Розглянемо функцію від двох змінних:
Оскільки змінні $x$ і $y$ є незалежними, для такої функції можна запровадити поняття приватної похідної:
Приватна похідна функції $f$ у точці $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ за змінною $x$ - це межа
\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \right))(\Delta x)\]
Аналогічно можна визначити приватну похідну за змінною $y$:
\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \right))(\Delta y)\]
Іншими словами, щоб знайти приватну похідну функції кількох змінних, потрібно зафіксувати решту змінних, крім шуканої, а потім знайти звичайну похідну за цією шуканою змінною.
Звідси випливає основний прийом для обчислення таких похідних: просто вважайте, що всі змінні, крім цієї, є константою, після чого диференціюйте функцію так, як диференціювали б "звичайну" - з однією змінною. Наприклад:
$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prime ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$
Очевидно, що приватні похідні з різних змінних дають різні відповіді — це нормально. Куди важливіше розуміти, чому, скажімо, у першому випадку ми спокійно винесли $10y$ з-під похідної знака, а в другому — зовсім обнулили перший доданок. Все це відбувається через те, що всі літери, крім змінної, за якою йде диференціювання, вважаються константами: їх можна виносити, спалювати і т.д.
Що таке "приватна похідна"?
Сьогодні ми поговоримо про функції кількох змінних та про приватні похідні від них. По-перше, що таке функція кількох змінних? Досі ми звикли вважати функцію як $y\left(x \right)$ або $t\left(x \right)$, або будь-яку змінну та одну-єдину функцію від неї. Тепер функція в нас буде одна, а змінних кілька. У разі зміни $y$ та $x$ значення функції змінюватиметься. Наприклад, якщо $x$ збільшиться вдвічі, значення функції зміниться, при цьому якщо $x$ зміниться, а $y$ не зміниться, значення функції так само зміниться.
Зрозуміло, функцію від кількох змінних, так само як і від однієї змінної, можна диференціювати. Однак оскільки змінних кілька, то й диференціювати можна з різних змінних. При цьому виникають специфічні правила, яких не було під час диференціювання однієї змінної.
Перш за все, коли ми вважаємо похідну функції від будь-якої змінної, то повинні вказувати, за якою саме змінною ми вважаємо похідну - це і називається приватною похідною. Наприклад, у нас функція від двох змінних, і ми можемо порахувати її як $x$, так і $y$ — дві приватні похідні у кожної зі змінних.
По-друге, як тільки ми зафіксували одну зі змінних і починаємо вважати приватну похідну саме по ній, то всі інші, що входять до цієї функції, вважаються константами. Наприклад, $z\left(xy \right)$, якщо ми вважаємо приватну похідну по $x$, то скрізь, де ми зустрічаємо $y$, ми вважаємо її константою і звертаємося з нею саме як з константою. Зокрема при обчисленні похідної твори ми можемо виносити $y$ за дужку (у нас же константа), а при обчисленні похідної суми, якщо у нас десь виходить похідна від виразу, що містить $y$ і не містить $x$, то похідна цього виразу дорівнюватиме «нулю» як похідна константи.
На перший погляд може здатися, що я розповідаю про щось складне, і багато учнів спочатку плутаються. Проте нічого надприродного у приватних похідних немає, і ми переконаємося у цьому з прикладу конкретних завдань.
Завдання з радикалами та багаточленами
Завдання №1
Щоб не гаяти часу, з самого початку почнемо з серйозних прикладів.
Для початку нагадаю таку формулу:
Це стандартне табличне значення, яке ми знаємо із стандартного курсу.
У цьому випадку похідна $z$ вважається так:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]
Давайте ще раз, оскільки під коренем стоїть не $x$, а якийсь інший вираз, в даному випадку $\frac(y)(x)$, то спочатку ми скористаємося стандартним табличним значенням, а потім, оскільки під коренем стоїть не $x $, а інший вираз, нам необхідно примножити нашу похідну на ще одну з цього виразу за тією ж змінною. Давайте для початку порахуємо наступне:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]
Повертаємося до нашого виразу та записуємо:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]
У принципі це все. Однак залишати її в такому вигляді неправильно: таку конструкцію незручно використовувати для подальших обчислень, тому давайте її трохи перетворимо:
\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]
\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2))))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]
Відповідь знайдено. Тепер займемося $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]
Випишемо окремо:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]
Тепер записуємо:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]
\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]
Все зроблено.
Завдання № 2
Цей приклад одночасно і простіше і складніше, ніж попередній. Складніше, тому що тут більше дій, а простіше, тому що немає кореня і, крім того, функція симетрична щодо $x$ і $y$, тобто. якщо ми змінимо $x$ і $y$ місцями, формула від цього зміниться. Це зауваження надалі спростить обчислення приватної похідної, тобто. Достатньо порахувати одну з них, а в другій просто поміняти місцями $x$ і $y$.
Приступаємо до справи:
\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy))(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \right ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]
Давайте порахуємо:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]
Однак багатьом учням такий запис незрозумілий, тому запишемо ось так:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]
Таким чином, ми ще раз переконуємося в універсальності алгоритму приватних похідних: яким би ми чином їх не вважали, якщо всі правила застосовуються правильно, відповідь буде та сама.
Тепер давайте розберемося ще з однією приватною похідною з нашої великої формули:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]
Підставимо отримані вирази в нашу формулу і отримаємо:
\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\left (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]
\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]
\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\ left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \right))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2 )))\]
$x$ пораховано. А щоб порахувати $y$ від того самого виразу, давайте не будемо виконувати всю ту ж послідовність дій, а скористаємося симетрією нашого вихідного виразу - ми просто замінимо в нашому вихідному виразі всі $y$ на $x$ і навпаки:
\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))(((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]
За рахунок симетрії ми порахували цей вираз набагато швидше.
Нюанси рішення
Для приватних похідних працюють усі стандартні формули, які ми використовуємо для звичайних, а саме похідна приватного. При цьому, однак, виникають свої специфічні особливості: якщо ми вважаємо приватну похідну $x$, то коли ми отримуємо її по $x$, то розглядаємо її як константу, і тому її похідна дорівнюватиме «нулю».
Як і у випадку зі звичайними похідними, приватну (одну і ту ж) можна вважати кількома у різний спосіб. Наприклад, ту саму конструкцію, яку ми щойно порахували, можна переписати так:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]
Разом про те, з іншого боку, можна використовувати формулу від похідної суми. Як ми знаємо, вона дорівнює сумі похідних. Наприклад, запишемо таке:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]
Тепер, знаючи все це, давайте спробуємо попрацювати з більш серйозними висловлюваннями, оскільки справжні приватні похідні не обмежуються одними лише багаточленами та корінням: там зустрічаються і тригонометрія, і логарифми, і показова функція. Нині цим і займемося.
Завдання з тригонометричними функціями та логарифмами
Завдання №1
Запишемо такі стандартні формули:
\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]
\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]
Озброївшись цими знаннями, спробуємо вирішити:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Окремо випишемо одну змінну:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Повертаємося до нашої конструкції:
\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Все, по $x$ ми знайшли, тепер давайте займемося обчисленнями за $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Знову ж порахуємо один вираз:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \right)\]
Повертаємося до вихідного виразу та продовжуємо рішення:
\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Все зроблено.
Завдання № 2
Запишемо необхідну нам формулу:
\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]
Тепер порахуємо за $x$:
\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]
За $x$ знайдено. Вважаємо за $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]
Завдання вирішено.
Нюанси рішення
Отже, від якої функції ми не брали приватну похідну, правила залишаються одними і тими ж, незалежно від того, чи працюємо ми з тригонометрією, з корінням або з логарифмами.
Незмінними залишаються класичні правила роботи зі стандартними похідними, а саме, похідна суми та різниці, приватного та складної функції.
Остання формула найчастіше зустрічається під час вирішення завдань із приватними похідними. Ми зустрічаємося з ними практично скрізь. Жодного завдання ще не було, щоб там нам воно не траплялося. Але якою б формулою ми не скористалися, нам все одно додається ще одна вимога, а саме, особливість роботи з приватними похідними. Щойно ми фіксуємо одну змінну, решта виявляються константами. Зокрема, якщо ми вважаємо приватну похідну виразу $\cos \frac(x)(y)$ $y$, то саме $y$ і є змінною, а $x$ скрізь залишається константою. Те саме працює і навпаки. Її можна виносити за знак похідної, а похідна від самої константи дорівнюватиме «нулю».
Все це призводить до того, що приватні похідні від одного й того ж виразу, але з різних змінних можуть виглядати по-різному. Наприклад, подивимося такі вирази:
\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]
\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]
Завдання з показовими функціями та логарифмами
Завдання №1
Для початку запишемо таку формулу:
\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]
Знаючи цей факт, а також похідну складної функції, спробуємо порахувати. Я зараз вирішу двома різними способами. Перший і найочевидніший — це похідна робота:
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Давайте вирішимо окремо такий вираз:
\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .(((((y)"))_(x)))((((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)((((y)^(2))) =\frac(y)((((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]
Повертаємося до нашої вихідної конструкції та продовжуємо вирішення:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y) \right)\]
Все, по $x$ пораховано.
Однак, як я і обіцяв, зараз постараємося порахувати цю ж приватну похідну іншим способом. Для цього зауважимо таке:
\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))]
У цьому запишемо так:
\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]
В результаті ми отримали таку саму відповідь, проте обсяг обчислень виявився меншим. Для цього досить було помітити, що при добутку показники можна складати.
Тепер порахуємо за $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]
\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Давайте вирішимо один вираз окремо:
\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot (((((y)"))_(y)))((((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)((((y)^(2))) =-\frac(1)((((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]
Продовжимо вирішення нашої вихідної конструкції:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]
Зрозуміло, цю ж похідну можна було б порахувати другим способом, відповідь вийшла б такою самою.
Завдання № 2
Порахуємо по $x$:
\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Давайте порахуємо один вираз окремо:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)(((( x)^(2))+y)\]
Продовжимо вирішення вихідної конструкції: $$
Ось така відповідь.
Залишилось за аналогією знайти по $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Один вираз порахуємо як завжди окремо:
\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]
Продовжуємо вирішення основної конструкції:
Все пораховано. Як бачите, залежно від цього, яка змінна береться для диференціювання, відповіді виходять зовсім різні.
Нюанси рішення
Ось яскравий приклад того, як похідну однієї й тієї функції можна порахувати двома різними способами. Ось дивіться:
\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y)))))\ left(1+\frac(1)(y) \right)\]
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]
При виборі різних шляхів обсяг обчислень може бути різний, але відповідь, якщо все виконано правильно, вийде одним і тим же. Це стосується як класичних, і приватних похідних. У цьому вкотре нагадую: залежно від цього, якою змінної йде взяття похідної, тобто. диференціювання, відповідь може вийти зовсім різна. Подивіться:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((( x)^(2))+y)\cdot 1\]
Насамкінець для закріплення всього цього матеріалу давайте спробуємо порахувати ще два приклади.
Завдання з тригонометричною функцією та функцією з трьома змінними
Завдання №1
Давайте запишемо такі формули:
\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]
\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]
Давайте тепер вирішувати наш вираз:
\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]
Окремо порахуємо таку конструкцію:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]
Продовжуємо вирішувати вихідний вираз:
\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]
Це остаточна відповідь приватної змінної $x$. Тепер порахуємо за $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]
Вирішимо один вираз окремо:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]
Вирішуємо до кінця нашу конструкцію:
\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]
Завдання № 2
На перший погляд, цей приклад може здатися досить складним, тому що тут три змінні. Насправді це одне з найпростіших завдань у сьогоднішньому відеоуроці.
Знаходимо по $x$:
\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ^(z)) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]
Тепер розберемося з $y$:
\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]
\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]
Ми знайшли відповідь.
Тепер залишається знайти $z$:
\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e) )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]
Ми порахували третю похідну, на чому вирішення другого завдання повністю завершене.
Нюанси рішення
Як бачите, нічого складного у цих двох прикладах немає. Єдине, у чому ми переконалися, то це в тому, що похідна складної функції застосовується часто і залежно від того, яку приватну похідну ми вважаємо, ми отримуємо різні відповіді.
В останній задачі нам було запропоновано розібратися з функцією відразу від трьох змінних. Нічого страшного в цьому немає, проте в самому кінці ми переконалися, що вони один від одного істотно відрізняються.
Ключові моменти
Остаточні висновки із сьогоднішнього відеоуроку такі:
- Приватні похідні вважаються так само, як і звичайні, при цьому, щоб вважати приватну похідну по одній змінній, решта змінних, що входять в цю функцію, ми приймаємо за константи.
- Працюючи з приватними похідними ми використовуємо ті самі стандартні формули, як і з звичайними похідними: суму, різницю, похідну твори і частки і, зрозуміло, похідну складної функції.
Звичайно, перегляду одного цього відеоуроку недостатньо, щоб повністю розібратися в цій темі, тому прямо зараз на моєму сайті саме до цього відео є комплект завдань, присвячених саме сьогоднішній темі – заходьте, завантажуйте, вирішуйте ці завдання та звіряйтеся з відповіддю. І після цього жодних проблем із приватними похідними ні на іспитах, ні на самостійних роботах у вас не буде. Звичайно, це далеко не останній урок з вищої математики, тому заходьте на наш сайт, додавайте ВКонтакте, підписуйтесь на YouTube, ставте лайки і залишайтеся з нами!
Нехай функція z - / (х, у) визначена в деякій ділянці D на площині хОу. Візьмемо внутрішню точку (х, у) з області D і дамо х збільшення Ах таке, щоб точка (х + Ах, у) 6 D (рис.9). Величину назвемо приватним збільшенням функції z по х. Складемо ставлення Для даної точки (х, у) це відношення є функцією від визначення. Якщо при Ах -* 0 відношення має кінцеву межу, то ця межа називається приватною похідною функції z = /(х, у) по незалежній змінній х в точці (х, у) і позначається символом jfc (або /i(x, jj ), або z"x(x, Та ним чином, за визначенням або, що теж саме, Аналогічно Якщо і - функція п незалежних змінних, то Помітивши, що Arz обчислюється при незмінному значенні змінної у, a Atz - при незмінному значенні змінної х, визначення приватних похідних можна сформулювати так: Приватні похідні Геометричний зміст приватних похідних функції двох змінних Необхідні умови Диференційність функції Достатні умови диференційності функцій декількох змінних Повний диференціал. Приватні диференціали Похідні складної функції приватної похідної по x функції z = / (х, у) називається звичайна похідна цієї функції по x, обчислена в припущенні, що у - постійна; приватною похідною за у функції z - / (х, у) називається її похідна по, обчислена в припущенні, що х - постійна. Звідси випливає, що правила обчислення похідних приватних збігаються з правилами, доведеними для функції однієї змінної. приклад. Знайти окремі похідні функції 4 Маємо Замінами*. З існування функції г = /(х, у) у цій точці приватних похідних за всіма аргументами не витімає безперервності функції у цій точці. Так, функція не є безперервною у точці 0(0,0). Однак у цій точці зазначена функція має приватні похідні з х і у. Це випливає з того, що /(х, 0) = 0 і /(0, у) = 0 і тому Геометричний сенс приватних похідних функції двох змінних Нехай у тривимірному просторі поверхня S задана рівнянням де f(x, у) - функція, безперервна в деякій області D і має там приватні похідні х і у. З'ясуємо геометричний зміст цих похідних у точці Мо(хо,уо) 6 D, якій поверхні z = f(x)y) відповідає точка f(x0)yo)). При знаходженні приватної похідної точки М0 ми вважаємо, що z є тільки функцією аргументу х, тоді як аргумент у зберігає постійне значення у = уо, тобто. Функція fi(x) геометрично зображується кривою L, по якій поверхня S перетинається площиною у = у о. В силу геометричного сенсу похідної функції однієї змінної f (xo) = tg а, де а - кут, утворений дотичної до лінії L в точці JV0 з віссю Ох (рис. 10). Але так що Таким чином, приватна похідна ($ |) дорівнює тангенсуугла а між віссю Ох і дотичною в точці N0 до кривої, отриманої в перерізі поверхні z = / (х, у) площиною у Аналогічно отримуємо, що §6. Диференційність функції кількох змінних Нехай функцію z = /(х, у) визначено в деякій ділянці D на площині хОу. Візьмемо точку (х, у) € D і вибраним значенням х і дамо будь-які прирощення Ах і Ду, але такі, щоб точка. Визначення. Функція г = /(х, у) називається диференційованої * точці (ж, у) € 2Е, якщо повне вирішення цієї функції, що відповідає приростам Дх, Ду аргументів, можна уявити у вигляді де Л і В не залежать від Дх і Д у ( але взагалі залежать від х і у), а (Дх, Ду) і /? (Дх, Ду) прагнуть до нуля при прагненні до нуля Дх і Ду. . Якщо функція z = /(х, у) диференційована в точці (х, у), то частина А Дх 4- ВД прирощення функції, лінійна щодо Дх і Ду, називається повним диференціалом цієї функції в точці (х, у) і позначається символом dz: Танім чином, Приклад. Нехай г = х2 + у2. У будь-якій точці (г,у) і для будь-яких Дх і Ду маємо Тут. Так що а і / 3 прагнуть до нуля при прагненні до нуля Дх і Ду. Відповідно до визначення, дана функція диференційована в будь-якій точці площини хОу. При цьому зауважимо, що в наших міркуваннях не був формально виключений той випадок, коли збільшення Дх, Ду порізно або навіть обидва відразу дорівнюють нулю. Формулу (1) можна записати більш компактно, якщо ввести вираз (відстань між точками (Користуючись ним, можемо написати Позначивши вираз, що стоїть у скобнах, через е, будемо мати де з залежить від Дж, Ду і прагне до нуля, якщо Дж 0 і Ду 0, або, коротше, якщо р 0. Формулу (1), що виражає умову диференційності функції z = f(xt у) у точці (ж, у), можна тепер записати у вигляді Так, у наведеному вище прикладі 6.1. 4. Якщо функція г = /(ж, у) диференційована в деякій точці, то вона в цій точці безперервна 4 Якщо в точці (ж, у) функція г = /(ж, у) диференційована, то повне приріст функції я в цій точ», що відповідає приростам Дж і Ду аргументів, можна представити у вигляді (величини Л, В для даної точки постійні; звідки слідує, що Останнє означає, що в точці (ж, у) функція г б) Якщо функція г = /(ж, у) диференційована в даній точці, mo око ы.иеет у цій точці приватні похідні $§ і.Нехай функція z = /(х, у ) диференціюється від точки (х, у). .Тоді приріше ^ Дг цієї функції, що відповідає приросту Дх, Ау аргументів, можна представити у вигляді (1). Взявши в рівності (1) Дх Ф 0, Ду = 0, отримаємо звідки Так як у правій частині останньої рівності величина А не залежить від, Це означає, що в точці (х, у) існує приватна похідна функції г = / (х, у) по х, причому Подібними ж міркуваннями переконуємось (х, існує приватна похідна функції zу, причому З теореми випливає, що Підкреслимо, що теорема 5 стверджує існування приватних похідних тільки в точці (х, у), але нічого не говорить про безперервність їх у цій точці, а також про їхню поведінку в околиці точки (х, у) 6.2 Достатні умови функцій кількох змінних, що диференціюються™ Як відомо, необхідною і достатньою умовою диференційованості функції у = /(х) однією змінною в точці хо єсучення кінцевої похідної / "(х) у точці х0. У разі, коли функція залежить від кількох змінних, справа значно складніша: необхідних і достатніх умов диференційності немає вже для функції z = /(х, у) двох незалежних змінних х, у; є лише окремо необхідні умови (див. вище) та окремо - достатні. Ці достатні умови диференційності функцій кількох змінних виражаються наступною теоремою. Теорема ст. Якщо функція має приватні похідні /£ і f"v деякій околиці тонкі (хо, Уо) і якщо ці похідні безперервні в самій точці (хо,Уо), то функція z = f(x, у) диференційована в точці (х- Розглянемо функцію Приватні похідні Геометричний зміст приватних похідних функції двох змінних Диференційність функції кількох змінних Необхідні умови диференційності функції Достатні умови диференційності функцій декількох змінних Повний диференціал Приватні диференціали Похідні складних функцій ™ даної функції в точці 0(0,0) знайдемо і збільшення цієї точить 0 і Ду 0. Покладемо Д0. Тоді з формули (1) матимемо Тому функції /(х,у) = не диференційована в точці 0(0,0), хоча і має в цій точці виробляємо fa і f"r Отриманий результат пояснюється тим, що похідні fz і ft розривні точці §7. Повний диференціал. Приватні диференціали Якщо функція г - f(z> у) диференційована, то її стислий диференціал dz дорівнює Зауважуючи, що А = В = щ, запишемо формулу (1) в наступному вигляді Поширимо поняття диференціала функції на незалежні змінні, поклавши диференціали їх збільшенням: Після цього формула повного диференціала функції примітка Приклад. Нехай i - 1л (х + у2). Тоді Аналогічно, якщо u =) є функція, що диференціюється n незалежних змінних, то Вираз називається пісним диференціалом функції z = f(x, у) по змінній х; вираз називається приватним диференціалом функції z = / (ж, у) поперемінною у. З формул (3), (4) і (5) випливає, що повний диференціал функції є сумою її приватних диференціалів: Зазначимо, що повне збільшення Az функції z = / (ж, у), взагалі кажучи, не дорівнює сумі приватних прирощень. Якщо точці (я, у) фунмцияг = /(ж, у) диференційована і диференціал dz ФО у цій точці, її повне приріст відрізняється від своєї лінійної частини лише у сумі останніх складових аАх 4- /? ДУ, які за Аж 0 і Ау --» Про є нескінченно малими вищого порядку, ніж складові лінійної частини. Тому при dz Ф 0 лінійну частину збільшення диференційованої функції називають головною частиною збільшення функції і користуються наближеною формулою яка буде тим більш точною, чим меншими за абсолютною величиною будуть збільшення аргументів. §8. Похідні складної функції 1. Нехай функція визначена в деякій ділянці D на площині хОу, причому кожна зі змінних ж, у свою чергу є функцією аргументу t: Припускатимемо, що при зміні t в інтервалі (відповідні точки (ж, у) не виходять за межі області D. Якщо підставити значення в функцію z = / (ж, у), то отримаємо складну функцію однієї змінної t. M Дамо t приріст Дt.Тоді x і у отримають деякі прирощення Ах і Ду. В результаті цього при (Дж)2 + (Ду)2 Ф 0 функція z також отримає деяке прирощення Дг, яке в силу диференційованості функції z = /(ж , у) у точці (х, у) може бути представлене у вигляді де а) прагнуть нуля при прагненні нуля Ах і Ду. Довизначимо а і /3 при Ах = Ау = 0, поклавши а Тоді а (будуть безперервні при Дж = Ду = 0. Розглянемо відношення Маємо У кожному доданку ^ в Правій частині (2) обидва співмножники мають межі при приватних похідних і ^ для цієї є постійними, за умовою існують межі з існування похідних ^ і в точці £ слід безперервність в цій точці функцій х = y(t) і у = тому при At 0 прагнуть до нуля і Дж і Ду, що в свою чергу тягне за собою прагнення до нуля а(Дх, Ду) і Р(Ах, Ау) Таким чином, права частина рівності (2) при 0 має межу, рівну Значить, існує при At 0 і межа лівої частини (2) Існує рівний Переходячи в рівності (2) до межі при At -» 0, отримуємо необхідну формулу У окремому випадку, коли, отже, z є складною функцією від ж, отримуємо У формулі (5) є приватна похідна фунадііг = /(ж, у) по ж, при обчисленні якої у виразі/(ж, у) аргумент у приймається за постійну. постійну, а вважається своєю чергою функцією від ж: у = tp(x)t і тому залежність z від ж враховується повністю. приклад. Знайти і jg, якщо 2. Розглянемо тепер диференціювання складної функції кількох змінних. Нехай де своєю чергою отже Припустимо, що у точці (() існують безперервні приватні похідні щ, 3?» а відповідній точці (ж,у), де Функція /(ж, у) диференційована. складна функція z = z(() у) у точці t7) має похідні і щ, і знайдемо вирази для цих похідних. Зауважимо, що цей випадок від вже вивченого суттєво не відрізняється. Дійсно, при диференціюванні z по £ друга незалежна змінна rj приймається за постійну, внаслідок чого ж і у при цій операції стають функціями однієї змінної ж" = с), у = с) і питання про похідну Ц вирішується так само, як питання про Вихідною при виведенні формули (3) Використовуючи формулу (3) і формально замінюючи в ній похідні § і ^ на похідні щ і відповідно, отримаємо Аналогічно знаходимо Приклад. Якщо складна функція « Задана формулами так що то при виконанні відповідних умов маємо У окремому випадку, коли І = де Приватні похідні Геометричний зміст приватних похідних функції двох змінних Диференційність функції кількох змінних Необхідні умови диференційності функції Достатні умови диференціювання функцій кількох змінних Повний диференціал. Похідні складної функції маємо тут т-повна. приватна похідна функції і по незалежній змінній х, що враховує повну залежність і від х, в тому числі і через z = z (x, y), a ^ -приватна. у, г) по х, при обчисленні до
Наводиться доказ формули похідної складної функції. Детально розглянуті випадки, коли складна функція залежить від однієї та двох змінних. Проводиться узагальнення у разі довільного числа змінних.
ЗмістДив. також: Приклади застосування формули похідної складної функції
Основні формули
Тут ми наводимо виведення таких формул для похідної складної функції.
Якщо то
.
Якщо то
.
Якщо то
.
Похідна складної функції від однієї змінної
Нехай функцію від змінної x можна представити як складну функцію у такому вигляді:
,
де є деякі функції. Функція диференційована при певному значенні змінної x. Функція диференційована при значенні змінної.
Тоді складна (складова) функція диференційована в точці x та її похідна визначається за формулою:
(1)
.
Формулу (1) також можна записати так:
;
.
Доведення
Введемо такі позначення.
;
.
Тут є функція від змінних та , є функція від змінних та . Але ми опускатимемо аргументи цих функцій, щоб не захаращувати викладки.
Оскільки функції та диференційовані в точках x і відповідно, то в цих точках існують похідні цих функцій, які є наступними межами:
;
.
Розглянемо таку функцію:
.
При фіксованому значенні змінної u є функцією від . Очевидно, що
.
Тоді
.
Оскільки функція є функцією, що диференціюється в точці , то вона безперервна в цій точці. Тому
.
Тоді
.
Тепер знаходимо похідну.
.
Формулу доведено.
Слідство
Якщо функцію від змінної x можна подати як складну функцію від складної функції
,
то її похідна визначається за формулою
.
Тут , і є деякі функції, що диференціюються.
Щоб довести цю формулу ми послідовно обчислюємо похідну за правилом диференціювання складної функції.
Розглянемо складну функцію
.
Її похідна
.
Розглянемо вихідну функцію
.
Її похідна
.
Похідна складної функції від двох змінних
Тепер нехай складна функція залежить від кількох змінних. Спочатку розглянемо випадок складної функції від двох змінних.
Нехай функцію , яка залежить від змінної x , можна як складну функцію від двох змінних у вигляді:
,
де
і є функції, що диференціюються при деякому значенні змінної x ;
- Функція від двох змінних, що диференціюється в точці , . Тоді складна функція визначена в деякій околиці точки і має похідну, яка визначається за формулою:
(2)
.
Доведення
Оскільки функції і диференційовані в точці , то вони визначені в околицях цієї точки, безперервні в точці і існують їх похідні в точці , які є такими межами:
;
.
Тут
;
.
Через безперервність цих функцій у точці маємо:
;
.
Оскільки функція диференційована в точці , то вона визначена в околиці цієї точки, безперервна в цій точці і її збільшення можна записати в наступному вигляді:
(3)
.
Тут
- збільшення функції при збільшенні її аргументів на величини і ;
;
- Приватні похідні функції по змінним та .
При фіксованих значеннях і і є функції від змінних і . Вони прагнуть до нуля при і :
;
.
Оскільки і , то
;
.
Приріст функції:
.
:
.
Підставимо (3):
.
Формулу доведено.
Похідна складної функції від кількох змінних
Наведений вище висновок легко узагальнюється у разі, коли кількість змінних складної функції більше двох.
Наприклад, якщо f є функцією від трьох змінних, то
,
де
, і є функції, що диференціюються при деякому значенні змінної x ;
- функція, що диференціюється, від трьох змінних, в точці , , .
Тоді, з визначення диференційності функції маємо:
(4)
.
Оскільки, через безперервність,
;
;
,
то
;
;
.
Розділивши (4) на та виконавши граничний перехід, отримаємо:
.
І, нарешті, розглянемо найзагальніший випадок.
Нехай функцію від змінної x можна уявити як складну функцію від n змінних у такому вигляді:
,
де
є функції, що диференціюються при деякому значенні змінної x ;
- диференційована функція від n змінних у точці
,
,
... , .
Тоді
.
) ми вже неодноразово стикалися з приватними похідними складних функцій на кшталт і складнішими прикладами. Так про що ще можна розповісти?! …А все як у житті – немає такої складності, яку не можна було б ускладнити =) Але математика – на те й математика, щоб укладати різноманіття нашого світу в суворі рамки. І іноді це вдається зробити однією пропозицією:
У загальному випадку складна функція має вигляд 
, де, щонайменше одназ літер є функціюяка може залежати від довільногокількості змінних.
Мінімальний і найпростіший варіант - це давно знайома складна функція однієї змінної, похідну якоїми навчилися знаходити у минулому семестрі. Навичками диференціювання функцій ви теж маєте (Погляньте на ті ж функції 
)
.
Таким чином, зараз нас цікавитиме якраз випадок. Через велику різноманітність складних функцій загальні формули їх похідних мають дуже громіздкий і погано засвоюваний вигляд. У зв'язку з цим я обмежусь конкретними прикладами, з яких ви зможете зрозуміти загальний принципзнаходження цих похідних:
Приклад 1
Дана складна функція , де 
. Потрібно:
1) визначити її похідну і записати повний диференціал 1-го порядку;
2) обчислити значення похідної при .
Рішення: по-перше, розберемося із самою функцією Нам запропоновано функцію, яка залежить від і , які в свою чергу є функціямиоднієї змінної: 
По-друге, звернемо пильну увагу на саме завдання – від нас потрібно знайти похіднутобто мова йде зовсім не про приватних похідних, які ми звикли знаходити! Оскільки функція 
фактично залежить лише від однієї змінної, то під словом «похідна» мається на увазі повна похідна. Як його знайти?
Перше, що спадає на думку, це пряма підстановка та подальше диференціювання. Підставимо 
у функцію: 
, після чого з похідною ніяких проблем:
І, відповідно, повний диференціал: 
Це рішення математично коректно, але маленький нюанс полягає в тому, що коли завдання формулюється так, як воно сформульоване – такого варварства від вас ніхто не очікує. А якщо серйозно, то причепитися тут дійсно можна. Уявіть, що функція описує політ джмеля, а вкладені функції змінюються залежно від температури. Виконуючи пряму підстановку 
, ми отримуємо лише приватну інформацію, Що характеризує політ, скажімо, тільки в спекотну погоду. Більше того, якщо людині не обізнаній у джмелях пред'явити готовий результат і навіть сказати, що це за функція, то вона так нічого і не дізнається про фундаментальний закон польоту!
Ось так зовсім несподівано брат наш дзижчить допоміг усвідомити зміст і важливість універсальної формули: 
Звикайте до «двоповерхових» позначень похідних – у завданні, що розглядається, в ходу саме вони. При цьому слід бути дуже акуратниму записі: похідні з прямими значками «де» – це повні похідні, а похідні з округлими значками – це приватні похідні. З останніх та почнемо: 
Ну а з «хвістами» взагалі все просто:
Підставимо знайдені похідні до нашої формули:
Коли функція спочатку запропонована в хитромудрому вигляді, то буде логічним (І тому дано пояснення вище!)залишити в такому ж вигляді та результати: 
При цьому у «наворочених» відповідях краще утриматися навіть від мінімальних спрощень. (Тут, наприклад, напрошується прибрати 3 мінуси)- І вам роботи менше, і волохатий друг задоволений рецензувати завдання простіше.
Однак не зайвою буде чорнова перевірка. Підставимо 
у знайдену похідну та проведемо спрощення: 
(на останньому кроці використані тригонометричні формули 
, 
)
В результаті отримано той самий результат, що і за «варварського» методу рішення.
Обчислимо похідну в точці. Спочатку зручно з'ясувати «транзитні» значення (значення функцій 
)
:
Тепер оформляємо підсумкові розрахунки, які у разі можна здійснити по-різному. Використовую цікавий прийом, в якому 3 та 4 «поверху» спрощуються не за звичайними правилами, а перетворюються як приватне двох чисел:
І, звичайно ж, гріх не перевірити за більш компактним записом 
:
Відповідь: 
Буває, що завдання пропонується у «напівзагальному» вигляді:
«Знайти похідну функції , де 
»
Тобто "головна" функція не дана, але її "вкладиші" цілком конкретні. Відповідь слід дати в такому самому стилі:
Більше того, умова можуть трохи підшифрувати:
«Знайти похідну функції 
»
В цьому випадку потрібно самостійнопозначити вкладені функції якими-небудь відповідними літерами, наприклад, через 
і скористатися тією самою формулою:
До речі, про буквені позначення. Я вже неодноразово закликав не «чіплятися за літери», як за рятувальне коло, і зараз особливо актуально! Аналізуючи різні джерела на тему, у мене взагалі склалося враження, що автори «пішли врознос» і стали безжально кидати студентів у бурхливі безодні математики =) Так що вже вибачте:))
Приклад 2
Знайти похідну функції 
, якщо 
Інші позначення не повинні бентежити! Щоразу, коли ви зустрічаєте подібне завдання, потрібно відповісти на два прості запитання:
1) Від чого залежить «головна» функція?У разі функція «зет» залежить від двох функцій («у» і «ве»).
2) Від яких змінних залежить вкладені функції?В даному випадку обидва вкладиші залежать тільки від ікса.
Таким чином, у вас не повинно виникнути труднощів, щоб адаптувати формулу до цього завдання!
Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.
Додаткові приклади по першому виду можна знайти у задачнику Рябушка (ІДЗ 10.1), а ми беремо курс на функцію трьох змінних:
Приклад 3
Дана функція, де.
Обчислити похідну у точці
Формула похідної складної функції, як багато хто здогадується, має споріднений вигляд: 
Вирішуйте, якщо здогадалися =)
Про всяк випадок наведу і загальну формулу для функції:
, хоча на практиці ви навряд чи зустрінете щось довше за Приклад 3.
З іншого боку, іноді доводиться диференціювати «урізаний» варіант – зазвичай, функцію виду чи . Залишаю вам це питання для самостійного дослідження – придумайте якусь просту приклад, подумайте, поекспериментуйте і виведіть укорочені формули похідних.
Якщо щось залишилося недозрозумілим, будь ласка, неквапливо перечитайте та осмисліть першу частину уроку, оскільки зараз завдання ускладниться:
Приклад 4
Знайти приватні похідні складної функції , де 
Рішення: дана функція має вигляд , і після прямої підстановки і ми отримуємо звичну функцію двох змінних: 
Але такий страх не те щоб не прийнято, а вже й не хочеться диференціювати. Тому скористаємося готовими формулами. Щоб ви швидше вловили закономірність, я виконаю деякі позначки: 
Уважно перегляньте картинку зверху вниз і зліва направо.
Спочатку знайдемо приватні похідні «головної» функції:
Тепер знаходимо «іксові» похідні «вкладишів»:
і записуємо підсумкову «іксову» похідну:
Аналогічно з «гравцем»:
і
Можна дотримуватися іншого стилю – відразу знайти всі «хвости» 
і потім записати обидві похідні.
Відповідь:
Про підстановку 
щось якось зовсім не думається =) =), а ось зачесати результати трошки можна. Хоча, знову ж таки, навіщо? – лише ускладніть перевірку викладачеві.
Якщо буде потрібно, то повний диференціалТут записується за звичайною формулою, і, до речі, саме на цьому етапі стає доречною легка косметика: 
Така ось... ....труна на коліщатках.
Зважаючи на популярність розглянутого різновиду складної функції пари завдань для самостійного рішення. Простіший приклад у «напівзагальному» вигляді – на розуміння самої формули;-):
Приклад 5
Знайти приватні похідні функції , де 
І складніше – із підключенням техніки диференціювання:
Приклад 6
Знайти повний диференціал функції 
, де 
Ні, я зовсім не намагаюся «відправити вас на дно» - всі приклади взяті з реальних робіт, і «у відкритому морі» вам можуть потрапити які завгодно літери. У будь-якому випадку потрібно проаналізувати функцію (відповівши на 2 питання – див. вище), уявити її у загальному вигляді та акуратно модифікувати формули приватних похідних. Можливо, зараз трохи поплутаєтеся, зате зрозумієте сам принцип їх конструювання! Бо справжні завдання лише починаються:)))
Приклад 7
Знайти приватні похідні та скласти повний диференціал складної функції
, де
Рішення: «головна» функція має вигляд і, як і раніше, залежить від двох змінних – «ікса» та «гравця». Але порівняно з Прикладом 4 додалася ще одна вкладена функція, і тому формули приватних похідних теж подовжуються. Як і в тому прикладі, для кращого бачення закономірності, я виокремлю «головні» приватні похідні різними кольорами: 
І знову – уважно вивчіть запис зверху донизу та зліва направо.
Оскільки завдання сформульовано у «напівзагальному» вигляді, всі наші праці, сутнісно, обмежуються перебуванням приватних похідних вкладених функций: 
Впорається першокласник: 
І навіть повний диференціал вийшов цілком симпатичний:
Я спеціально не став пропонувати вам якусь конкретну функцію - щоб зайві нагромадження не завадили добре розібратися принципової схемизавдання.
Відповідь: 
Досить часто можна зустріти «різнокаліберні» вкладення, наприклад:
Тут "головна" функція хоч і має вигляд, але все одно залежить і від "ікс", і від "ігрок". Тому працюють ті самі формули – просто деякі приватні похідні дорівнюватимуть нулю. Причому це справедливо і для функцій на кшталт 
, В яких кожен «вкладиш» залежить від якоїсь однієї змінної.
Схожа ситуація має місце і у двох заключних прикладах уроку:
Приклад 8
Знайти повний диференціал складної функції у точці
Рішення: умова сформульована «бюджетним» чином, і ми маємо самі позначити вкладені функції. По-моєму, непоганий варіант:
У «вкладишах» присутні ( УВАГА!) ТРИ літери - старі-добрі «ікс-ігрек-зет», а значить, «головна» функція фактично залежить від трьох змінних. Її можна формально переписати як , і похідні у разі визначаються такими формулами: 
Скануємо, вникаємо, уловлюємо….
У нашому завданні: 
Нехай z=ƒ(х;у) - функція двох змінних х та у, кожна з яких є функцією незалежної змінної t: х = x(t), у = y(t). У цьому випадку функція z = f(x(t); y(t)) є складною функцією однієї незалежної змінної t; змінні х та у - проміжні змінні.
Теорема 44.4. Якщо z = ƒ(х;у) - диференційована в точці М(х;у) є D функція і х = x(t) і у = y(t) - функції, що диференціюються незалежною змінною t, то похідна складної функції z(t) ) = f(x(t); y(t)) обчислюється за формулою
Дамо незалежної змінної t збільшення Δt. Тоді функції х = = x(t) і у = y(t) отримають збільшення Δх і Δу відповідно. Вони, своєю чергою, викличуть збільшення Az функції z.
Оскільки за умовою функція z - ƒ(х;у) диференційована у точці М(х; у), її повне прирощення можна у вигляді
де а→0, β→0 при Δх→0, Δу→0 (див. п. 44.3). Розділимо вираз Δz на Δt і перейдемо до межі при Δt→0. Тоді Δх→0 і Δу→0 через безперервність функцій х = x(t) і у = y(t) (за умовою теореми - вони диференційовані). Отримуємо:
Частковий випадок: z=ƒ(х;у), де у=у(х), т. е. z=ƒ(х;у(х)) - складна функція однієї незалежної змінної х. Цей випадок зводиться до попереднього, причому роль змінної грає х. Відповідно до формули (44.8) маємо:
Формула (44.9) зветься формули повної похідної.
Загальний випадок: z=ƒ(х;у), де x=x(u;v), у=у(u;v). Тоді z = f (x (u; v); y (u; v)) - складна функція незалежних змінних u і v. Її приватні похідні можна знайти, використовуючи формулу (44.8) в такий спосіб. Зафіксувавши v, замінюємо у ній відповідними приватними похідними 
Аналогічно отримуємо: 
Таким чином, похідна складної функції (z) за кожною незалежною змінною (u та v) дорівнює сумі творів приватних похідних цієї функції (z) за її проміжними змінними (х і у) на їх похідні за відповідною незалежною змінною (u та v).
Приклад 44.5. Знайти якщо z = ln (x 2 + 2), х = u v, у = u / v.
Рішення: Знайдемо dz/du (dz/dv – самостійно), використовуючи формулу (44.10):
Спростимо праву частину здобутої рівності:
40. Приватні похідні та повний диференціал функції кількох змінних.
Нехай задано функцію z = ƒ (х; у). Так як х і у – незалежні змінні, то одна з них може змінюватися, а інша зберігати своє значення. Дамо незалежної змінної х приріст Δх, зберігаючи значення у незмінним. Тоді z отримає збільшення, яке називається приватним збільшенням z по х і позначається ∆ х z. Отже,
Δ х z=ƒ(х+Δх;у)-ƒ(х;у).
Аналогічно отримуємо приватне збільшення z по у:
Δ у z=ƒ(x;у+Δу)-ƒ(х;у).
Повне збільшення Δz функції z визначається рівністю
Δz = ƒ(х + Δх;у + Δу) - ƒ(х; у).
Якщо існує межа
то він називається приватною похідною функції z = ƒ (х; у) у точці М(х; у) по змінній х і позначається одним із символів:
Приватні похідні по х у точці М 0 (х 0; у 0) зазвичай позначають символами 
Аналогічно визначається та позначається приватна похідна від z=ƒ(х;у) по змінній у:
Таким чином, приватна похідна функції кількох (двох, трьох і більше) змінних визначається як похідна функції однієї з цих змінних за умови сталості значень інших незалежних змінних. Тому приватні похідні функції ƒ(х;у) знаходять за формулами і правилами обчислення похідних функції однієї змінної (при цьому відповідно х або вважається постійною величиною).
Приклад 44.1. Знайти приватні похідні функції z = 2у + е х2-у +1. Рішення:
Геометричний зміст приватних похідних функції двох змінних
Графіком функції z = ƒ (х; у) є деяка поверхня (див. п. 12.1). Графік функції z = ƒ (х; у 0) є лінія перетину цієї поверхні з площиною у = у о. Виходячи з геометричного сенсу похідної для функції однієї змінної (див. п. 20.2), укладаємо, що ƒ"x(х о;у о) = tg а де а - кут між віссю Ох і дотичної, проведеної до кривої z = ƒ (х; у 0) у точці Мо(хо;уо; ƒ(хо;уо)) (див. рис. 208).
Аналогічно, f"y (х 0; у 0) = tgβ.
Функція Z=f(x,y) називається диференційованою в точці P(x,y), якщо її повне збільшення ΔZ можна подати у вигляді Δz = A∙Δx+B∙Δy+ω(Δx,Δy), де Δx та Δy – будь-які збільшення відповідних аргументів x і y в деякій околиці точки Р, А і В – постійні (не залежать від Δx,Δy),
ω(Δx,Δy) – нескінченно мала більш високого порядку, ніж відстань:
Якщо функція диференційована у точці, її повне збільшення у цій точці і двох частин:
1. Головної частини збільшення функції A∙Δx+B∙Δy – лінійне щодо Δx,Δy
2. І нелінійне ω(Δx,Δy) – нескінченно мале вищого порядку, ніж головна частина збільшення.
Головна частина збільшення функції – лінійна щодо Δx,Δy називається повним диференціалом цієї функції та позначається:Δz = A∙Δx+B∙Δy, Δx=dx та Δy=dy або повний диференціал функції двох змінних:
Диференціал відображення. Диференціал та похідна числової функції однієї змінної. Таблиця похідних. Диференційність. ) – функція аргументу , що є нескінченно малою за →0, тобто.
З'ясуй тепер зв'язок між диференційованістю в точці і існуванням похідної в тій же точці.
Теорема. Для того, щоб функція f(x) була диференційованою в даній точці х необхідно, і достатньо, щоб вона мала в цій точці кінцеву похідну.
Таблиця похідних.