у PDF . Така матриця може представляти будь-яке лінійне перетворення з однієї координатної системи на іншу. Матриці перетворень утворюються так:
- Переміщення вказуються як , де t xі t y- Відстань від осі системи координат по горизонталі і вертикалі, відповідно.
- Масштабування вказується як . Це масштабує координати так, що 1 одиниця у горизонтальному та вертикальному вимірах у новій координатній системі такого ж розміру, як і s xі s yодиниць у старій координатній системі відповідно.
- Повороти виробляються матрицею що відповідає повороту осей координатної системи на θ градусів проти годинникової стрілки.
- Нахил вказується як що відповідає нахилу осі xна кут α та осі yна кут β .
На малюнку нижче показано приклади трансформації. Напрямки переміщення, кут повороту та нахилу, показані на малюнку, відповідають позитивним значенням елементів матриці.
Множення матриці не коммутативні - порядок, в якому перемножуються матриці, має значення.
У таблиці нижче наведено допустимі перетворення та значення матриці.
| Початковий малюнок | Трансформований малюнок | Матриця | Опис |
|---|---|---|---|
 |
 |
1 0
0 2 0 0 |
Масштаб за вертикаллю. Якщо значення матриці більше 1, об'єкт розширюється, менше 1 стискається. |
|
 |
2 0
0 1 0 0 |
Масштаб по горизонталі. Якщо значення матриці більше 1, об'єкт розширюється, менше 1 стискається. |
|
 |
-1 0
0 1 0 0 |
Відображення горизонталлю. |
|
 |
1 0
0 -1 0 0 |
Відображення по вертикалі. |
|
 |
1 1
0 1 0 0 |
Нахил по вертикалі нагору. |
|
 |
1 -1
0 1 0 0 |
Нахил вертикалі вниз. |
|
 |
1 0
1 1 0 0 |
Нахил по горизонталі праворуч. |
|
 |
1 0
-1 1 0 0 |
Визначення 5.8. Елементарними перетвореннями рядків матриціназивають такі перетворення:
1) множення рядка матриці на ненульове дійсне число;
2) додаток до одного рядка матриці іншого її рядка, помноженого на довільне дійсне число.
Лемма 5.1.За допомогою елементарних перетворень рядків матриці можна поміняти місцями будь-які два рядки.
Доведення.
А = 
. 
.
Ступінчаста матриця. Ранг матриці
Визначення 5.9. Ступінчастоїбудемо називати матрицю, яка має наступні властивості:
1) якщо i-я рядок нульовий, то ( i+ 1)-й рядок також нульовий,
2) якщо перші ненульові елементи i-й і ( i+ 1)-й рядків розташовані у стовпцях з номерами kі Rвідповідно, то k < R.
Умова 2) вимагає обов'язкового збільшення нулів зліва при переході від i-й рядки до ( i+ 1)-й рядок. Наприклад, матриці
А 1 = 
, А 2 = 
, А 3 =
є ступінчастими, а матриці
У 1 = 
, У 2 = 
, У 3 = 
ступінчастими не є.
Теорема 5.1.Будь-яку матрицю можна призвести до ступінчастого за допомогою елементарних перетворень рядків.
Проілюструємо цю теорему з прикладу.
А= 
.
Матриця, що вийшла, - ступінчаста.
Визначення 5.10. Рангом матриціназиватимемо число ненульових рядків у ступінчастому вигляді цієї матриці.
Наприклад, ранг матриці А попередньому прикладі дорівнює 3.
Запитання для самоконтролю
1. Що називається матрицею?
2. Як проводиться додавання та віднімання матриць; множення матриці на число?
3. Дайте визначення множення матриць.
4. Яка матриця називається транспонованою?
5. Які перетворення рядків матриці називаються елементарними?
6. Дайте визначення ступінчастої матриці.
7. Що називають рангом матриці?
Визначники
Обчислення визначників
Визначники другого порядку
Розглянемо квадратну матрицю другого порядку
Визначення 6.1. Визначником другого порядку,відповідним матриці A,називається число, що обчислюється за формулою
│А│= = .
Елементи a ij називаються елементами визначника│A│, елементи а 11 , а 22 утворюють головну діагональ, а елементи а 12 , а 21 – побічну.
приклад. = –28 + 6 = –22.
Визначники третього порядку
Розглянемо квадратну матрицю третього порядку
А = 
.
Визначення 6.2. Визначником третього порядку,відповідним матриці А, називається число, що обчислюється за формулою
│А│= = .
Щоб запам'ятати, які твори у правій частині рівності слід брати зі знаком «плюс», а які ─ зі знаком «мінус», корисно запам'ятати правило, яке називається правилом трикутника:
приклад.
1) 
= –4 + 0 + 4 – 0 + 2 + 6 = 8.
2) = 1, тобто │ Е 3 │= 1.
Розглянемо ще один метод обчислення визначника третього порядку.
Визначення 6.3. Мінором M ijелемента a ij визначника називається визначник, отриманий з даного креслення i-й рядки та j-го стовпця. Алгебраїчним доповненнямA ijелемента a ij визначника називається його мінор M ij, взятий зі знаком (–1) i+j.
приклад.Обчислимо мінор М 23 та алгебраїчне доповнення А 23 елементи а 23 у матриці
Обчислимо мінор М 23:
М 23 = 
= = –6 + 4 = –2.
Тоді А 23 = (–1) 2+3 М 23 = 2.
Теорема 6.1.Визначник третього порядку дорівнює сумі творів елементів будь-якого рядка (стовпця) з їхньої алгебраїчні доповнення.
Доведення.За визначенням
= . (6.1)
Виберемо, наприклад, другий рядок і знайдемо додатки алгебри А 21 , А 22 , А 23:
А 21 = (–1) 2+1 = –(
) = 
,
А 22 = (–1) 2+2 = 
,
А 23 = (–1) 2+3 = –(
) = 
.
Перетворимо формулу (6.1)
│А│= () + () + () =
= А 21 + А 22 + А 23.
Формула А│= А 21 + А 22 + А 23 . називається розкладанням визначника│А│ за елементами другого рядка. Аналогічно розкладання можна отримати за елементами інших рядків та будь-якого стовпця
приклад.
= (за елементами другого стовпця) = 1× (–1) 1+2 + 2 × (–1) 2+2 +
+ (–1)(–1) 3+2 = –(0 + 15) + 2(–2 +20) + (–6 +0) = –15 +36 – 6 = 15.
6.1.3 Визначники n-го порядку ( n N)
Визначення 6.4. Визначником n-го порядку,відповідним матриці n-го порядку
А = 
називається число, рівне сумі творів елементів будь-якої рядки (стовпця) з їхньої алгебраїчні доповнення, тобто.
│A│= А i1 + A i2 + … + A in = А 1j + A 2j + … + A nj.
Неважко помітити, що за n= 2 виходить формула обчислення визначника другого порядку. Якщо n= 1, то за визначенням вважатимемо | A| = |a | = a .
приклад. 
= (за елементами 4-го рядка) = 3×(–1) 4+2 +
2×(–1) 4+4 = 3(–6 + 20 –2 –32) +2(– 6 +16 +60 +2) = 3(–20) +2×72 = –60 +144 = 84 .
Зауважимо, що якщо у визначнику всі елементи будь-якого рядка (стовпця), крім одного, дорівнюють нулю, то при обчисленні визначника його зручно розкласти по елементах цього рядка (стовпця).
приклад.
│Е n│= = 1 × │ E n - 1 │ = … = │E 3 │= 1.
Властивість визначників
Визначення 6.5.Матрицю виду
або 
будемо називати трикутною матрицею.
Властивість 6.1.Визначник трикутної матриці дорівнює добутку елементів головної діагоналі, тобто.
= 
= 
.
Властивість 6.2.Визначник матриці з нульовим рядком або нульовим стовпцем дорівнює нулю.
Властивість 6.3.При транспонуванні матриці визначник не змінюється, тобто.
│А│= │А t│.
Властивість 6.4.Якщо матриця Увиходить із матриці Амноженням кожного елемента деякого рядка на число k, то
│У│= k│А│.
Властивість 6.5.
= 
+ 
.
Властивість 6.6.Якщо матриця Увиходить із матриці Аперестановкою двох рядків, то│ У│= −│А│.
Властивість 6.7.Визначник матриці з пропорційними рядками дорівнює нулю, зокрема нулю дорівнює визначникматриці із двома однаковими рядками.
Властивість 6.8.Визначник матриці не змінюється, якщо до елементів одного рядка додати елементи іншого рядка матриці, помножені на деяке число.
Зауваження. 6.1.Оскільки за властивістю 6.3 визначник матриці не змінюється при транспонуванні, то всі властивості про рядки матриці правильні і для стовпців.
Властивість 6.9.Якщо Аі У- Квадратні матриці порядку n, то │ АВ│=│А││У│.
зворотна матриця
Визначення 6.6.Квадратна матриця Апорядку nназивається оборотний,якщо існує матриця Утака, що АВ = ВА = Е n. У цьому випадку матриця Уназивається зворотної до матриціАі позначається А –1 .
Теорема 6.2.Справедливі такі твердження:
1) якщо матриця Аоборотна, то існує точно одна їй зворотна матриця;
2) оборотна матриця має визначник, відмінний від нуля;
3) якщо Аі В – оборотні матриці порядку n, то матриця АВоборотна, причому ( АВ) –1 = У-1 × А –1 .
Доведення.
1. Нехай Уі З- матриці, зворотні до матриці А, тобто. АВ = ВА = Е nі АС = СА = Е n. Тоді В = ВЕ n = В(АС) = (ВА)С = Е n С = С.
2. Нехай матриця Аоборотна. Тоді існує матриця А-1, їй зворотна, причому
АА –1 = Е n.
За якістю 6.9 визначника │ АА –1 │=│А││А –1 │. Тоді │ А││А –1 │=│Е n│, звідки │ А││А–1 │= 1. Отже, │ А│¹ 0.
3. Справді,
(АВ)(У –1 А –1) = (А(ВВ –1))А –1 = (АЕ n)А –1 = АА –1 = Е n .
(У –1 А –1)(АВ) = (У –1 (А-1 А 21 = -1, А 22 = 2. Тоді А –1 = .
Запитання для самоконтролю
1. Що називається визначником?
2. Якими є його основні властивості?
3. Що називається мінором та алгебраїчним доповненням?
4. Які способи обчислення визначників (другого, третього та n-го порядків)?
5. Яка матриця називається квадратною?
Подібна інформація.
Наступні три операції називають елементарними перетвореннями рядків матриці:
1) Множення i-го рядкаматриці на число λ ≠ 0:
яке записуватимемо у вигляді (i) → λ(i).
2) Перестановка двох рядків у матриці, наприклад i-й та k-й рядків:
яку записуватимемо у вигляді (i) ↔ (k).
3) Додавання до i-го рядка матриці її k-го рядка з коефіцієнтом λ:
що записуватимемо у вигляді (i) → (i) + λ(k).
Аналогічні операції над стовпцями матриці називають елементарними перетвореннями стовпців.
Кожне елементарне перетворення рядків чи стовпців матриці має зворотне елементарне перетворення, яке перетворену матрицю перетворює на вихідну. Наприклад, зворотним перетворенням для перестановки двох рядків є перестановка тих самих рядків.
Кожне елементарне перетворення рядків (стовпців) матриці можна трактувати як множення A зліва (праворуч) на матрицю спеціального виду. Ця матриця виходить, якщо те ж перетворення виконати над одиничною матрицею. Розглянемо детальніше елементарні перетворення рядків.
Нехай матриця B виходить у результаті множення i-йрядки матриці типу A m×n на число λ ≠ 0. Тоді B = Е i (λ)А, де матриця Е i (λ) виходить з одиничної матриці E порядку m множенням її i-го рядка на число λ.
Нехай матриця B виходить в результаті перестановки i-ї та k-ї рядків матриці типу А m×n. Тоді B = F ik А де матриця F ik виходить з одиничної матриці E порядку m перестановкою її i-й і k-й рядків.
Нехай матриця B виходить в результаті додавання до i-го рядка матриці типу А m×n її k-го рядка з коефіцієнтом λ. Тоді B = G ik (λ)А, де матриця G ik виходить з одиничної матриці E порядку m в результаті додавання до i-го рядка k-го рядка з коефіцієнтом λ, тобто. на перетині i-йрядки і k-го стовпця матриці E нульовий елемент замінений число λ.
Так само реалізуються елементарні перетворення стовпців матриці A, але при цьому вона множиться на матриці спеціального вигляду не зліва, а справа.
За допомогою алгоритмів, що ґрунтуються на елементарних перетвореннях рядків і стовпців, матриці можна перетворювати до різного виду. Один із найважливіших таких алгоритмів становить основу доказу наступної теореми.
Теорема 10.1.За допомогою елементарних перетворень рядків будь-яку матрицю можна призвести до східчастого вигляду.
◄ Доказ теореми полягає у побудові конкретного алгоритму приведення матриці до ступінчастого вигляду. Цей алгоритм полягає у багаторазовому повторенні у певному порядку трьох операцій, пов'язаних з деяким поточним елементом матриці, який вибирається виходячи з розташування у матриці. У першому кроці алгоритму як поточного елемента матриці вибираємо верхній лівий, тобто. [A] 11 .
1*. Якщо поточний елемент дорівнює нулю, то переходимо до операції 2*. Якщо ж він не дорівнює нулю, то рядок, в якому розташований поточний елемент (поточний рядок), додаємо з відповідними коефіцієнтами до рядків, розташованих нижче, так, щоб усі елементи матриці, що стоять у стовпці під поточним елементом, звернулися до нуля. Наприклад, якщо поточний елемент є [A] ij , то як коефіцієнт для k-го рядка, k = i + 1, ... , нам слід взяти число - [A] kj /[A] ij . Вибираємо новий поточний елемент, зміщуючись у матриці на один стовпець праворуч і на один рядок вниз, і переходимо до наступного кроку, повторюючи операцію 1*. Якщо таке усунення неможливе, тобто. досягнутий останній стовпець або рядок, перетворення припиняємо.
2*. Якщо поточний елемент у певному рядку матриці дорівнює нулю, переглядаємо елементи матриці, розташовані в стовпці під поточним елементом. Якщо серед них немає ненульових, переходимо до операції 3*. Нехай у k-му рядкупід поточним елементом знаходиться ненульовий елемент. Змінюємо місцями поточний і k-й рядки і повертаємося до операції 1*.
3*. Якщо поточний елемент і всі елементи під ним (у тому самому стовпці) дорівнюють нулю, змінюємо поточний елемент, зміщуючись в матриці на один стовпець праворуч. Якщо таке усунення можливе, т. е. поточний елемент перебуває над правому стовпці матриці, то повторюємо операцію 1* . Якщо ми вже досягли правого краю матриці і зміна поточного елемента неможлива, то матриця має ступінчастий вигляд, і ми можемо припинити перетворення.
Так як матриця має кінцеві розміриа за один крок алгоритму положення поточного елемента зміщується вправо хоча б на один стовпець, процес перетворень закінчиться, причому не більше ніж за n кроків (n - кількість стовпців у матриці). Значить, настане момент, коли матриця матиме ступінчастий вигляд.
Приклад 10.10.Перетворимо матрицю 
до ступінчастого вигляду за допомогою елементарних перетворень рядків.
Використовуючи алгоритм із доказу теореми 10.1 та записуючи матриці після закінчення виконання його операцій, отримуємо